II. Construction par la méthode de Héron

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

Approximation de p 2

Introduction

Dans ce problème, nous allons construire deux suites de nombres réels convergeant versp 2.

I. Construction par le principe de dichotomie

On considère les suites (a_n)_n∈Net (b_n)_n∈Ndéfinies para₀=1 etb₀=2 et

∀n∈N, an+1=











a_n si

µan+bn

2

¶2

>2 a_n+b_n

2 si

µa_n+b_n 2

¶2

6^2,

bn+1=











an+bn

2 si

µan+bn

2

¶2

>2 bn si

µa_n+b_n 2

¶2

6^2.

1. Généralités.

a) Calculera_netb_npourn∈J^{0, 3}K^.

b) Placer les points précédents sur un axe gradué.

2. Programmation.

a) Écrire une fonctiondicho(n)en langage Python qui prend en argument un entier natureln et qui retourne le couple (a_n,b_n).

b) Utiliser votre algorithme pour calculer (a₁₀,b₁₀).

3. Convergence des suites.

a) Montrer queb_n−a_n=2⁻ⁿpour toutn∈N.

b) Montrer que la suite (a_n)_n∈Nest croissante et que la suite (b_n)_n∈Nest décroissante.

c) En déduire que les suites (a_n)_n∈Net (b_n)_n∈Nconvergent vers un nombre`∈R. 4. Approximation dep

2.

a) Montrer quea_n6^p26^bnpour toutn∈N. b) En déduire que`=p

2.

c) Expliquer comment obtenir une valeur approchée dep

2 à 10⁻¹⁰près à l’aide des questions précédentes. On ne demande pas de déterminer une telle approximation.

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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

II. Construction par la méthode de Héron

On considère la suite (u_n)n∈Ndéfinie paru₀=2 et

∀n∈N, u_n+1=1 2 µ

u_n+ 2 u_n

¶ .

1. Généralités.

a) Calculeru_npourn∈J^{0, 3}K^.

b) Dans un repère orthonormé, tracer les courbes représentatives des fonctions t7→ 1 2 µ

t+2 t

¶

ett7→tsur l’intervalle ]0,+∞[.

c) Sur l’axe des abscisses du graphique de la question précédente, construire géométriquement les nombres réelsu_npourn∈J^{1, 3}K^.

2. Programmation.Écrire une fonctionheron(n)en langage Python qui prend en argument un en- tier naturelnet qui retourne le nombreu_n.

3. Convergence de la suite.

a) Montrer queu_n>^p2 pour toutn∈N.

b) Montrer que la suite (u_n)_n∈Nest décroissante.

c) En déduire que la suite (u_n)_n∈Nconverge versp 2.

4. Contrôle de l’erreur.

a) Montrer que

∀n∈N, u_n+1−p

26^(un− p2)² 2p

2 .

b) En déduire que

∀n∈N, u_n−p

26^2p2

Ã2−p 2 2p

2

!2ⁿ

.

c) Calculer une valeur approchée dep

2 à 10⁻¹⁰près à l’aide des questions précédentes.

5. Comparaison entre les deux méthodes.Quelle est la méthode la plus efficace entre les deux pré- cédentes pour obtenir une valeur approchée du nombrep

2 ? Justifier votre réponse.

Fin

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