Information Quantique

ENSEIRB-MATMECA

Option second semestre, 2012/2013

Information Quantique

DM- Avril 2013

Indications : Version amend´ee (le 10/04/2013) grˆ ace aux remarques des

´etudiants.

Partie 1

Transmission d’information.

Dans cette premi`ere partie, on se propose de montrer que, encoder n bits avec k qbits n’est possible que si k ≥ n.

On fixe k, n ∈ N avec k ≤ n. On note B l’espace de Hilbert canonique, de dimension 2 et l’on note | 0 i , | 1 i sa base canonique. On remarque que B

est de dimension d := 2

sur C

Encodage : On encode chaque vecteur bool´een x ∈ B

par un vecteur unitaire | Φ

i ∈ B

.

D´ ecodage : Soit | Φ i ∈ B

un vecteur unitaire. On le d´ecode comme suit.

On fixe une suite de ℓ observables H

, . . . , H

, . . . , H

et une suite de 2

r´eels positifs (λ

)

, distincts. L’op´erateur hermitien associ´e ` a H

a pour matrice M

, de dimension d. Pour chaque x ∈ B

et i ∈ [0, ℓ − 1], on note E

le sous-espace propre de M

associ´e ` a la valeur propre λ

.

On tire al´eatoirement un indice i ∈ [0, ℓ − 1] suivant une loi de probabilit´e (q

, . . . , q

, . . . , q

) ( o` u q

> 0 et P

i=0

q

= 1). Autrement dit : la probabi- lit´e de tirer l’indice i vaut q

. Puis on mesure la grandeur H

sur l’´etat | Φ i : - si la mesure fournit λ

alors le r´esultat du d´ecodage est x.

- si le r´esultat de la mesure n’est aucun λ

(x ∈ B

) alors le d´ecodage ´echoue.

1- ` a quelle condition sur les observables H

, . . . , H

, . . . , H

est-il vrai que,

pour tout vecteur unitaire | Φ i ∈ B

, presque sˆ urement, le d´ecodage de | Φ i

fournit un vecteur bool´een x ∈ B

?

On essaye de d´ecoder un vecteur unitaire | Φ i ∈ B

. Pour tout x ∈ B

, on note Pr(δ = x) la probabilit´e que la proc´edure de d´ecodage aboutisse ` a la valeur x. On d´efinit l’op´erateur lin´eaire

P

:=

ℓ−1

X

i=0

q

P

o` u P

est la projection orthogonale sur le sous-espace E

. 2- Montrer que Pr(δ = x) = h Φ | P

| Φ i

3- Montrer que h Φ | P

| Φ i ≤ tr(P

)

4- V´erifier que, dans les conditions de la question 1, X

x∈Bⁿ

P

= Id

On note p

la probabilit´e que la proc´edure de d´ecodage, appliqu´ee ` a | Φ

i fournisse x.

5- V´erifier que p

= h Φ

| P

| Φ

i 6- Montrer que P

x∈Bⁿ

p

≤ d

7- En d´eduire que, si k < n, il existe une vecteur bool´een x ∈ B

qui est

“mal d´ecod´e” en ce sens que : p

≤ 2

.

8- Le r´esultat de la question 7 contredit-il la possibilit´e du “codage super- dense” vu en cours ?

Partie 2

Complexit´e de communication le probl`eme du couplage cach´e.

Alice et Bob souhaitent r´esoudre un probl`eme algorithmique. A poss`ede une donn´ee x

et B poss`ede une donn´ee x

. A peut envoyer des qbits ` a B mais B ne peut rien envoyer ` a A. Ils cherchent ` a fournir la r´eponse ` a une question portant sur (x

, x

) en minimisant le nombre de qbits qu’Alice envoie ` a Bob.

Donn´ee de A : x ∈ B

Donn´ee de B : un couplage C ⊆ [0, N − 1] × [N, 2N − 1]

Question : fournir un couple ((i, j), x

⊕ x

) tel que (i, j) ∈ C.

N.B. Un couplage sur [0, 2N − 1] est le graphe d’une bijection de [0, N − 1]

dans [N, 2N − 1].

2

Notation : on pose ⌈ log

(2N ) ⌉ := n ; il sera ici commode de noter, ´etant donn´e un entier i ∈ [0, 2N − 1], | i i le produit tensoriel

| i i := | b

i ⊗ | b

i ⊗ . . . ⊗ | b

i . . . ⊗ | b

i ∈ B

tel que

i = X

b

2

.

Un algorithme pour N = 2 - Alice calcule le vecteur

| Φ i := 1

2 [( − 1)

| 0 i + ( − 1)

| 1 i + ( − 1)

| 2 i + ( − 1)

| 3 i ] - Elle envoie | Φ i ` a Bob

- Bob fait une mesure dans la base (orthonorm´ee) ( 1

√ 2 ( | 0 i + | C(0) i ), 1

√ 2 ( | 0 i − | C(0) i ), 1

√ 2 ( | 1 i + | C(1) i ), 1

√ 2 ( | 1 i − | C(1) i )) - Bob renvoie :

((i, C(i)), 0) si sa mesure a projet´e | Φ i sur

2

( | i i + | C(i) i ) ((i, C(i)), 1) si sa mesure a projet´e | Φ i sur

2

( | i i − | C(i) i )

1- Montrer que, pour tout i ∈ [0, 1],la probabilit´e que Bob obtienne l’´etat

√1

2

( | i i + | C(i) i ) est

1

8 (( − 1)

+ ( − 1)

)

et la probabilit´e que Bob obtienne l’´etat

2

( | i i − | C(i) i ) est 1

8 (( − 1)

− ( − 1)

)

2- Montrer que Bob donne presque sˆ urement une r´eponse correcte.

Un algorithme pour 2N = 2

En vous inspirant de l’algorithme ci- dessus donner un algorithme dans le cas g´en´eral.

3- Alice calcule un vecteur | Φ i :=?

- Elle envoie | Φ i ` a Bob

4- Bob fait une mesure dans une base orthonorm´ee S

i∈[0,N−1]

{| u

i , | u

i} .

3

- Bob renvoie :

- ((i, C (i)), 0) si sa mesure a projet´e | Φ i sur | u

i - ((i, C (i)), 1) si sa mesure a projet´e | Φ i sur | u

i Quelle base orthonorm´ee lui conseillez-vous de choisir ?

5- Pour tout i ∈ [0, N − 1] et ε ∈ { 1, − 1 } , calculer la probabilit´e que Bob obtienne l’´etat | u

i .

6- Bob donne-t-il presque sˆ urement une r´eponse correcte ? 7- Combien de qbits Alice a-t-elle envoy´e ` a Bob ?

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