Comparaison entre une configuration de Hall et une configuration de Corbino pour l'amplification d'ondes ultrasonores

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Comparaison entre une configuration de Hall et une configuration de Corbino pour l’amplification d’ondes

ultrasonores

J.Y. Prieur

To cite this version:

J.Y. Prieur. Comparaison entre une configuration de Hall et une configuration de Corbino pour l’amplification d’ondes ultrasonores. Journal de Physique, 1972, 33 (11-12), pp.1071-1079.

�10.1051/jphys:019720033011-120107100�. �jpa-00207333�

COMPARAISON ENTRE UNE CONFIGURATION DE HALL

ET UNE CONFIGURATION DE CORBINO

POUR L’AMPLIFICATION D’ONDES ULTRASONORES (*)

J. Y. PRIEUR

Laboratoire

d’Ultrasons (**),

Université Paris VI Tour

13, 11, quai Saint-Bernard,

⁷⁵²³⁰ Paris-Cedex 05

(Reçu

^{le 5}

juin 1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous

présentons

les résultats

expérimentaux

relatifs à des mesures d’atténuation et

d’amplification

ultrasonore dans un cristal d’antimoniure d’indium non

dégénéré

pour ^une

géométrie

de Corbino des

champs

extérieurs

appliqués.

^Nous comparons ^ces résultats à ceux que l’on obtient dans une

géométrie

^{de Hall et nous mettons en} évidence les effets des

régions

^voisines

des extrémités du cristal sur les courbes de variation. Les mesures ont été faites à 77 °K et 1 GHz.

Abstract. ²⁰¹⁴ We present

experimental

results of attenuation and

amplification

^{of ultrasonic}

waves in a

non-degenerate

Indium Antimonide

crystal

^{for a Corbino}

configuration

of external fields. We _compare these results with those for a Hall

configuration.

^We show the effect of extremal

regions

^on the attenuation. Measurements were made at 77 °K and 1 GHz.

Classification Physics ^Abstracts

03.40, ^17.26

Introduction. ^-

L’amplification

^{d’ondes acous-}

tiques

^a

déjà

^été observée dans de nombreux semi- conducteurs

depuis l’expérience

^{de White}

[1]

^et

notamment dans l’antimoniure d’indium en

présence

d’un

champ magnétique [2]-[4]. Toutefois,

^bien que les études

théoriques

aient presque

toujours

^{été faites}

dans le cas de

champs

extérieurs

disposés

^en

géométrie

de Corbino

[5], [6],

^les

expériences

^{ont en}

général

été réalisées en utilisant la

géométrie

^{de Hall. Abe et}

Mikoshiba

[7]

^ont récemment donné un traitement

théorique

valable dans ce cas. Il

retrouvait,

^{à très}

peu

près,

les résultats de Weller et van Duzer

[6].

Nous avons observé

l’amplification

^{d’ondes acous-}

tiques

^{de 1}

GHz,

^{dans un cristal} d’antimoniure d’in- dium non

dégénéré

^{à la}

température

^{de l’azote}

liquide

dans une

configuration

^{de Corbino et dans une confi-}

guration

de Hall. La

géométrie

de Corbino nous

semble

particulièrement

intéressante car elle

simplifie

la construction de

l’amplificateur.

^Nous avons, par

ailleurs, regardé

l’influence de

champs électriques posi-

tifs et

négatifs.

^Ceci

permet

^{de mettre en évidence} l’influence des

régions

^voisines des extrémités sur l’am-

plification

^totale.

Dans une

première partie,

^nous

rappelons

^briève-

ment les résultats

théoriques.

^Dans la deuxième

partie,

nous

indiquons

^la

technique expérimentale.

^{La troi-}

sième

partie

^est consacrée à la discussion des résultats.

Théorie. ^- Les résultats

théoriques

^{de Abe et}

Mikoshiba

[7]

^{et de Weller et van Duzer}

[6]

^{sont basés}

sur une méthode mise au

point

par Cohen et al.

[8]

pour l’étude de l’atténuation ultrasonore dans les métaux. On suppose que l’on

peut

^{définir un}

champ électrique équivalent

^aux ultrasons que l’on

appelle

le

champ acoustoélectrique. Celui-ci,

^{dans le cas d’un}

semiconducteur

piézoélectrique apparaît

^{comme la}

résultante de deux effets : l’effet

piézoélectrique

^et

l’effet

électromagnétique.

^{Ce dernier est la}

réponse

du

système

^de

charge

^{au mouvement} induit par le

premier.

Dans les matériaux fortement

conducteurs,

le

champ acoustoélectrique

^est très inférieur au

champ piézoélectrique

par suite de

l’écrantage

^{dû aux} por- teurs de

charges.

^{Si l’on}

applique

^{alors un}

champ magnétique,

^{dans une direction}

convenable,

^{la mobi-}

lité des électrons est réduite et par suite

l’écrantage.

L’atténuation ultrasonore est associée à l’effet Joule

qui

^{résulte de} l’existence du

champ

^acousto-

électrique

^{et de la} conductivité du matériau à la fré- quence d’excitation. Celle-ci

peut

^être

profondément

modifiée _par ^un

champ électrique

continu. On s’at- tend à avoir un

comportement

^différent

quand

^la

vitesse de

phase

^{de l’onde est}

supérieure

^{ou inférieure}

à la vitesse d’entraînement des électrons.

Le

champ acoustoélectrique

^{est déterminé en uti-}

lisant les

équations

de Maxwell et

l’équation

^d’état

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019720033011-120107100

1072

de la matière. Le calcul de l’atténuation ultrasonore

se fait ^en écrivant le

rapport

^entre

l’énergie dissipée

sous forme Joule et le flux

d’énergie

^{incident. On}

trouve alors

[9] :

où a

représente

le coefficient

d’atténuation, Kp

^le

coefficient de

couplage

dû à l’effet

piézoélectrique,

^{ev la}

fréquence

de l’onde

ultrasonore,

co, la

fréquence de

relaxation

diélectrique,

vs la vitesse du son et

Jh

^et

QÎ

^les

parties

^{réelles et}

imaginaires

^{du tenseur effectif}

de conductivité.

Il reste donc à déterminer le tenseur de conductivité à la

fréquence

d’excitation. Pour cela on commence

par résoudre

l’équation

^de Boltzmann pour obtenir la fonction de Fermi ^en

présence

^des

champs

^exté-

rieurs. Puis on calcule le courant

électronique

par la formule :

je représente

^{le courant}

électronique,

^v la vitesse réelle des électrons et

f

la fonction de distribution.

Le tenseur de conductivité s’en déduit aussitôt.

FIG. 1. ^- Disposition relative des champs extérieurs et géomé-

trie des échantillons.

FIG. 2. ^- Configuration de Hall. Courbes théoriques. Variation de l’atténuation avec le champ électrique.

On ne considérera maintenant que le ^cas où l’in- duction

magnétique

^{B est}

appliquée perpendiculaire-

ment au vecteur d’onde ultrasonore q dans un échan- tillon où la dimension

géométrique,

^{suivant ce vec-}

teur,

^est

beaucoup plus grande

^{que dans} les directions

perpendiculaires.

^{Deux cas}

peuvent

^{alors se}

présenter.

Ou bien ^on

applique

^le

champ électrique

^continu

suivant la direction de _{q ;} on se trouve alors dans une

configuration

^{de Hall}

(Fig. 1).

Le résultat du calcul

a été donné _par Abe et Mikoshiba

[7].

^{Ou bien on}

applique

^le

champ électrique

suivant la direction

perpendiculaire

^{à la fois à} q et B ^et l’on se trouve dans une

configuration

de Corbino. Les résultats ont

alors été

explicités

par Weller et van Duzer

[6].

Dans les deux cas, la vitesse d’entraînement des électrons est

dirigée

suivant le vecteur d’onde. Les résultats

théoriques

^{montrent alors} que si celle-ci est

inférieure à la vitesse du _son, on obtient une atténua-

tion,

^et

quand

^{elle est}

supérieure,

^une

amplification.

Les courbes des

figures

^{2 et 3}

représentent plus précisément

la forme de la variation de l’atténuation.

Elles sont tracées à

partir

^{des résultats de Abe et}

Mikoshiba et de Weller et van Duzer. Le

paramètre

est le

champ magnétique

^{tandis que la variable est}

l’intensité

électrique qui

circule dans le circuit extérieur.

On voit sur ces courbes _que l’intérêt

d’appliquer

^un

champ magnétique

^est double. D’une

part,

^{il diminue} l’intensité du courant nécessaire pour obtenir le maximum

d’amplification,

^{et d’autre}

part,

^il

augmente

la valeur de celui-ci.

Nous avons relié l’intensité au

champ

^continu

interne en résolvant

l’équation

^{de la}

dynamique

^des

électrons et en

supposant

^certaines conditions aux

limites :

- Dans la

géométrie

^{de Hall on a} écrit que la

composante

^{du courant normale au}

champ électrique appliqué

^est

nulle,

^{on trouve alors :}

où

No

^{est le nombre}

d’électrons, e

^la

charge électrique, Jlla mobilité, a

^{et b} les dimensions

géométriques

^dans

le

plan perpendiculaire

^{au vecteur d’onde.}

La

puissance dissipée correspondante (par

^effet

Joule dû ^au courant

continu),

^{s’écrit :}

1 est la

longueur

de l’échantillon.

- Dans la

géométrie

^de

Corbino,

^{on a}

supposé

le

champ

de Hall nul. Mais seule la

composante

^du

courant dans la direction du

champ appliqué

^{a été}

FIG. 3. ^- Configuration ^{de Corbino. Courbes} théoriques. Variation de l’atténuation avec le courant électrique.

1074

considérée du

point

^{de vue} du circuit extérieur. Nous

avons obtenu la relation :

et la

puissance dissipée :

Wc ^est la

fréquence cyclotron

^{et r le}

temps

^de relaxation.

Méthodes

expérimentales.

^{- Nous avons utilisé}

une

technique d’impulsion

pour ^mesurer l’atténua- tion d’une onde ultrasonore de 1 GHz. Le cristal d’antimoniure d’indium était monté entre deux

quartz

dont l’un servait d’émetteur et l’autre de détecteur d’ultrasons.

Les

expériences

^ont été faites sur deux échantil- lons : l’un avait comme dimensions

géométriques

9 x

2,5 x,2,5 ^mm’

^et l’autre 9 ^x

2,5

^x

1,5 mm3,

les faces

planes

^et

polies

^{étant celles de}

2,5

^x

2,5 mm2,

ou de

2,5

^x

1,5 mm2.

Les ultrasons étaient de

pola-

risation

longitudinale

^{et se}

propageaient

suivant l’axe

cristallographique [111]

^{de sorte} que le

champ piézo- électrique

^était

longitudinal.

Les contacts

électriques

étaient faits sur les faces

2,5

^x

2,5 ^mm2

^{dans le cas de la}

configuration

^de

Hall,

et sur les faces 9 ^x

2,5 mm2

^{dans le cas} de la confi-

guration

^{de Corbino. La}

figure

^{4 montre la forme FIG. 4. - Formes} géométriques des échantillons.

FIG. 5. ^- Configuration de Hall. Variation de l’atténuation en fonction de l’intensité électrique (courbes expérimentales, paramètre : champ magnétique).

FIG. 6. ^- Configuration ^{de Corbino.} Variation de l’atténuation en fonction de l’intensité électrique (courbes expérimentales, paramètre : champ magnétique).

FIG. 7. ^- Géométrie de Hall. Courbes expérimentales ^{de la variation} de l’atténuation avec le courant électrique.

1076

FIG. 8. ^- Géométrie de Hall. Courbes expérimentales ^de la variation de l’atténuation avec le courant électrique.

FIG. 9. ^- Variation de l’atténuation dans un champ magnétique transverse (cristaux ^non dégénérés, ^courbe expérimentale).

exacte des échantillons ainsi que les

principes

^du

montage.

La mobilité et le nombre de

porteurs

^{ont été mesurés} par effet Hall ^{sur un} échantillon

préparé

^{à cet effet}

et issu du même monocristal. On a trouvé ainsi :

Nous avons tracé

quatre

réseaux de courbes

repré-

sentés sur les

figures 5, 6,

^{7 et} 8. Les deux

premiers

ont été relevés sur le cristal de dimensions

L’un

correspond

^{à une}

géométrie

^{de Hall et l’autre}

à celle de Corbino. Les deux derniers sont relatifs

au cristal 9 ^x

2,5

^x

1,5 ^mm’

^{et à une}

géométrie

^de

Hall. Seule la direction du

champ magnétique

^{a varié}

entre les deux. Nous pouvons ainsi constater

l’impor-

tance de la

géométrie

^sur

l’amplification

ultrasonore.

La

figure

^{9 est une courbe}

représentant

la variation de l’atténuation ultrasonore sous la seule influence d’un

champ magnétique dirigé perpendiculairement

au vecteur d’onde.

Discussion. ^- Nous commencerons par

analyser

les résultats relatifs à la

géométrie

^de

Hall, puis

^ceux

de la

géométrie

^de Corbino. Nous avons choisi comme

variable l’intensité du courant

plutôt

que la différence de

potentiel

parce que cela

permet

de s’affranchir des

erreurs de mesure dues aux contacts. Enfin pour les courbes

théoriques,

^les dimensions

géométriques

^uti-

lisées étaient : 7 x

2,5

^x

2,5 ^mm3.

La

longueur

de l’échantillon a été

prise

^{de 7 mm}

pour tenir

compte

^{du fait}

qu’il

^ne

peut

y avoir d’am-

plification

^{dans les}

régions

voisines des extrémités.

(Nous

reviendrons sur ce

point

^{un peu}

plus loin.)

Géométrie de Hall. ^- Les courbes

expérimentales

des

figures 5,

^{7 et 8} ressemblent fortement aux courbes

théoriques

^{de la}

figure

^2. L’inversion de l’atténuation

se

produit

bien pour la valeur

théorique

^calculée

compte

^{tenu des sections}

respectives

^des échantillons utilisés.

L’amplification théorique

^{maximum coïncide}

aussi à l’intérieur des

précisions expérimentales

^avec

la valeur mesurée. Le coefficient de

couplage K 2

utilisé _pour tracer les courbes

théoriques,

^{est celui}

qui permet

de faire coïncider la courbe

expérimentale

a ⁼

f (B)

^{de la}

figure

^{9 avec la courbe}

théorique

^que

l’on obtient en annulant le

champ électrique

^dans

l’une ou l’autre des théories. Nous avons trouvé ainsi

Kp 2

^{= 7 x}

^10-4

^ce

qui correspond

^{à une constante}

piézoélectrique

^{d =}

8,3

^x

^10-2 c/m2.

Cette valeur ^est

un peu

supérieure

^{aux valeurs} citées dans la litté- rature

[3].

Toutefois il subsiste

quelques

différences.

a)

Les courbes

théoriques

^sont

parfaitement symé- triques

par

rapport

^au

point

d’inversion de l’atténua- tion. Sur les courbes

expérimentales,

les valeurs des abscisses des maxima sont bien

symétriques,

^{mais non}

les ordonnées. Une

explication possible

^{est liée à}

l’existence de deux ^zones du cristal _{que l’on}

peut qualifier

d’inactives. Ce sont les

régions

^{voisines des}

faces extrêmes. En

effet, près

^des électrodes le

champ

de Hall ne

peut

s’établir. Il en résulte que le

champ électrique

^{total est} presque

parallèle

à l’axe du cristal.

Comme le courant doit lui être

perpendiculaire,

^il

est alors presque

parallèle

^aux électrodes et il ne

peut

y avoir

d’amplification.

^{Ces zones} atténuent donc le

signal, quel

que soit le

champ électrique appliqué

^au

cristal. Comme elles sont soumises au

champ magné- tique,

^leur coefficient d’atténuation en est fonction.

On

peut donc,

^en

comparant

le maximum d’atténua- tion au maximum

d’amplification

^{et en tenant}

compte

de la courbe de la

figure 9,

déterminer

quelle partie

du cristal est inactive. Nous avons établi le Tableau 1 dans ce but. Sur la

première ligne

nous avons

porté

la valeur de l’induction

magnétique,

^sur la deuxième et la

troisième,

les valeurs maximales de

l’amplifica-

tion et de

l’atténuation,

^{sur la}

quatrième

la différence entre les deux

précédentes,

^{enfin sur la} dernière le

pourcentage

^de cristal inactif.

TABLEAU 1

Les trois

premières

^valeurs

sont compatibles

^entre

elles,

car nous nous attendons à ce que les effets des dimensions soient d’autant

plus importants

^{que le}

champ magnétique

^est

plus

élevé. Pour les deux der- nières

valeurs,

^la

précision

^{des mesures} d’atténuation était très

mauvaise,

^aussi n’est-il pas

surprenant

que

l’augmentation

devienne excessive.

D’une

façon générale

^{avec un} échantillon

parallé- lépipédique,

^la

grandeur

^des

régions

inactives à

chaque

extrémité est de l’ordre des dimensions latérales. Il semble

qu’avec

^notre

géométrie

elle soit

légèrement

abaissée.

b)

Les courbes

expérimentales

^{montrent une dimi-}

nution

apparente

^de

l’amplification

^{à haut}

champ magnétique (Fig. 5).

^Cette

diminution, qui

n’existe pas

sur les courbes

théoriques, peut

^aussi

s’expliquer

par l’existence des zones inactives.

L’amplification

^{de la}

partie

active tend à se saturer à

partir

^{de 6}

kG,

^alors

que l’atténuation du ^reste du cristal continue

d’aug-

menter

(Fig. 9)

^{d’où une} diminution

apparente

^du maximum.

1078

c)

^{Une troisième} différence vient de la

largeur

^du

maximum et de sa

position.

^{Il est nettement}

plus large

^{sur les courbes}

expérimentales

^{et il est}

déplacé

vers les hautes valeurs du courant. Cela ne

peut

^venir

que de l’existence d’une

composante

^{du courant dans} la direction

perpendiculaire

^{au vecteur d’onde et au}

champ magnétique.

^{Celle-ci ne} contribue pas à l’am-

plification

mais par ^contre elle

augmente

^{la valeur} du courant continu

qui

circule dans le circuit extérieur et

déplace

^donc

apparemment

^la

position

^{du maxi-}

mum. Cela entraîne aussi que la

composante paral-

lèle ^au vecteur d’onde

dépend

^des coordonnées.

La condition nécessaire _pour avoir le maximum

d’amplification

^n’est

plus

vérifiée pour ^tous les

points

du cristal ^au même moment. Il en résulte un

élargis-

sement du maximum.

L’importance

^{de ce}

phénomène

^{est mis en évidence}

de

façon

^{très claire en}

comparant

^les

figures

^{7 et 8.}

Les deux réseaux ont trait au même cristal _{mais pour} l’un

(Fig. 7)

l’induction

magnétique

^est

orthogonale

à la face 9 ^x

2,5 ^mm’

^et pour l’autre à la face 9 ^x

1,5 ^mm’.

Dans le deuxième réseau le

champ

^de

Hall est

plus

^efficace que dans le

premier.

^{Aussi on}

s’attend à avoir une meilleure concordance entre les

figures

^{2 et 8}

qu’entre

^les

figures

^{2 et 7. C’est ce} que l’on observe réellement à la fois _pour la

position

^et

la

largeur

des maxima.

d)

^{Enfin nous devons noter un}

phénomène

^tota-

lement absent des courbes

théoriques

^et

qui apparaît

bien sur les courbes des

figures

^{7 et 8. A haut}

champ magnétique

^et pour les fortes valeurs

négatives

^de

l’intensité nous voyons l’atténuation croître à ^nou-

veau. Nous n’avons pas

d’explication

pour ^ce

phé-

nomène. Mais nous pouvons ^constater que cela se

produit

^{dans des}

régions

^{où la vitesse} d’entraînement des électrons devient de l’ordre de

grandeur

^{de la}

vitesse

thermique

vo

(pour

⁶

A, vD = 0,2 vo).

^Les

développements

limites de la fonction de Fermi ne

sont

plus

alors très valables.

Géométrie de Corbino. ^- L’allure des courbes

représentant

la variation de l’atténuation ultrasonore est essentiellement la même _que celle que l’on observe

en

géométrie

^{de Hall.}

Toutefois, théoriquement,

^les

maxima devraient être

déplacés

^{vers les} basses valeurs du courant extérieur. Ceci est dû au fait _{que dans} cette

configuration

^la

composante perpendiculaire

^{au vec-}

teur d’onde fixe l’intensité du courant extérieur alors que

l’amplification

ultrasonore

dépend plutôt

^{de la}

composante parallèle.

^{Comme la}

première

^est

petite

devant la

deuxième,

les maxima

apparaissent

pour des intensités extérieures moins élevées

qu’en géomé-

trie de Hall. Les

puissances dissipées

pour obtenir le maximum

d’amplification

^sont par ^contre

identiques.

FtG. 10. ^- Courbes théoriques ^{dans le cas de la} géométrie de Corbino.

Expérimentalement

^{nous observons le}

phénomène

contraire. Le raisonnement fait

précédemment

^n’est

valable que dans une situation idéale où l’on

pourrait

refermer sur eux-mêmes les courants

parallèles.

^En

fait ceux-ci sont finalement recueillis sur les électrodes

au

voisinage

^des extrémités du cristal. Dans ces

régions

^le

champ électrique

^n’est

plus dirigé

perpen- diculairement au vecteur d’onde et la

composante parallèle

^{diminue au}

profit

^{de la}

composante

perpen- diculaire.

Pour relier correctement le

champ

^extérieur

appliqué

au courant mesuré nous devons

plutôt

^{écrire la}

relation

[10] :

où _vpx et vDy ^{sont les}

composantes

de la vitesse d’en- traînement

parallèle

^et

perpendiculaire

^{au vecteur}

d’onde. La

figure

¹⁰

représente

le réseau _que l’on obtient si l’on écrit cette relation. La

correspondance

est nettement meilleure avec les courbes

expérimentales.

Les différences

qui

subsistent

peuvent

^alors

s’expli-

quer par des raisons

analogues

^à celles valables dans la

géométrie

de Hall. Pour les fortes intensités

néga-

tives nous observons encore à haut

champ magnétique

une remontée des courbes d’atténuation

analogue

^à

ce que l’on observait en

géométrie

^{de Hall.}

Atténuation due au réseau. ^- Durant ces

expériences

nous avons pu ^mesurer aussi l’atténuation des ultra-

sons par d’autres processus que par leurs interac- tions avec les

électrons,

c’est-à-dire

principalement

par le réseau. Nous ^avons trouvé une valeur de l’ordre de 15

dB/cm

^{à 77 OK. Toutefois la}

précision

^n’est pas très

grande

^{car nous n’avons}

jamais

^observé

plus

^de

trois échos et que les

phénomènes

d’interférences

peuvent

^{venir renforcer ou} diminuer certains de ceux-ci. Les différences d’intensité ne sont

plus

^alors

significatives

^de l’atténuation réelle.

Conclusion. ^- Nous ^avons étudié en détail l’am-

plification

^d’ondes ultrasonores dans le cas où les

champs

extérieurs sont dans ^une

configuration

^de

Corbino. Par ailleurs en mesurant la variation d’atté- nuation _pour des courants

positifs

^et

négatifs,

^nous

avons mis en évidence certains effets

parasites qui

viennent

compliquer l’interprétation

des courbes

expé-

rimentales. Enfin nous donnons un ordre de

grandeur

de l’atténuation due ^au réseau à la

température

^de

l’azote

liquide.

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