Information Quantique

ENSEIRB-MATMECA

Option second semestre, 2011/2012

Information Quantique

Examen- 21 Mai 2012

Dur´ ee : 2H

Documents autoris´ es : tous documents autoris´es.

Indications : les deux exercices sont ind´ependants.

Notation : le bar`eme est indicatif ; la note finale est min(20,note-ex1+note-ex2).

Exercice 1 (/8 pts) Circuits quantiques.

On a vu, lors du DM, que l’op´erateur de Toffoli (quantique) est d´ecomposable en un circuit n’utilisant que des portes ` a deux qbits. Cet exercice consiste ` a d´etailler cette construction puis ` a l’´etendre ` a des op´erateurs plus g´en´eraux.

On pose

NOT ˆ :=

0 1 1 0

1- Donner explicitement une matrice unitaire R telle que R

= NOT ˆ , On choisit maintenant une telle matrice unitaire R.

On d´efinit, pour 1 ≤ k ≤ n et tout op´erateur unitaire U sur B , l’op´erateur Λ

(U ) sur B

par :

Λ

(U ) | x

, . . . , x

, x

i = | x

, . . . , x

i ⊗ | x

i si x

x

· · · x

= 0

= | x

, . . . , x

i ⊗ U | x

i si x

x

· · · x

= 1 2- V´erifier que l’op´erateur de Toffoli est ´egal ` a l’op´erateur Λ

( ˆ NOT ).

3- On d´efinit le circuit T sur 3 qbits :

T := Λ

(R)[(2, 3)] cNOT ˆ [(1, 2)]Λ

(R

)[(2, 3)] cNOT ˆ [(1, 2)]Λ

(R)[(1, 3)]

(on utilise ici la notation du DM ; on peut aussi utiliser la figure 1 et raison- ner sur des diagrammes de la mˆeme forme).

Montrer que ce circuit T calcule l’op´erateur de Toffoli.

Indication : on pourra distinguer les quatre cas de figure (x

, x

) = (0, 0), (x

, x

) =

R R⁻¹ R

Figure 1 – Le circuit T

(0, 1), (x

, x

) = (1, 0), (x

, x

) = (1, 1) et v´erifier que, dans chaque cas, T | x

, x

, x

i = TOF ˆ | x

, x

, x

i .

4- Soit U : B → B une application lin´eaire unitaire. Montrer que U a une ra- cine carr´ee unitaire i.e. il existe une application lin´eaire unitaire V : B → B telle que V

= U .

5- Donner un circuit C

sur l’ensemble de portes { cNOT ˆ , Λ

(V ), Λ

(V

) } , qui calcule Λ

(U ).

6- Soit k ≥ 1.

6.1- Montrer que l’op´erateur Λ

(U ) est calculable par un circuit, (sans qbit auxiliaire) sur l’ensemble de portes { cNOT ˆ } ∪ { Λ

(W ), W ∈ U (2) } .

6.2 Pr´eciser la longueur (i.e. le nombre de portes) du circuit propos´e.

Exercice 2 (/15 pts) Algorithme de Grover On s’int´eresse au probl`eme algorithmique suivant :

Donn´ ees : un circuit quantique calculant une application f : B

→ B et le nombre M de vecteurs x ∈ B

tels que f (x) = 1.

Calculer : un vecteur x ∈ B

tel que f (x) = 1.

On a ´etudi´e en cours l’algorithme de Grover, qui r´esout ce probl`eme dans le cas o` u M = 1.

Le but de l’exercice est de comprendre comment on peut adapter l’algo- rithme de Grover au cas g´en´eral (i.e. M entier quelconque, non-nul).

On note N := 2

. On rappelle ci-dessous les ´etapes de l’algorithme de Gro- ver, et on examine les modifications ` a apporter.

On dispose d’un circuit quantique qui calcule l’op´erateur unitaire (l’“oracle” ) O : B

→ B

tel que, pour tous x ∈ B

, q ∈ B

| x i | q i 7→ |

x i | q ⊕ f (x) i

Etape 0 ´ On initialise l’´etat du syst`eme ` a (n + 1) qbits ` a

| 0

i ⊗ | 0 i − | 1 i

√ 2

Etape 1 ´ On applique n portes de Hadamard, en parall`ele, aux n premiers qbits :

| 0

i ⊗ | 0 i − | 1 i

√ 2 7→ 1

√ N X

x∈Bⁿ

| x i | 0 i − | 1 i

√ 2 = | ψ i On pose

| α i := 1

√ N − M X

f(x)=0

| x i | 0 i − | 1 i

√ 2

| β i := 1

√ M X

f(x)=1

| x i | 0 i − | √ 1 i 2

1- V´erifier que les vecteurs | α i , | β i sont de norme 1 et sont orthogonaux.

2- Calculer les coefficients c

, c

∈ R tels que

| ψ i = c

| α i + c

| β i

On se place dans le sous-espace vectoriel r´eel P engendr´e par les vecteurs

| α i , | β i . On oriente ce plan en convenant que la base ( | α i , | β i ) est directe.

Le produit scalaire (hermitien) restreint ` a ce sous-espace r´eel, lui conf`ere une structure de plan euclidien.

3- Calculer la mesure θ

de l’angle ( | α i , | ψ i ).

Indication : on pourra ´evaluer sin(θ

) en fonction de N et M . Etape 2 ´

On applique l’oracle

| ψ i 7→ O | ψ i = 1

√ N X

x∈Bⁿ

( − 1)

| x i | 0 i − | 1 i

√ 2

4- Montrer que

O | ψ i = c

| α i − c

| β i On d´efinit l’op´erateur S

: B

→ B

par :

S

: | 0

i | y i 7→ | 0

i | y i pour y ∈ { 0, 1 }

| x i | y i 7→ − | x i | y i pour x ∈ B

, x 6 = 0

, y ∈ { 0, 1 }

5- V´erifer que S

est la sym´etrie orthogonale par rapport au plan (complexe) P

engendr´e par les vecteurs | 0

i | 0 i , | 0

i | 1 i .

6- On d´efinit l’op´erateur (sur (n + 1) qbits) :

S

:= (H

⊗ Id)S

(H

⊗ Id)

Montrer que S

est une sym´etrie orthogonale par rapport au plan (complexe) engendr´e par les vecteurs | ψ i , | ψ

i , o` u | ψ

i :=

N

P

x∈Bⁿ

| x i

.

7- Montrer que chacun des op´erateurs O, S

stabilise le plan (r´eel) P (d´efini apr`es la question 2).

Indication : il suffit de calculer les images de | α i et de | ψ i par ces deux op´erateurs.

On note ˜ S

(resp. ˜ O) la restriction de S

(resp. O) au plan P . 8-

8.1 Montrer que ˜ S

O est une rotation de ˜ P .

8.2 Calculer une mesure θ de l’angle de la rotation ˜ S

O. ˜ Indication : on pourra exprimer θ en fonction de θ

.

|αi

|βi

|ψi

O|ψi θ^′

Figure 2 – Le plan P Etape 3, cas 1 ´

On suppose que

M

N ≤ s (1)

o` u s est un “seuil” que l’on a choisi “petit devant 1” ; pour fixer les id´ees, supposons que s =

.

On calcule un entier k tel que

(2k + 1)θ

≤ π

2 < (2k + 3)θ

On applique (S

O)

au vecteur | ψ i , on obtient le vecteur | η i . 9-

9.1 Soit γ ∈ [0, 2π[ la mesure de l’angle entre | η i et | β i ; V´erifier que 0 ≤ γ < 2θ

.

9.2 Montrer que k | η i − | β i k

= 4 sin

(γ/2).

9.3 En d´eduire que k | η i − | β i k

≤ 4

≤ 4s.

Pour simplifier le raisonnement, supposons que l’on connaisse une grandeur observable M , associ´ee ` a un op´erateur hermitien M , sur B

, dont les vecteurs propres sont les 2

vecteurs de la base

| x i | 0 i − | 1 i

√ 2 , | x i | 0 i + | 1 i

√ 2

pour x ∈ B

et dont les valeurs propres soient toutes distinctes. Notons λ

la valeur propre de vecteur propre | x i

.

10- On effectue une mesure de l’observable M sur le vecteur | η i . Avec quelle probabilit´e le r´esultat de la mesure est-il une des valeurs propres

λ

avec f (x) = 1?

10.1 Montrer que cette probabilit´e est sup´erieure ou ´egale ` a (1 − 4s).

10.2 Combien de r´ep´etitions de cet algorithme quantique sont n´ecessaires, pour obtenir un vecteur x ∈ B

, tel que f (x) = 1, avec une probabilit´e

≥ 1 −

? Etape 3, cas 2 ´

On suppose maintenant que

M

N > s. (2)

et l’on tire al´eatoirement un vecteur x ∈ B

.

La probabilit´e d’obtenir, en un seul tirage, un vecteur x ∈ B

, tel que f (x) = 1 vaut

> s.

11- Combien de tirages (ind´ependants) sont n´ecessaires, pour obtenir un vecteur x ∈ B

, tel que f (x) = 1, avec une probabilit´e ≥ 1 −

?

Par souci d’uniformit´e, on souhaite traiter le cas 2, comme le cas 1, par un algorithme quantique.

On mesure donc l’observable M directement sur le vecteur | ψ i .

12- 12.1 Avec quelle probabilit´e le r´esultat de la mesure est-il une des valeurs propres

λ

avec f (x) = 1?

12.2 Combien de r´ep´etitions de cet algorithme quantique sont n´ecessaires, pour obtenir un vecteur x ∈ B

, tel que f (x) = 1, avec une probabilit´e

≥ 1 −

?