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Un modèle théorique simple pour l’étude du mouvement
des ions dans un accélérateur linéaire
Michel-Yves Bernard
To cite this version:
UN
MODÈLE
THÉORIQUE
SIMPLE POURL’ÉTUDE
DU MOUVEMENT DES IONS DANS UNACCELÉRATEUR LINÉAIRE
Par MICHEL-YVES B ERNARD,
Laboratoire de Radioélectricité de l’École Normale supérieure.
Sommaire. 2014
On propose un modèle mathématique pour représenter le mouvement des ions dans
un accélérateur linéaire. On décrit d’abord par une loi simple le mouvement de la particule « type »,
celle dont la phase reste constante par rapport à l’onde accélératrice; on dispose de paramètres en
nombre suffisant pour ajuster convenablement le modèle aux données expérimentales connues. Il est alors possible, grâce à la simplicité des formules obtenues, de mener à son terme l’étude du mouvement des ions. L’auteur traite ensuite le mouvement longitudinal; les formules obtenues permettent de rechercher les conditions optima de groupement des particules autour de la particule « type ». On montre,
en particulier, qu’un champ d’amplitude croissante avec l’abscisse donne, toutes choses égales par
ailleurs, un groupement en phase très énergique.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SUPPLÉMENT AU N0
PHYSIQUE APPLIQUÉE. TOME 1;), OCTOBRE t9~4, PAGE A.
1. L’accélérateur linéaire d’ions. - l . I .
PRIN-CIPE DE L’ACCÉLÉRATEUR LINÉAIRE D’IONS.
DIFFI-CULTÉS D’UNE THÉORIE DIRECTE DU MOUVEMENT.
-L’appareil (fig. I )
se compose d’une cavitéréson-nante,
chargée,
suivant son axe, par une successionde
tubes,
delongueur
variable, séparés
par descoupures. Le diamètre de ces tubes est tel
qu’aucune
onde
progressive
nepuisse prendre
naissance à l’intérieur.On constatera sans
peine
que lechamp
Ez
surl’ax,e des
tubes,
al’aspect
donné à lafigure
1.Chaque
coupure donne une courbe en
cloche,
dontl’ampli-tude varie sinusoïdalement avec le
temps.
Nousnoterons ce
champ :
Nous avons
indiqué
antérieurement unprocédé
permettant
d’évaluernumériquement
cechamp
[4].
Considérons une
particule qui
traverse le centrede la
première
coupure autemps t,.
Elle subit unecertaine accélération. La seconde coupure est
placée
de
façon
que laparticule
y retrouve lechamp
accélérateur dans la mêmephase,
doncqu’elle
la traverse autemps
t,
+ T. Les autres coupures serontplacées
suivant la même loi. Cetteparticule
qui
seraappelée
dans la suite laparticule
«type
»aura donc un mouvement très
régulier;
toutes lesautres, par contre, auront des mouvements
plus
compliqués;
certainesparticules, complètement
«
déphasées »
traverseront les coupures à des instants où lechamp
estretardateur,
seront freinées et seperdront
dans lesparois.
Il est
important
de noter que tout l’accélérateur est bâti àpartir
du mouvement de laparticule
«
type »;
comme ce mouvementdépend
de la struc-ture del’accélérateur,
on voitqu’il
y a là un cerclevicieux,
qui
ne sera résolu que par une méthoded’approximations
successives.Le modèle
théorique
leplus
évident consiste àétudier le mouvement d’une
particule
à travers le~
Fig. i. - Schéma de
principe
d’un accélérateur linéaire;
allure du champ sur l’axe.
champ
stationnaire d’une coupure.L’équation
du mouvement axial est :Malheureusement,
on ne sait pasintégrer
unetelle
équation.
Les tentatives de F. Rabinovitch[16]
ne laissent que peu
d’espoir
d’obtenir une solutionreprésentable,
même defaçon approchée
par des fonctionssimples.
Il faut faire desapproximations,
comme celle
qui
consiste à écrire que le«
temps
de transit » de laparticule
à travers la coupure estnégligeable.
Comme cetemps
de transitest de l’ordre du
quart
depériode,
laquantité
cos w 1passe de o à I,
pendant
la traversée de la coupurepar la
particule.
On ne saurait donc assimilercosùjl avec une constante. Nous sommes donc contraint de chercher un autre modèle
théorique.
1.2. ACCÉLÉRATION DES PARTICULES PAR UNE
ONDE PROGRESSIVE. - Certains
montages
sontsusceptibles
de créer une onde de vitesse variable.Les deux
plus
connues sont leguide
à corruga-tions[7],
{8],
[9], [10]
couramment utilisé pourl’accélération des électrons, et le
guide
chargé
parune hélice de pas variable
[5], [6]
utilisé enparticulier
dans les tubes haute
fréquence
àpropagation
d’onde. Soit
le
champ
axial d’une telle onde. Onconçoit qu’une
particule
de masseM,
et decharge
epuisse
accompagner l’onde en restant à une
phase
cons-tante Cf/s. En
effet,
elle est soumise à la force :Mais
puisque
saphase
reste constante, etégale
à (p,,son
équation
horaire est de la forme :En
exprimant
que la force estégale
auproduit
de la masse par
l’accélération,
on obtient lacondi-tion de
synchronisme :
L’onde devra obéir à cette
condition,
pour êtrecapable
d’accélérer uneparticule,
en la maintenantà la
phase
Si l’onde n’obéit pas à cettecondi-tion,
elle seraincapable
d’accélérer defaçon
continue.Elle
agira
sur laparticule,
tantôtpositivement,
’
tantôt
négativement;
son action seranulle,
enmoyenne, et en réalité se traduira par la
présence
de
petites
oscillations. Nous aurons l’occasion demontrer que
l’amplitude
de ces oscillations est trèspetite,
surtout si lafréquence
estimportante.
On voit maintenant sedégager
leprincipe
d’unethéorie de l’accélérateur linéaire à ondes progres-sives :
- Choisissons le mouvement de la
particule
«
type
», et déduisons de la condition desynchro-nisme l’onde
progressive
qu’il
fautréaliser;
- Cherchons ensuite un
guide
accélérateurqui
puisse
donner une telle onde.,
L’étude du mouvement
général
desparticules
seraalors très facile
grâce
à laforme,
engénéral simple,
de l’onde obtenue à
partir
del’équation
desynchro-nisme.
Malheureusement,
si l’on cherche à réaliser unguide
àcorrugations,
donnant naissance à une ondede vitesse suffisamment faible pour accélérer des
protons
de faibleénergie,
on obtient descarac-téristiques
mécaniques
irréalisables.(Prenons
unefréquence
de 3 .109 MHz pour l’onde accélératrice.Un
proton
de I MeV(1)
parcourt 4
mmpendant
unepériode.
Il est difficile deplacer
deuxcorrugations
aussi
près.
Par contre, un électron de iookevparcourt, pendant
unepériode,
5,4
cm,etc.).
La méthode de l’onde
progressive
ne semble pasréalisable
simplement
pour l’accélération despro-tons à
partir
de faiblesénergies.
Des recherches ont lieu actuellement sur cesujet [6j.
1 .3. ANALOGIES ENTRE LES DEUX PROCÉDÉS
D’AC-CÉLÉRATION. - Nous avons vu
que l’onde accélé-ratrice devait obéir à une certaine condition de
synchronisme.
Toute ondequi
n’y
satisfait pas seborne à
perturber
légèrement
le mouvement de laparticule.
Si nous
ajoutons,
à l’onde accélératrice l’onderétrograde :
(qui
ne satisfait pas à la condition desynchronisme)
on obtient une onde
stationnaire,
qui
serapproche
de celle réalisée dans
l’appareil
de lafigure 1.
Si nous
ajoutons
encore desharmoniques
station-naires de la f orme :
on trouve un
champ
stationnaire :dont la forme
peut
êtrequelconque,
mais dontl’action
dynamique
essentielle est celle de lacompo-sante fondamentale :
les autres
n’apportant
que desperturbations.
On
comprend
alors que la théorie que nous avonsébauchée au
paragraphe précédent
puisse s’appliquer
à l’accélérateur d’ions.
Pour ce faire on choisira une loi
simple
pourreprésenter
defaçon approchée,
le mouvement dela
particule
«type
». La condition desynchronisme
fournira l’onde accélératrice
qui
crée cemouvement,
et en
particulier
la loi desphases v
(z) qui
fixe laposition
des coupures accélératrices.Le
champ
réel A(z)
est alors déterminé. Reste àsavoir s’il
peut
se mettre sous la forme d’une sommede fonctions d’onde.
Un raisonnement
identique
à celui des séries de (1) On sait que l’on mesure l’énergie d’un corpuscule àpartir de la différence de potentiel statique qui lui aurait
communiqué la même énergie. Il nous arrivera souvent de
Fourier
permet
d’obtenir les coefficients an pourque la fonction :
représente
lechamp
A(z).
Nous reviendronsulté-rieurement sur ces résultats.
Dans la
pratique,
il faudraajuster
lalargeur
descoupures, le rayon des
tubes,
etc., defaçon
que le coefficient de l’onde fondamentaleA,
soit aussigrand
quepossible,
tandis que ceux desharmoniques
voisins
soient,
aucontraire,
aussi faibles quepossible.
Dans la
plupart
des cas,l’usage
de modèlesexpé-rimentaux sera
plus
efflcace que la théorie, pour ladétermination des
caractéristiques
de la cavité.Il convient de noter, en
termiiiant,
quel’appareil
de la
figure
I donnera unchamp
dontl’amplitude
est la même tout le
long
dumontage.
Rienn’em-pêche
de supposer que l’onplace
ces tubes surl’axe d’une cavité de diamètre
variable;
ou bienencore, que l’on alimente
chaque
coupure par unecavité
particulière,
toutes ces cavités étant bienentendu
couplées
pour vibrer enphase.
Nous reviendrons sur ces divers
procédés,
nousbornant à
signaler
qu’il
n’est pas inutile d’étudier le cas dechamps
accélérateurs dontl’amplitude
varie avec l’abscisse. Nous verrons d’ailleurs que ces
champs
sont doués depropriétés dynamiques
intéressantes.
2.
Principes généraux
de la théorie dumou-vement. - 2.1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT DE
LA PARTICULE « TYPE ». --- ~ . I . I . Loi
d’accrois-sement de
l’énergie.
- Les donnéesfondamentales,
qui
fixent lescaractéristiques
de l’accélérateur sontsa
longueur
L et lesénergies
de laparticule,
àl’entrée, Oi
et à lasortie Of.
Lareprésentation
graphique
de la fonction donnantl’énergie (D (z)
de laparticule
«type
», en fonction de l’abscissepar-courue aura l’allure de la
figure
2. Comme cetteparticule
« type ))
a un mouvementrégulier,
la courbeaura une forme
simple.
Nous chercherons à la
représenter
par un arc decourbe de la fonction
puissance;
nous poserons :v étant un nombre
positif.
On le déterminera ulté-rieurement defaçon
que la loi choisiereprésente
aussi correctement que
possible
lespropriétés
expé-rimentales des accélérateurs.
Le
paramètre K,
par contre, est déterminé enécrivant que la traversée d’une
longueur
Lcorrespond
à un
gain
de d’oùL’origine
des abscisses ne coïncide pas avec l’entréede l’accélérateur dont l’abscisse est :
Il est évident que la fonction
représentant
la loi réelle(en pointillés
sur lafigure)
n’aura pas lespoints anguleux
que lareprésentation
approchée,
~ = Kz2v introduit à l’entrée et à la sortie. Nousnégligerons
lesperturbations
ainsi introduites.2. r . 9. Loi du mouvement de la
particule
«type
».-En
remplaçant
par sonexpression
classique 2 J- Mv2,
,FI
.
Fig. 2. -
Énergie
de la particule « type aen fonction de la distance parcourue.
on obtient la vitesse en fonction de l’abscisse : i
Une
intégration
fournit ensuitel’équation
horairedu mouvement :
ti est l’instant
d’injection
de laparticule
dans l’accélérateur. Nousprendrons,
commeorigine
destemps,
l’instant immédiatement antérieur àl’injec-tion où le
champ
appliqué
àl’appareil
s’annule.w ti sera donc inférieur à 2 7r.
Dans le cas
particulier v
= i,l’intégration
estun peu
différente,
et l’on a :Le
temps
de transit de laparticule
à travers1
en
prenant
comme variablele
potentiel
de laparticule
type
comme nous le ferons souvent désormais. 2. 1 .3. Petitesse de la eorrecüon relativiste. - Nouscontinuons à décrire le
potentiel
de laparticule
type
par la mêmeloi,
mais nous cherchons àpréciser
le mouvement vers les
grandes énergies,
lorsque
la correction relativiste commence à faire sentir soneffet.
Prenons
l’équation
relativiste liant la vitesse àl’énergie :
1
et
développons
en série en negardant
que les deuxpremiers
termes.Nous avons, en
remplaçant
lepotentiel
par sonexpression :
dont
l’intégration
conduit,
dans les limites del’approximation,
àUn terme correctif
apparaît.
Cherchons son
importance
dans le cas del’accé-lérateur de
Berkeley,
dont on trouvera lescarac-téristiques
auparagraphe
2.3.I,
ainsi que lesvaleurs des
paramètres
correspondant
à ce modèle.. On trouve pour le terme correctif :On voit que le coefficient est extrêmement faible. Le
temps
de transit n’est pas modifié defaçon
sensible
(moins
de I pour100).
Il est donc clair que
l’approximation
newton-nienne fournira d’excellents résultats dans la théorie d’accélérateurs d’ions de ce
type.
Une foisl’avant-projet
terminé,
on pourra sepréoccuper
des valeursdes corrections
qui
résultent de l’effet relativiste.2 .1. 4.
Quelques
formules
utiles. - Il est aisé detrouver la relation entre
l’énergie
de laparticule
et letemps.
On en déduit legain d’énergie
àchaque
période.
On a sensiblement :f
= 1
étant lafréquence
de l’onde hautefréquence
2 R
accélératrice. Considérons maintenant la structure du
guide
accélérateur(cf. fig,
i).
Comme laparticule
franchit une coupure accélératrice par
période,
laquantité
Ll~ est liée à la différence depotentiel
qui
existe entre les bords des coupures. Cettediffé-rence de
potentiel
nepeut dépasser
une certainevaleur,
souspeine
d’entraîner desclaquages.
D’autrepart,
la formule(2.2),
permet
decal-culer la distance Az parcourue entre la et la
(n
+période :
1
Cette distance
représente
lalongueur
du tubeaccélérateur de la
figure
I. On pourra ainsi se rendrecompte
de lalongueur
de cestubes,
ainsi que celledes coupures.
Pratiquement,
lalargeur
de la coupuresera une fraction déterminée de la distance
par-courue
pendant
unepériode 1
ou1
etc
Lorsque
l’on voudra faire leprojet
d’unaccélé-rateur il sera utile de connaître ces
paramètres,
qui
fixeront l’ordre de
grandeur
admissible pour v.2.2. CALCUL DU CHAMP ACCÉLÉRATEUR. -2.2. 1. Onde
progressive.
- Lechamp
sur l’axeest de la forme :
Exprimons
que laphase
de laparticule,
parrapport
à l’onde est constante etégale
à y,. On obtientet
l’application
de la condition desynchronisme
donne
l’amplitude :
Finalement,
on a :Il est aisé de déduire de
l’expression
duchamp
En
appliquant
le théorèmed’Ampère
à unpetit
cercle d’axe Oz et de rayon r, on a :
et, en
transportant
dans cetteformule,
l’expression
de Ez :
On obtiendra la valeur du
champ
radial enappli-quant
le théorème de Gauss à unpetit cylindre
d’axe Oz et de
longueur dz :
d’où
l’on
déduit :Ces
expressions
seront utiles pour calculer le mouvement latéral desparticules.
2 . ~ . 2. Onde stationnaire. - Nous obtiendrons
l’onde stationnaire en
composant
deux ondespro-gressives
en sens inverse :En utilisant les
expressions
duchapitre précédent:
Les noeuds de cette onde stationnaire se trouvent
aux abscisses
correspondant
à cp = k7r :Nous sommes en mesure de connaître le
champ
qu’il
faudra réaliser pour obtenir le mouvementchoisi pour la
particule
type.
Plusieurs cas seprésentent :
~ I ~~
c’est le cas, entre autres, desaccélé-rateurs du
type
de Sloan[11],
[12],
où la mêmesource de
potentiel
alimentechaque
coupure. De cefait,
legain
depotentiel
est le même àchaque
coupure. La formule
(2.4)
montre que cela estréalisé pour v
= 3 .
C’est donc cette valeur du para-mètrequi
décrira lesappareils
dutype
Sloan. Lechamp
a uneamplitude
décroissante,
avec zcomme
l’indique
lafigure.
La distance de deuxnoeuds consécutifs croît
plus
lentementqu’une
progression
arithmétique.
2~
Lorsque v
2
lechamp
a uneamplitude
constante. La distance de deux noeuds consécutifs
croît en
progression arithmétique.
C’est lechamp
que l’on trouve réalisé sensiblement dans les
appa-reils du
type
Alvarez[1], [2], [3].
Ce sera lechamp
leplus
aisé à réaliser sur unelongueur
importante.
30
Enfin,
si v estsupérieur
à2
>l’amplitude
duchamp
croît avec la distance. Un telchamp
n’estdonc
pratiquement
réalisable que sur unelongueur
limitée,
car on trouverarapidement
des valeurstrop
élevéesqui
amèneraient desclaquages.
On utilisera donc ce
champ
de deux manières :- soit dans un accélérateur
court, cas
qui
nesoulève pas de
difficultés;
Fig. 3. - Diverse allures du
champ accélérateur suivant les valeurs du paramètre v.
. Sur la courbe inférieure, lire 112 v. -- soit dans un
appareil long,
à condition dechanger
laloi,
après
une certainelongueur.
En effet, lechamp correspondant
à cette valeur de v serévélera très utile pour rassembler les
particules.
On pourra donc le
choisir,
sur lespremiers
mètres del’appareil.
Puis,
une fois legroupement
obtenu,
on reviendra à des valeursplus
aisémentréalisables,
telles que v= À
ou v==3
·La
figure
3 illustre ces différents cas.2 . 2 . ~. Perturbations
apportées
par l’onde de retour.-
L’équation
exacte du mouvementlongitudinal
d’une
particule
dans lechamp
est :en
prenant
l’expression
duchamp
stationnaire.Il est bien évident que la formule
(2 . ~)
ne fournira pas une solution de cetteéquation
puisque
nousl’établir. Il est donc essentiel d’évaluer la
pertur-bation ainsi introduite.
Prenons donc la solution exacte sous la forme :
zi
représentant
l’abscisse de laparticule
dont laphase
reste constante, déduite del’équation
(2.2).
En se limitant à
l’approximation
dupremier
ordre,
on trouve une
équation
différentiellesimple
pour laperturbation E :
d’où l’on définit E. La
particule
de référence effectuera donc autour de son mouvementrégulier,
créé parl’onde de sens
positif,
delégères
oscillations,
crééespar l’onde de retour..
Dans le cas très intéressant en
pratique
où )= 1,
1l’amplitude
constante des oscillations est donnée par:A titre
d’exemple,
dans le cas de l’accélérateurde
Berkeley,
on trouve uneamplitude
de l’ordrede 1
/loe
de millimètre cequi
estnégligeable
devant lalongueur
de l’accélérateur.Nous avons donc le droit de
négliger
l’onde deretour surtout si la
fréquence
estgrande.
C’est ceque nous ferons dans la suite de cette étude. Les
expérien,ces
faites par M. Sarazin[10]
sur un accélérateur d’électrons montrent que cetteperturbation
estpratiquemen,t
insensible.2.3.
QUELQUES
EXElVIPLESNUMÉRIQUES.
-2.3. I.
Application
il un accelérateur existant. - Laréalisation moderne d’accélérateur linéaire à
protons
la mieux connue est celle d’Alvarez et de sescolla-borateurs,
àBerkeley
[1], [2], [3].
L’appareil
a 12,2 m delong.
Ilreçoit
desprotons
à4 .106 eV
et lesporte
à Les tubes accélérateurs sontplacés
suivant l’axe d’une cavitécylindrique,
de rayon46
cmqui
oscille suivant lemode
EOIO’
Lechamp
accélérateur a donc uneamplitude
constante, cequi
montre que lemou-vement de la
particule
type
sera décrit par lavaleur ·~
_ -’ I
..On déduit de là :
Comparons
avecl’expérience.
Il y al6
tubes deglis-sement, sur l’axe. La
particule
met unepériode
pour traverser un de ces tubes. Comme la
fréquence
est
f
= 202,5MHz, on déduit sanspeine
letemps
de transitexpérimental
At =2,25 . Zô ’
s. L’accordest bon.
Les formules
permettent
de calculer lalongueur
destubes;
on a sensiblement :On a
donc,
pour lepremier
tube14 cm
et pour ledernier 38 cm, les tubes intermédiaires se déduisant
par une
progression
arithmétique.
On trouve, dansl’appareil
réel,
leslongueurs
13,8 et37
cm pour lestubes extrêmes. L’accord est encore correct.
Enfin,
dernierexemple,
calculons lechamp
dans l’accélérateur. On trouve avec notre modèle/i,85.10~
V lm.
L’appareil
réelcorrespond
à unchamp
de1,5.106
V jfoot,
cequi
donne encore untrès bon accord.
Le calcul du
champ
accélérateur nécessite la conn,aissance de laphase
de laparticule type.
L’appareil
deBerkeley
estréglé
pour unephase
de o., = ~ 1 20°
(3oo
du maximum del’onde).
Il est donc clair que notre modèle est bienadapté
à ladescription
de cet accélérateur.2.3.2.
Application
à unprojet
d’accélérateui,.-Cherchons à établir les
principales
caractéristiques
d’un accélérateur, en utilisant notre modèle. Prenons desprotons,
issus d’un accélérateurpréliminaire
à (Di = 1 og eV. Un. tel accélérateurpréliminaire
sera,par
exemple,
un transformateur àimpulsions,
tel que celuiutilisé,
au C. I. T. pourl’injection
desélectrons dans un
synchrotron
[13].
Cherchons àleur
communiquer l’énergie
après
un parcours de L = 3 m. ,
Fixons-nous la
phase
de laparticule
type.
Nous verrons auparagraphe
3 que cettephase
estobligatoirement comprise
entre §
et et ne sauraitpas
approcher trop près
de 7r souspeine
de néces-siter unchamp
accélérateurtrop
intense. PrenonsCf = 115° pour fixer les idées.
Reste à choisir la
fréquence
d’alimentation,
etla valeur de v . Les résultats d’Alvarez et de ses
collaborateurs montrent que la valeur j
=§
estréalisable;
elle donne unchamp
d’amplitude
cons-tante. Il est vraisemblable
qu’en
utilisantplusieurs
cavités ou une seule de diamètrevariable,
onpuisse
obtenir unchamp
d’amplitude
variable,
mais il est peu
probable
que l’onpuisse
construiredes
appareils
donnant deschamps
dontl’ampli-tude
augmente
rapidement.
Il est donc sage de seborner à
prendre,
commeexemple,
des valeurs voisinesde
Nousprendrons
successIvement 3
(montage
deSloan) ~
(montage
d’Alvarez), §
et nousterminerons par I
qui
correspond
à unchamp
dontl’amplitude
augmente
linéairement avec l’abscisse.On
peut
constater que lestemps
de transit sontpeu différents les uns des autres.
La
fréquence
intervient,
enpremier
lieu,
endéter-minant le nombre de coupures accélératrices. Comme
la
particule
met unepériode
pour franchirl’inter-valle
qui
sépare
deux coupuresaccélératrices,
onaura donc
Mais il est essentiel de tenir
compte
de la formule(2.5)
qui
donne la distance de deux coupures(longueur
du tube de
glissement)
et de la formule(2 . ~) qui
donne legain d’énergie
àchaque
coupure. Cegain
ne
peut
êtretrop
élevé,
souspeine d’exiger
desdifférences de
potentiel qui
feront naître descla-quages. D’autre
part,
lalongueur des
tubes nepeut
descendre au-dessous d’une certaine
valeur,
etc.Finalement,
dansl’exemple qui précède,
unefré-quence de ioo MHz
donne,
pour cesquantités,
desordres de
grandeur
convenables. C’est cette fré-quence que nousadopterons
dans la suite. Il yaura une
quinzaine
de coupuresaccélératrices,
dontla distance moyenne sera de l’ordre de 2o cm.
Si l’on admet que la
largeur
de la coupure estégale
au tiers de la
longueur
du tube deglissement,
onobtient des tubes de I 5 cm en moyenne et des coupures de 5 cm.
Ces.coupures
« tiendront »faci-lement les 200 ooo V que la
particule
gagne enmoyenne à
chaque période.
La loicomplète
dedistribution des
longueurs
de tube s’obtiendra sanspeine,
en utilisant la formule(2.5).
2 . 3 . 3..Emploi
des frés haufesfréquences.
- Ungénérateur
de ioo MHz n’est pas d’une constructionaisée,
et ne trouve que peud’applications
dans lapratique.
Aucontraire,
lesgénérateurs
de 3 ooo MHz(~
= 1 ocm)
sont maintenant courants,grâce
auradar. On
possède,
enparticulier,
desklystrons,
degrande
puissance,
qui
sont les oscillateurs rêvéspour alimenter une
cavité,
laquelle,
vibrant sur i o cmaura des dimensions
beaucoup
plus
faibles.Cherchons donc à
adapter
notre modèle àl’usage
d’une
fréquence
de 3 ooo MHz. Prenons2
Nousobtenons alors intervalles de
glissement,
delongueur
moyenne 6 mm(tube
de4-5
mm etcou-pures de
1,5 mm).
Il semble dill’lcile de réaliser desrésonateurs aussi
plats.
En outre, le diamètre inté-rieur des tubes doit être extrêmementfaible,
carles ondes doivent
pénétrer
le moinspossible
àl’in-térieur des tubes de
glissement.
Ilfaut,
eneffet,
que les
particules
soient soustraites à l’action duchamp pendant
lademi-période
où celui-ci est retardateur. Cette conditionimpérative
exige
destubes dont le diamètre est de l’ordre du millimètre
en moyenne. Il est clair
qu’un
tel résonateur estimpropre
à accélérer descorpuscules,
ceux-ci seperdant
tout de suite dans lesparois.
Le seul
espoir
d’utilisation des ultra-hautes fré-quences pour l’accélération desparticules
lourdes consiste à revenir auxguides
à irisqui
fonctionnentdans le cas des électrons. On trouvera, dans les articles de Vastel et de Sarazin
[ 9], [ 10]
les résultats essentiels sur cesguides,
et les méthodespermettant
de calculer leurs
caractéristiques.
Un telguide
fonctionnant suivant le mode 7T
comporterait,
audébut,
desdiaphragmes
distants de 2 mmenviron,
cequi
est difficilementréalisable,
maispeut-être
pas
impossible.
Des
expériences
actuellemeht en cours au Labo-ratoire de Radioélectricité de la Faculté des Sciencesde Paris
permettront
de se rendrecompte
despossibilités
réelles d’utilisation des ultra-hautesfréquences
pour l’accélérateur linéaire départicules
lourdes.Dans la suite de ce
Mémoire,
nous conserveronsl’exemple
numérique
des ondesmétriques ( f ^_~ io8)
qui correspond
à desappareils
ayant
réellementfonctionné.
3. Mouvement
longitudinal
d’uneparticule.
-3.I. PETITS MOUVEMENTS LONGITUDINAUX AUTOUR
DE LA PARTICULE. - 3.I.I. Disfinction entre
abscisse,
phase
eténergie.
- La méthode de calculdu
paragraphe précédent
nous a donné uneexpres-sion
simple
duchamp
accélérateur. Nous savons, d’autrepart,
que laparticule injectée
à l’instant tiavec la vitesse
correspondant
aupotentiel
(Di,
prend,
-sous l’action de cette onde un mouvementrégulier
dontl’équation
horaire est donnée par(2. 2).
Mais il est évident que tous les ions ne seront
pas
injectés
à l’instant li. Il est donc essentiel dechercher le mouvement
communiqué
par l’ondeprogressive
à uneparticule quelconque.
De
plus,
laparticule
stable elle-mêmerisque
desubir de
légères perturbations
sous différentes causes(choc
conte des molécules du gazrésiduel,
influencede l’onde de retour, défauts de construction
méca-nique,
etc.).
Son mouvement réel sera donclégè-rement
perturbé,
et il est essentiel que lesoscil-lations
qui
prendront
ainsi naissance soient trèsrapidement
amorties.Nous allons chercher une
première
approximation
de ce mouvement
longitudinal,
ensupposant
quela
particule
que nous étudions reste voisine de laparticule
«type
».Si z est l’abscisse d’une
particule
étudiée,
nousposerons
.
z, est l’abscisse de la
particule
dephase
constante, donnée en fonction dutemps,
parl’équation
(2. ).
Nous faisonsapparaître
la «dispersion
enabscisses » E, écart entre la
particule
étudiée et laparticule
dephase
constante. Il sera aussi utile derepérer
uneparticule
par laphase
de l’ondepro-gressive
aupoint
où elle se trouve. Laphase
de l’onde est, engénéral :
en fonction de l’abscisse et du
temps.
En
remplaçant z
par z, -~- ~et zl
par sa valeurtirée de
(2.2),
on obtient laphase
de laparticule
voisine dont nous étudions le mouvement. On
Fig. 4. - Différences entre écarts en phase y
~
et écarts en abscisses E.
obtient alors sans
difficulté,
la «dispersion
enphase »
donnée par :
Dans le cas
particulier
où v =i, la
phase
estdonnée par une
expression
un peu différentes.On a alors :
La
dispersion
enphase
ne varie donc pas de la même manière que ladispersion
en abscisse. Ce faitest facile à
comprendre.
Considérons l’on,de accélératrice
( fig. 4).
Salon-gueur d’onde
augmente
avec z, maiscorrespond
toujours
à une variation dephase
de 2 z pardéfi-nition.
On
conçoit
que l’écart en abscisseaugmente
comme
l’indique
lafigure
4,
bien que l’écart enphase
diminue. Cettedifférence,
très sensible sur lesaccélérateurs d’ions est insensible sur les
accélé-rateurs
d’électrons,
pourlesquels
la vitesse de l’ondeet, par
suite,
lalongueur
d’onde est sensiblement constante.Suivant les cas, le calcul de E
(t)
ou de y(t)
seraplus
aisé.L’équation (3.i)
permettra
de passerde l’un à l’autre.
On
peut
enfin déterminer laposition
d’uneparticule
par l’écart enénergie,
avec laparticule
de référence :
- . - -, 1
on montrera sans
peine
que :Ainsi,
groupement
en abscisse(E
io),
enphase
(~
2013o)
et enénergie
(y
2013~o)
ne sont pas desexpressions
synonymes.3. .2.
Équation
du mouvement.Intégration
pardes
fonctions
de Bessel. -- Il faut résoudrel’équation
du mouvementlon,gituâ.in,al :
dan,s
l’approximation
dupremier
ordre où nousnous
plaçons (2),
nousremplaçons z
par sa valeurZ, + î.
Après
quelques
calculs,
on obtientl’équa-tion :
En
remplaçant Zl
par sa valeur en fonction dutemps,
on a :en
posant :
ce
qui
revient àchanger
l’origine
dutemps.
L’intégration
de cetteéquation
fournira l’écartdes abscisses en fonction du
temps.
Cette
équation
est une de cellesqui
se ramènentà une
équation
de Bessel par des transformationssimples.
Prenons la solution sous la forme :~x et s étant des coefficients constants.
Remplaçons E
par sa valeur dansl’équation
ci-dessus,
et déterminons les deuxparamètres
arbitraires de
façon
quel’équation
résultante,
donnant la
fonction 1
ait une formesimple.
Onobtient en
posant 1 - to
= 0(2) Le champ magnétique Be crée une force longitudinale, mais celle-ci est proportionnelle à r. r’ donc du deuxième ordre. Elle est négligeable à l’approximation où nous nous
j i
Si l’on
prend n
= I,
et 0n= 0 2
= u commevariable
indépendante,
on a, avec a = 1 :qui
est uneéquation
de Besselclassique,
dontl’intégrale
est :Finalement,
ladispersion
en abscisse sera :et la formule
(3 . l’)
permettra
le calcul de ladis-persion
enphase,
et(3 .1 ")
ladispersion
enénergie.
Dans le cas
particulier
où v =i, on a, comme
toujours,
des calculslégèrement
différents. L’écart des abscisses est donné par uneéquation
àcoeni-cients constants,
qui
s’écrit :dont
l’intégration
est immédiate etqui
donne :avec
Les valeurs
numériques
citées auparagraphe
précédent
montrent d’ailleurs que l’onpeut
posersans introduire d’erreur sensible.
~ . ~ . 3. Conditions
primordiales
de stabilitélon-gitudinate.
Choix de laphase à l’injection
y,. - Si lesconditions initiales et (Di ne sont pas exactement
réalisées,
ou si uneperturbation quelconque
estvenue modifier le mouvement de la
particule
dephase
constante, il estindispensable
que la «dis-persion
en abscisses »qui
en résulte diminue defaçon
à ce que lesparticules
segroupent
autour dela
particule
de référence.Nous aurons ainsi assuré la stabilité
longitudinale.
La condition nécessaire de stabilité
apparaît
surl’équation
(3.4).
Il faut que les fonctions de
Bessel,
Jp
etN,
soient desf onctions d’argument
réel,
qui
sont oscillatoiresdécroissantes et non des fonctions
d’argument
complexe, qui
sont croissantesexponentiellement.
Il est donc essentiel de choisircotg 9s
négatif
pour quefi
soit réel.Comme,
d’autrepart,
laparticule
nepeut
êtreaccélérée que si elle est calée dans une
région
dechamp positif,
il est maintenant clairqu’il
faudra choisir 9sentre R
et T comme nous l’avonsdéjà
2 ’
signalé.
La condition de stabilité est
identique,
si l’onconsidère le cas
particulier
où ,J = i.La stabilité sera d’autant mieux assurée
que fi
sera
plus grand,
donc quecotg
cp, seraplus
grand,
en valeur absolue. Mais
l’amplitude
duchamp
électrique
estsin qs
4 v K
et si l’on choisit o, voisin de2
R,
il faudra pour obtenir l’accélération désirée unchamp
dontl’amplitude
seratrop
grande.
Il faudra donc un
compromis
entre ces deuxconditions.
Pratiquement,
on choisira unephase
cg,de l’ordre de i io à I 3 0~,
c’est-à-dire,
de 20 à4~o
de la crête de l’onde.
3.1. ~.
Détermination de laf orme
duchamp
assurant le meilleurgroupement
desphases.
- Pourcontinuer cette
discussion,
nousremplacerons
les fonctions de Bessel par leurexpression
asympto-tique,
qui
donnent :A et W étant des constantes
arbitraires;
cette formulemet bien en évidence le caractère oscillatoire de la
dispersion
en abscisse. Ladispersion
enphase
estdonnée par :
La
dispersion
en abscisse n’est donc passtable,
au sens absolu du mot.
L’amplitude
des écarts enabscisses
augmente
lentement comme la racinequatrième
dutemps.
Au
contraire,
l’écart enphase
tend vers zéropourvu que li >0,2, ce
qui
seratoujours
réalisé enpratique.
La décroissance des oscillations de la
phase
serad’autant
plus rapide
que 1) seraplus
voisin del’unité,
comme le montrel’équation (3. ).
Le
groupement
enphase
desparticules,
autour de laphase y,
sera’
d’autantplus
rapide
que la valeurde 1) sera
plus
voisine de l’unité.Un
champ
accélérateur dontl’amplitude
aug-mentera avec z favorisera legroupement
enphase
des
particules.
Unchamp
dontl’amplitude
diminuerasera moins favorable et finalement un
champ
décroissant
correspondant
à ,J = ne donneraplus
degroupement,
lesparticules
oscillant avecune
amplitude
constante.Fort heureusement, les
champs
réalisablescorres-pondent
à des valeurs de 1)qui
sontsupérieures
à o,2.D’excellentes conditions de
groupement
autourcorrespondant
à j = iqui
donne un «bunching
»rapide
desparticules.
On a, en effet :la décroissance est
exponentielle.
Dans le cas où v == J, les oscillations sont
sinu-soïdales et l’on a une
fréquence
donnée par :Dans les autres cas, il n’est pas
possible
deparler
de
fréquence
au sens restreint du mot. Onpeut
cependant
définir paranalogie
unepseudo-fréquence
comme :
Cette
expression
montre que lafréquence
diminueavec le
temps,
donc au cours de la traversée del’accélérateur. Les
quantités
intéressantes seront lafréquence
initiale et lafréquence
finale,
qui
peuvent
s’exprimer
à l’aide desénergies,
à la suite detrans-formations dont nous passons le détail.
Avant de terminer ce
paragraphe,
nous donneronsquelques
valeursnumériques
permettant
de sefaire une idée des
caractéristiques
despetits
mou-vements
longitudinaux
dans les accélérateurs dontnous avons commencé l’étude.
Nous
choisissons,
comme nous l’avonsdéjà
signalé :
cps = i Lafréquence
duchamp
seradans toute la
suite,
108p /s.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs initiales
et finales des
fréquences,
lerapport
desamplitudes
initiales et finales des oscillations de
phase
etd’abscisse. ’
Nous constatons tout d’abord que la
fréquence
des oscillations
longitudinales
est de l’ordre du 1/10e
de celle du
champ
accélérateur. De cefait,
lesparticules n’accompliront qu’un
petit
nombred’oscil-lations autour de la
particule
dephase
constante,au cours de la traversée de
l’appareil.
Lephéno-mène est
analogue
à celuiqui
a lieu pour les électrons.On constate
également
l’influence de u sur legroupement
enphase,
et surl’augmentation
del’écart des abscisses. Les
phénomènes
sont ici très différents de ceux que l’on obtient dans lesaccélé-rateurs
d’électrons,
car dans ceux-cil’augmentation
de l’inertie de laparticule
contribue efhlcacementau
groupement,
alors que dans les accélérateursd’ions,
c’est seulementl’augmentation
de la vitessede l’onde.
3 . I . ~.
Dispersion
enénergie.
- Les formulespré-cédentes
permettent
de trouver uneexpression
approchée
de ladispersion
enénergie.
On trouve(3)
’Ainsi,
pour les valeurs de vcorrespondant
auxappareils
usuels, groupement
enphase
(y
-o)
n’est pas synonyme degroupement
enénergie.
L’ampli-tude de q
augmente
avec letemps.
On vérifie la relation| y |max x | q |max
= const.qui
rend évidentel’incompatibilité
entre groupe-ment enphase
etgroupement
enénergie
118].
3~.2. ACCROCHAGE DES PARTICULES. SPECTRE
D’É-NERGIE. - 3 . ~ .1. Mouvement
longitudinal
dans lecas
géneral.
- Si laparticule
estinjectée
dansl’appareil
auvoisinage
dutemps
ti(disons
à depériode
en avance ou enretard),
les résultats duparagraphe
précédent
montrent que le mouvement de cetteparticule
restera voisin de celui de laparticule
«type
».Mais,
si l’on examine les conditionsexpérimentales,
on constate que les
particules,
loin d’êtreinjectées
pendant
une faible fraction depériode,
le sont pen-dant un trèsgrand
nombre depériodes
consécutives. Pour fixer lesidées,
prenonsl’exemple
del’accélé-rateur d’Alvarez. Les
impulsions
de la source hautefréquence,
pendant
lesquels
lesparticules
sontinjectées,
durent300 ps,
soit 60 00o p. La théorieprécédente
ne pourra décrire que le mouvement d’un certain nombre departicules.
Il faut recommencer le
calcul,
sans faired’approxi-mation.
L’équation générale
du mouvementlongi-tudinal est :
Les ressources actuelles de
l’analyse
nefour-nissent pas de solutions
représentables
par desfonctions tabulées. Il faudrait le secours de machines à calculer
électroniques, capables
de dresserrapi-dement des tables
numériques
de la solution. Il sera(3) Les constantes A, B et C qui interviennent dans les
, expressions des dispersions en abscisses, phase et énergie
sont liées les unes aux autres. Il est donc possible, connaissant la dispersion en phase à un instant de calculer la dispersion
alors
possible
de résoudre les deuxproblèmes
essentiels du mouvementlongitudinal :
1 ~ une
particule
étantinjectée
à l’instant ti -j- T,quel
est son mouvement ? Est-elleaccélérée,
ounon ? C’est le
problème
del’accrochage
desparticules
à l’onde.
2°
Quelle
est larépartition
desénergies,
à la sortie del’appareil
pour toutes lesparticules
qui
ont pu être accrochées ? C’est leproblème
duspectre
d’énergie.
3.2 . 2. Discussion
graphique
des conditionsd’accro-chage.
- Onpeut envisager
une discussiongraphique
des conditions
d’accrochage
d’uneparticule
à l’ondeprogressive.
Repérons
uneparticule
par son écarten
phase
y, parrapport
à laparticule
«type
e.Y n’est plus
maintenant unequantité petite.
Opérons
Fig. 5.
dans un référentiel
ayant
le mouvement de laparticule
«type »
5).
La forcequi
engendre
lemouvement relatif est visiblement la différence des
ordonnées de la sinusoïde
représentant
l’ondeprogressive
et de la droitehorizontale,
au niveau de laparticule
typ~.
On constate alors les résultats suivants en
exami-nant la
figure :
-
Si,
àl’origine
~~ = o, laparticule prend
lemouvement
régulier;
c’est uneparticule
«type »;
-
Si,
àl’origine 7r -
~, laparticule
en retard est soumise à une force
plus
intense quecelle
qui
agit
sur laparticule
type;
ellerattrape
cette
dernière,
ladépasse,
s’arrête etrepart
enarrière;
-
Si,
àl’origine
o y 7r - Cf s laparticule,
en retard, est soumise à une force
plus
faible quecelle
qui
agit
sur laparticule
«type
»; le retardva
croître,
et laparticule
ne s’accrochera pas;-
Enfin,
si àl’origin.e
y 2 7T laparticule,
en avance, est soumise à une forceplus
faible;
elleperd
son avance et revient vers laparticule
«type
».En
conséquence,
si l’onexcepte
lesparticules
dont la
phase
initiale estcompris
entre o et R - 9stoutes les
particules
s’accrochent dans lapremière
période
de l’onde accélératrice.Que
vont faire cesparticules
dans la suite. Il fautque les
particules qui
sedirigent
vers laparticule
«type
», etqui
vont évidemment ladépasser,
soientstoppées
dans leur mouvement, et ramenées versl’avant. Si cette éventualité a lieu, elles seront accrochées, et le mouvement oscillatoire se
conti-nuera. Sinon elles continueront à
s’éloigner
de laparticule
«type
» et décrocheront.Il faut donc trouver une condition d’arrêt dans
le mouvement relatif
rétrograde.
Pourcela,
consi-dérons deux
particules,
laparticule
«type
» A etune autre B à la
phase
( fig.
5).
Elles avaient initialement la mêmeénergie.
Mais,
dans lemou-vement
relatif,
laparticule
B,
soumise à la forcer B
qui
lui a faitparcourir
la distance BA arrive en Aavec une
énergie
cinétique proportionnelle
à l’airehachurée.
La condition d’arrêt est alors évidente. Il faut
que la
particule
perde
cetteénergie,
doncqu’elle
aille
jusqu’au
point
C,
tel que les aires hachurées soientégales.
Si elle s’arrête avantA’,
ellerepart
ensuite en avant, « elle est accrochée ». Si elledépasse
A’,
elle continue son mouvementrétro-grade,
elle estperdue.
Finalement,
il semble que l’onpuisse
accrocher : r ~ lesparticules
injectées
entre etqui
partent
en avant,reviennent,
et ne sauraientévidemment pas
dépasser
A’;
2° les
particules injectées
entre y, ety,
qui
partent
en arrière mais arrivent en A avec uneénergie
insuffisante pourdépasser
A’. Des calculsrapides
montrent que l’intervalled’accrochage
estde
l’ordre de3 ( ?s - 11 )
(soit
environ 1 /5 e
depériode
avec la valeurde qs
que nous avonschoisi).
Mais cette discussion est
trop
simple,
car l’ondese
déforme,
tant enphase
(la
vitesseaugmente)
qu’en amplitude
(si
l’appareil
correspond
à unevaleur de v
7~ )
Laparticule, partie
de Bqui
arrive en A ne trouve pas l’onde
qu’elle
y a laisséeà l’oscillation
précédente,
mais uneonde,
deplus
grande longueur
d’onde,
etd’amplitude
différente(disons d’amplitude supérieure
pour fixer lesidées).
On
conçoit
aisément,
enregardant
lafigure
6,qu’elle
perdra
sonénergie
relative,
bien avantd’avoir atteint le
point A~,
car la force estplus
grande,
et le parcoursplus
long.
Parconséquent,
laparticule qui
estpartie
deCI
à l’instantinitial,
a atteintB,
a rebrousséchemin,
nepeut
allerjusqu’à
C,
et s’arrête avant. Il va y avoir ungrou-pement
desphases,
dû àl’augmentation
delongueur
d’onde et éventuellement
d’amplitude.
D’autre
part,
uneparticule,
partie
initialementdu
point
B’,
qui
auraitemmagasiné
uneénergie
suffisante pour lui faire
