Cours 5

Cours 5

Interactions des Particules lourdes avec la

Matière

1. Introduction

Le principe de détection est de mesurer la perte d‟énergie dans une interaction entre la particule et le milieu de détection.

2. Interactions des particules avec la matière

La matière est composée des noyaux et d‟électrons. Les particules peuvent être regroupées selon les interactions auxquelles elles participent:

– lepton: un lepton ne participe pas à l‟interaction forte : électron, muon, neutrinos ; – hadron: un hadron participe à l‟interaction forte : , p, +, ^-, neutron, °, etc.;

–photon : boson de l‟interaction électromagnétique.

Dans la physique des particules et nucléaire, on s‟intéresse aux particules qui ont une énergie au dessus du keV (à partir des rayons X).

Trois des quatre interactions sont impliquées :

 électromagnétique

 forte

 faible.

 Interaction électromagnétique :

– particule chargée + e^- atomique: excitation, ionisation de l‟atome

– particule chargée + noyau : diffusion élastique, inélastique, production de paires e⁺e^-, bremsstrahlung

– particule neutre +(e^-, noyau) : pas d‟interaction

– photon + e^- atomique: photo-électrique, diffusion Compton

– photon + noyau: production de paires e⁺e^-, dissociation nucléaire (négligeable)

– Radiation cohérente : (particule chargée)

Radiation Čerenkov, radiation de transition

 interaction faible

– négligeable dans la plupart des cas, sauf pour les interactions des neutrinos avec les électrons atomiques et les noyaux ;

 interaction forte – pas d‟interaction avec les leptons ;

– dominante dans les interactions entre les hadrons à haute énergie (chargés ou neutres) et les noyaux.

Quelques remarques :

 Selon l‟énergie, la charge, le type (lepton, hadron ou photon) de la particule, et la matière du milieu de détection, une ou plusieurs interactions sont dominantes : – à basse énergie, les interactions avec les électrons atomiques (excitation,

ionisation) ;

– à haute énergie, les interactions avec les noyaux deviennent importantes.

•

ionisations des atomes par les particules chargées. Donc pour les particules neutres, ce sont les particules chargées secondaires créées par interaction qui seront détectées.

 Les quantités qu‟on souhaite mesurer sont:

– taux → compteurs – énergie → calorimètre – parcours → traceur

– identification de particule → détecteur

4.1. Perte d‟énergie des particules chargées lourdes

1. Généralités

• Par „lourdes‟, on entend les particules beaucoup plus lourdes que les électrons des orbites atomiques.

• Pour les particules chargées lourdes à basse énergie la perte d‟énergie est dominée par leur interaction électromagnétique avec les électrons atomiques (rappelons que la taille d‟un atome est ~10^-10 m, celle d‟un noyau est ~10^-14 m). A haute énergie les interactions nucléaires deviennent importantes.

• L‟interaction électromagnétique transfère une partie de l‟énergie cinétique de la particule à l'atome, qui devient excité ou ionisé.

• La section efficace est très petite (  10^-17- 10^-16 cm² ). Mais la grande densité d‟atomes (N_A = 6.10²³) dans un matériau rend la perte d‟énergie totale très importante, même pour une faible épaisseur. Un proton de 10 MeV, par exemple, perd toute son énergie dans 0.25 mm de cuivre.

• Parfois les électrons libérés sont assez énergétiques pour ioniser ensuite les autres atomes. Ces électrons sont appelés électrons .

2. Quelques chiffres généraux

Energie perdue par la particule dans les collisions inélastiques avec les électrons des atomes du matériau : grand nombre de collisions et par conséquence énergie perdue par collision petite.

 Diminution « continue » de l‟énergie.

A la fin du parcours : capture des électrons par la particule jusqu‟à ce que l‟énergie de la particule soit de l'ordre de l‟énergie thermique des atomes du milieu.

Exemple : la capture des électrons se fait vers 1 MeV pour les particules  et 0.1 MeV pour les protons.

La théorie à ce niveau est difficile et les informations expérimentales très utilisées dans les modèles.

Bien que ce phénomène soit décrit à l‟aide du terme “collision”, il n‟y a pas nécessairement contact entre l‟électron incident (ou la particule chargée) et l‟électron de l‟atome cible. Néanmoins, les phénomènes résultants de cette interaction électrostatique de durée très brève peuvent s‟apparenter à une collision.

Théorie de Bethe. La perte d‟énergie dans un « choc » est due à l‟interaction coulombienne et la section efficace du processus est donnée par le carré de l‟élément de matrice de l‟interaction coulombienne (en physique quantique) entre l‟état initial et final.

Calcul en ondes planes.

Quels sont les critères de validité de la théorie : La distorsion doit être faible

Condition supplémentaire pour simplifier le calcul :

vitesse de la particule incidente >> vitesse des e^- des orbites atomiques.

Tout ceci est réalisé si z < Z.

Une exception : cas des fragments de fission arrêtés dans les matériaux légers.

Les calculs sont plus compliqués et le fragment va capturer des électrons dès le début du trajet. Les collisions avec les noyaux deviennent non négligeables.

En fait Mott puis Henneberg ont montré que dans ce cas, l‟expression classique de la perte d‟énergie reste valable (voir plus loin).

3. Les différents régimes de perte d’énergie (dans le cas de l’interaction avec un électron de l’atome cible)

Il convient de comparer l‟énergie cinétique de la particule incidente E_i à l‟énergie de liaison E_e de l‟électron lié à l‟atome.

- E_i > E_e : l‟électron de la cible est éjecté de son orbite par interaction électrostatique et emporte, au plus, l‟énergie cinétique E_i - E_e. L‟atome cible est alors ionisé (d‟où le nom de rayonnements ionisants).

- E_i < E_e : l‟électron de l‟atome cible reçoit une énergie insuffisante pour l‟arracher de sa couche mais peut le porter à un niveau énergétique supérieur : l‟atome cible est dit « excité ».

- E_i << E_e : l‟énergie de la particule incidente est transférée sous forme thermique à l‟atome ou à la molécule qui porte l‟atome : énergie de translation, rotation, vibration.

Sur le plan quantitatif, l‟énergie moyenne perdue par la particule incidente dépend du milieu cible. En biologie, le milieu habituel c‟est l‟eau. Une ionisation nécessite le transfert de 16 eV. Statistiquement, pour une ionisation se produisent aussi 3 excitations, et en outre, un nombre important de transferts thermiques. Ces phénomènes qui accompagnent l‟ionisation consomment également 16 eV en moyenne. Au total, 32 eV sont nécessaires en moyenne pour une ionisation, donc pour créer une paire d‟ions. Dans l‟air, cette énergie moyenne vaut 34 eV.

Ce qui vient d‟être décrit au niveau d‟une seule ionisation se reproduit un grand nombre de fois sur le parcours de la particule. On peut donc parler de la quantité d‟énergie perdue par unité de longueur. Cette perte d‟énergie spécifique représente le pouvoir d‟arrêt linéique du milieu (TEL : transfert d‟énergie linéique en keV/mm).

a) Interaction de la particule incidente avec les électrons du milieu Processus de perte d‟énergie dans la matière :

 Excitation – mécanisme secondaire

Premier cas : Ionization (ejection de l’électron)

Energie cinétique maximale transférée à un électron d‟ionisation Nous allons calculer l‟énergie cinétique maximale qui peut être transférée par ionisation entre une particule chargée incidente et un électron du cortège

électronique.

E

v m p   ₀

On fait l‟hypothèse que la vitesse de la particule incidente est très grande par rapport à la vitesse orbitale des électrons, c‟est à dire : v  v_e  Z



L‟électron sera donc considéré comme au repos dans le choc.

m₀

v

m_e

atome Z

Sachant que la collision est élastique, l‟énergie maximale transférée à l‟électron éjecté correspond à la situation suivante dans le CM:

Les règles de la cinématique relativiste permettent de trouver l‟expression de l‟énergie cinétique de l‟électron après la collision :

B e B e me Te



 cos2 1 2

cos2 2 2

   ₂

1 2 2 max

B eB m Te

 

On calcule la vitesse du centre de masse :

me m

m βγ me

W m βγ Wt

B p      0

0 0

0

0

CM

p0 _CM

pe

pCM

En remplaçant la valeur de B et en effectuant des calcules algébriques simples on obtient :

0 2 2

0 1

2 2 2

max

m me m

me

γ eβ m Te

 





















Si m₀ = m_e, la particule incidente est un électron et l‟expression se réduit à:

me Ee

me me

γ eβ m

Te     

 

 

















) 1 2 (

2 1 1

2 1 2

2 2 2

max  

 



Si m₀ >> m_e, et si l’énergie incidente E=m₀ est faible, on a :

2 1 0 2 0 2 0 2

1  

















m e m m m

me 

Donc, si la particule est beaucoup plus lourde que l‟électron et si la condition

2 1

0

m 

m_e



est satisfaite (pour un proton E_p < 50 GeV, pour un muon E_ < 500 MeV), on obtient:

2 2 max 2 _e 

e m

T 

Approximation non relativiste   1 :



















 2

2 0 2

0 2 4

2 2

max m c β

m me e c

m e (eV)

T 

0 0

max( ) 4 E

m eV m

T_e  ^e

où E₀ c‟est l‟énergie de la particule incidente.

L‟ionisation aura lieu si : T_e^max > I₀ , où I₀ c‟est le seuil d‟ionisation (Table 1).

L‟énergie minimum de la particule incidente pour induire l‟ionisation est alors :

0 0 min

0 4 I

m E m

e



Exemple : Cas d‟un proton dans l‟oxygène : I₀=12.2 eV, m₀=938 MeV, m_e=0.511 MeV.

L‟énergie minimum du proton pour induire l‟ionisation est ^E0 min ^{5.6 keV} . Pour protons de 1 GeV ( = 0.875, =2.066) on obtient

T^max=2x0.511x(0.875∙2.066)²=3.33 MeV.

Cette limite n‟est en fait jamais utilisée, surtout dans le cas des détecteurs minces, à cause des électrons  émis (voir le paragraphe suivant).

Pour les gaz courants l'énergie moyenne nécessaire pour créer une paire électron-ion est voisine de 30 eV. Dans les détecteurs utilisant des semi- conducteurs, cette énergie W_i est beaucoup plus faible, d'où leur intérêt :

W_i = 3.6 eV pour Si et 2.85 eV pour Ge.

W_i est en général plus grande que I₀, car il y a en général des excitations de l'atome qui accompagnent l'éjection de l'électron.

b) Electrons 

Dans les détecteurs l‟électron est éjecté avec une énergie E qui peut prendre n‟importe quelle valeur jusque T_max. Si l‟énergie E est grande (100eV) l‟électron va être responsable d‟ionisations secondaires dans le milieu (2/3 des cas). Une expression approchée de la probabilité pour que l‟électron reçoive une énergie supérieure à E est donnée par :

2 2

) 1

( A E

K Z E

P 

 

Le nombre d‟électrons avec l‟énergie comprise entre E et E+E, lors de la traversée d‟une épaisseur dx d‟un matériau de masse volumique  est :

) 2

(

E dE dE

E dx P

dn  

Le nombre N d‟électrons émis avec une énergie E telle que: E₀ < E < T_max est :

1 ) 1

( )

(

max

max 0

0

0





 ^T

E P E dE E T

E E

N

Si E0 Tmax alors

0

1 N  E .

La figure ci-dessous donne le nombre d‟électrons éjectés avec une énergie E0

E  pour des protons de 1 GeV en fonction de E₀ dans un centimètre d‟Argon, dans les conditions normales.

Il y a par exemple 10 électrons émis avec une énergie au dessus de 15 eV, qui est le potentiel d‟ionisation de l‟Argon.

4. Cas d’un transfert d’énergie faible : Perte d’énergie moyenne. Formule de Bethe

Calcul non relativiste et non quantique avec des hypothèses simplificatrices :

 Les particules sont supposées ponctuelles.

 L‟énergie de liaison des électrons du milieu est supposée faible devant l‟énergie transférée ; la réaction se réduit à une diffusion élastique de la particule sur un électron.

 La vitesse de l‟électron est faible devant celle du projectile : il est considéré comme étant au repos.

 Le projectile perd peu d‟énergie et sera peu dévié. Nous considérerons donc que sa trajectoire sera rectiligne et que sa vitesse v sera la même avant et après le choc.

Rappel : relation entre A et la densité  Par définition :

1 mole de l‟élément X contient Ɲ_A atomes de l‟élément X et pèse : A = Ɲ_A∙ (masse d‟un atome)

V= n_m(mole)∙A / V = (N_at /Ɲ_A)∙ (A / V) = (N_at/V)∙(A/Ɲ_A)= n∙A/ Ɲ_A

où n est le nombre d‟atomes par unité de volume du matériaux considéré et sa masse volumique (abusivement appelée « densité »).

Finalement

n = Ɲ_A ∙A

θ b

db

b

x

– Pouvoir d'arrêt dE/dx, perte d’énergie E et formule de Bethe-Bloch

Classiquement on peut calculer dE/dx de la façon suivante. D‟abord on calcule l‟impulsion p fourni par la particule incidente à un électron atomique à travers la force de Coulomb:

πεze vb vb dθ

π θ zeπε p

θ dθ dx b

tgθ , x b

b , r

, avec v

θ dx πε r

dt ze Fy pt

p

2 0 sin 2

04 0 2

sin2 sin 2

2 sin 1

0 2 4

2

 









 





 





 



 _







 

où z, v, b sont la charge, la vitesse et le paramètre d‟impact de la particule, respectivement.

On calcule puis dans une approche non-relativiste l‟énergie transmise à l‟électron:

me b ε v

π

e z me

e p

dE 2 2 2

2 0 8

4 2 2

2 



En admettant une distribution uniforme des électrons, le nombre des "collisions" que la particule subit avec des électrons situés à un paramètre d‟impact compris entre b et b+db, et dans une épaisseur dx est

 ^{π b db dx}  ^{ρ (N /A) Z}

dN

 2

qui engendre un transfert d‟énergie (ρN /A)Zdbdx

me b πε v

e e z

edE e dN

dT A

2 02 4

4

 2



La perte d‟énergie par unité de distance est donc :

Problème : l‟intégrale diverge ! On peut (on doit) en limiter les bornes en utilisant des arguments un peu qualitatifs…

Par la suite, « quelques approximations » vont être faites afin d‟estimer au mieux cette équation.

b ) ( b v

πε m e /A)Z z

N dx (

(b) dT dx

dE

e A

b b

e

min max 2

2 0

4 2

4 ln

m ax

m in







 

Estimation de b_min et b_max

b grand  E(b) petit

Les électrons sont liés aux noyaux. Le transfert d‟énergie est plus petit que l‟énergie moyenne d‟ionisation I des électrons et le processus n‟est plus efficace.

On demandera donc que : E(b) > I, ce qui donne :

On tire une valeur pour b_max :

b petit  E(b) grand

On a montré que l‟énergie maximum transférable est :

0 2 2

0 1

2 2 2

max max

m me m

me

γ eβ m Te

E

 

























m I v b

e z πε )

dE (

e

e   _{2 2} 

max 4 2 2

0

2 4

1

I m v

ze b πε

e

2 4

1 ²

0

max   

En supposant m₀ ≫m_e, E_max~2.m_e²²c²= 2.m_ev²²

et comme

on obtient



En introduisant =1(limite non rélativiste), b_max, b_min, le rayon classique de l‟électron on obtient :



 



 

 I

v A m

v N

c m r Zz dx

dE _e

A e

e

2 2

4 2

2 2

ln ) /

2 (

où I c‟est constante d‟ionisation ou le potentiel moyen d‟excitation des atomes du milieu. Cette relation, obtenue par Bohr, n‟est qu‟approximative.

m

γv ze

b πε

2

0

min

4

 1

2 2

4 2 2

0

2 2

4 1

2 m b v

e z πε

m Δ(p ) ΔE

e



 



 



2 2 0

1

e 4

e

r e

 m c



2 2 min

4 2 2

0 2

2 2

4 2 1

v b m

e z v πε

m

e

e 

 



 



Le calcul à partir de la mécanique relativiste a été fait par Bethe et Bloch

 



 



   



 



 

 Z

C I

W v A m

v N

c m r Zz dx

dE _e

A e

e 2 2 2

ln

2 / ₂

2

max 2

2 2

4 2

2    



où   v/c,  1 1 v² _.

 est une correction pour les effets de densité de charge à haute énergie, tandis que C/Z tient compte des effets de liaison des électrons, effets qui sont importants à basse énergie.

En tenant compte que l‟énergie maximale transférée dans une collision T_max (vu précédemment) est :

e e

e e

e m v m m

m m m

m c

T m  





 2 pour 2

2 1

2

0 2

2 2

0 0

2 2 2

max  



 









on obtient approximativement



 



   



 



 











 



 



   

 



 



Z C I

c m z

r n c m

Z C I

c A m

c N m r Zz dx

dE

e e

e e

e A

e e

2 ln 2

) 4

(

2 ln 2

4 /

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

 





 

 



 





où n_é  Z



La constante d‟ionisation (I) appelée aussi le potentiel moyen d‟excitation, tient compte des propriétés globales des atomes (niveaux d‟excitation et sections efficaces relatives de ces excitations). C‟est une valeur difficile à calculer. Elle a été mesurée pour différents matériaux et paramétrée en fonction de Z.

eV si Z Z

. Z .

I .

13 8

58 76

9  ¹² 

 ^

13 pour

eV 7

12 

 Z

Z Z

I

Cependant I a des irrégularités locales dues aux fermetures des couches atomiques.

Pour les gaz et les corps légers celles- ci sont importantes et les formules empiriques données ci-dessus ne sont plus valables.

La correction de densité de charge () est due au fait que le champ électrique de la particule incidente polarise les atomes près de sa trajectoire. Cette polarisation réduit l‟effet du champ électrique sur les électrons plus éloignés (effet d‟écran). Cela réduit la perte d'énergie -dE/dx (parce que  > 0). Cet effet est plus important si l‟énergie des particules augmente (le champ électrique est plus étendu), ou si la densité du matériau est plus élevée (liquides et solides).

La correction C/Z tient compte des effets de liaison des électrons et est important à basse énergie.

Pour simplifier, on définit

2 -1

2

2

0 . 307075 MeV.g .

4 N r m c cm

K  



On peut donc exprimer dE/dx en unité d‟énergie par unité de densité de surface (eg. MeV g^-1cm²)

 

 



    



 



 

 Z

C I

c m A

Z K z

dx

dE

2 ln 2

1

2

2

   

 

Cette formule met en évidence les dépendances de dE/dx :

2

2



z : dépendance de la particule incidente; une particule  perd 4 fois plus d‟énergie qu‟un proton (pour un même  et même milieu).

A

Z : dépendence du milieu;

Z A  0. 5

Dépendance en énergie de dE/dx

Perte d‟énergie des muons dans le cuivre en fonction de =(pc)/(Mc²)=P/W. La formule de Bethe-Bloch s‟applique pour ≥0.1. Pour le muon, Mc²=105.66 MeV.

Au delà de l‟énergie critique E_c, la perte d‟énergie par rayonnement de freinage prend le dessus sur l‟ionisation.

 Pour les particules non relativistes, -dE/dx est dominé par le terme 1  ² _.

 Le terme C/Z est important à basse énergie, il contribue au niveau de 1% quand

=0.3 (pion de 6 MeV) et décroît fortement avec l'énergie. A très basse énergie

 < 0.05 il n‟y a pas de théorie satisfaisante. Pour v_particule < v_e : théorie de Lindhart.

 La diminution de -dE/dx continue jusqu'à un minimum large autour de p/mc = ß ~3-3.5 où la particule devient relativiste. Les particules avec cette énergie sont appelées les particules au minimum d’ionisation (MIP‟s).

Pour les électrons : un e^- de 1 MeV est au minimum d‟ionisation.

Pour les protons : un p de 1.9 GeV est au minimum d‟ionisation.

Pour les alphas ; un  de 7.5 GeV est au minimum d‟ionisation.

 La valeur de dE/dx au minimum est presque identique pour les différentes particules de même charge dans un même milieu. De plus, il est presque constant, de 1 à 2 MeV g^-1 cm², pour la plupart des matériaux (voir figure suivante).

• Après le minimum, à haute énergie,   1, dE/dx croit à cause du terme logarithmique en ß ; cette croissance est compensé en partie par la correction de densité ("remontée relativiste") (Figure 2.9).

• Avant le minimum, chaque particule a une courbe dE/dx qui, dans la plupart des cas, se distingue des autres types de particules. Cette propriété est souvent exploitée pour l‟identification des particules (figure 2.11).

A très haute énergie, les pertes d‟énergie par collision deviennent négligeables par rapport aux pertes par radiation (voir plus loin). Cet effet n‟est important que pour les particules légères (au dessus de 1 TeV pour les  par exemple).

 Avant l‟énergie MIP les dE/dx sont peu différentes pour différents matériaux solides.

 Le minimum est presque indépendant de matériau.

 L‟effet du terme  augmente avec l‟énergie incidente et avec le  du milieu  pente plus plate pour les solides.

Application

Pour des particules non-relativistes (ions lourds de GANIL par exemple)

2

2 1

E Az dx

dE v

z dx

dE    



 





On mesure simultanément E et E dans une épaisseur dx.

Az2

E E donc

dx x E dE













A chaque ion correspond une hyperbole dans le plan (E, E).

Validité de la formule Bethe-Bloch : Résumé

• La formule Bethe-Bloch est une approximation précise au niveau de quelques pour-cent pour les particules lourdes de quelques MeV (ß ~ 0.1), jusqu‟à des centaines de GeV.

• A très haute énergie (TeV), la perte d‟énergie par radiation devient importante et la formule doit être complétée par des termes supplémentaires (voir plus loin).

• A très basse énergie, quand la vitesse des particules est comparable à celle des électrons atomiques, la formule n‟est plus valable.

Pertes d'énergie à basse énergie

La correction de couche en 2C/Z corrige partiellement des effets d'énergie de liaison des électrons sur les couches atomiques du matériau ("Correction de Barkas" qui dépend de la charge du projectile).

Voir : http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/text/contents.html

C'est une correction de l'ordre de 1% à  = 0.3 (énergie cinétique pour un pion de 6 MeV) dans le cuivre. Cette correction décroît rapidement lorsque l'énergie incidente augmente.

Des corrections d'ordre supérieur peuvent aussi être apportées. Lorsque ceci est correctement fait, la précision de la formule de Bethe est de 1% jusqu'à  = 0.05 (1 MeV proton).

Pour 0.01 <  < 0.05, il n'y a pas de théorie satisfaisante.

Pour les protons il y a des formules empiriques de "fit" développées par Anderson et Ziegler.

Pour  < 0.01 (la vitesse des électrons sur leur orbite) la théorie de Lindhart reproduit bien le dE/dx qui est proportionnel à .

A très basse énergie les interactions nucléaires deviennent plus importantes.

Exemple: Dans la référence ICRU49, le dE/dx des protons dans le cuivre à T = 10 keV est de 113 MeV/cm²g^-1 et atteint un maximum à 100-150 keV (210 MeV/cm²g^-1) et tombe à 120 MeV/cm²g^-1 à 1 MeV.

Au dessus de 0.5-1 MeV la théorie de Bethe devient satisfaisante.

dE/dx pour mélanges et composés

Une bonne approximation est de faire la moyenne sur chaque élément simple, pondérée par la fraction d'électrons appartenant à chaque élément (Règle de Bragg).





 



 



 



 

2 2 2 1 1

1 1

dx dE w

dx dE w

dx dE







w

m i i

i A

A w  a

ai= nombre d'atomes de l'élément « i » dans la molécule

Ai = masse atomique de l'élément



 _{i i}

m a A

A

A partir de la formule précédente on peut calculer:

















i i eff

eff i i i eff

eff i i

i eff

i i eff

C a C

Z Z a

Z I Z

I a

Z a Z

 

) ) ln(

ln(

NB: Il est plus commode d'utiliser les 



 



 dx dE



en MeV/g/cm² plutôt que le 



 



 dx dE

en MeV/cm

) ,

1 ₂ (

I A f

z Z dx

dE d

dE 



 ^_ ^

 



 

Pour des matériaux de Z voisins, Z/A varie peu. De même pour I en fonction de Z. Le





 



 dx dE

varie peu en fonction du matériau.

Exemple: Protons de 10 MeV dans 1 g/cm² Cu: 27 MeV/g/cm²

Al: 33 MeV/g/cm² Fe: 28 MeV/g/cm² Pb: 17.8MeV/g/cm²

Loi d'échelle

Dans un matériau donné la formule de Bethe peut être écrite sous la forme:

)

2 f ( dx z

dE 

 _{ou f ()}est uniquement fonction de la vitesse de la particule. La perte d'énergie dans n'importe quel matériau dépend uniquement de la charge et de la vitesse de la particule. Comme l'énergie cinétique s‟exprime comme

) 2

1

( mc

T 



La relation ci-dessus devient 



 





 m

f T dx z

dE ₂

. Ceci suggère une loi d'échelle:

Si on connaît le dE/dx pour une particule de masse m₁ et de charge z₁, alors la perte d'énergie d'une particule de masse m₂ et de charge z₂ dans le même matériau, on pourra écrire pour la particule 2:





 



 

2 1 2 1 2

1 2 2 2

2 ( )

m T m dx dE z

T z dx dE