ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
Habilitation à diriger des recherches
no d’ordre 42-2011 Spécialité : Mathématiques
Julien VOVELLE
Quelques problèmes d’équations aux dérivées partielles :
approximation numérique, équations de courbure moyenne, perturbations stochastiques
soutenue publiquement le 08 décembre 2011
Composition du Jury
Mme. Sylvie BENZONI Professeur de l’Université Lyon 1
Mme. Annie MILLET Professeur de l’Université Paris 1 Rapporteur M. Arnaud DEBUSSCHE Professeur de l’ENS Cachan – Bretagne
Mr. Lawrence Craig EVANS Professeur de l’Université de Berkeley Rapporteur M. Thierry GALLOUËT Professeur de l’Université de Provence
M. Francis FILBET Professeur de l’Université Lyon 1
M. Denis SERRE Professeur de l’ENS Lyon
M. Alexis VASSEUR Professeur de l’Université du Texas, Austin Rapporteur
Avant tout je m’adresse à Thierry Gallouët.
J’ai la fierté, la chance, et avec moi bien d’autres, D’avoir pu débuter les maths, leurs riches quêtes, Avec lui. S’il y a un canon, c’est le nôtre !
Je sollicite encore ici mes rapporteurs
Pour l’honneur qui m’est fait, pour leur patient travail, Many thanks Craig Evans, de grands mercis sans failles : Mercis Annie Millet et Alexis Vasseur.
Très spécialement là le jour de soutenance, Je compte Arnaud Debussche et Sylvie Benzoni, Denis Serre et Francis Filbet : à tous merci D’établir ce jury fort de vos compétences ! Je remercie aussi mes collaborateurs, Mes collaboratrices, nos travaux mutuels, Leur exemple, ainsi que les collègues et acteurs De l’ICJ, et tout spécialement Miguel.
Enfin, à celle à qui ces vers sont adaptés, Baddé 2ella aghla merci.
– Bas min, a7lam ? Min ? Ente, bta3rife ika3, ghéna l’gharam, Yalli albe byesma3. Hobbé Nadine, marté.
A Introduction v
A.1 Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Fini. . . . vi
A.1.1 Schémas Volume Fini . . . . vi
A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace . . . . vii
A.1.3 Estimation d’erreur optimale pour les équations linéaires. . . . ix
A.1.4 Notes sur la démonstration . . . . x
A.2 Chapitre 2 : Equation de courbure moyenne prescrite dépendant de la hauteur xii A.2.1 Problèmes elliptiques semi-linéaires. . . . xii
A.2.2 Branche de solution minimale, solution extrémale, deuxième branche de solutions . . . . xiv
A.2.3 Résumé des preuves . . . . xvi
A.3 Chapitre 3 : Perturbation stochastique de lois de conservation du premier ordrexvii A.3.1 Formulation cinétique . . . . xviii
A.4 Chapitre 4 : Limite diffusive d’une équation cinétique stochastique . . . . . xix
A.4.1 Processus pilote . . . . xx
A.4.2 Méthode de la fonction test perturbée . . . . xxii
A.4.3 Le coefficientQ . . . . xxii
1 Error estimates for Finite Volume schemes 1 1.1 Finite Volume scheme . . . . 1
1.2 Error estimate in the whole space. . . . 2
1.2.1 Optimal error estimate for linear equations . . . . 4
1.3 Proof of the error estimate for linear equations . . . . 5
1.3.1 Reduction of the problem . . . . 5
2 Prescribed height-dependent mean-curvature equation 11 2.1 Introduction. . . . 11
2.1.1 Weak and classical solution . . . . 14
2.1.2 Branches of solutions. . . . 16
2.1.3 Comments. . . . 17
2.2 Properties of weak solutions . . . . 18
2.2.1 Weak solutions as global minimizers . . . . 18
2.2.2 A priori bounds. . . . 19
2.3 Existence of minimal solutions forλ∈[0, λ∗) . . . . 21
2.3.1 Existence of weak solutions for small values ofλ . . . . 21
2.3.2 Existence ofuλ forλ < λ∗ . . . . 21
2.3.3 Conclusion . . . . 23
2.4 UniformL∞ bound for minimal weak solutions . . . . 24
2.4.1 Minimal solutions as one-sided global minimizers . . . . 24
2.4.2 A bound onkuλf(uλ)kL1(Ω) . . . . 25
2.4.3 A bound onkf(uλ)kLp(Ω) . . . . 26
2.4.4 L∞estimate . . . . 27
2.5 Existence of the extremal solution . . . . 29
2.5.1 Estimate on∇uλ on∂Ω . . . . 29
2.5.2 Extremal solution . . . . 30
2.6 Regularity of radial minimal solutions . . . . 30
2.6.1 Bound on the gradient near the origin and near the boundary . . . . 31
2.6.2 Bound on the gradient ofuλforλ < λ∗ . . . . 32
2.6.3 Regularity of the extremal solution . . . . 33
2.6.4 Conclusion . . . . 36
2.7 Second branch of solution . . . . 37
2.7.1 Second differentiation . . . . 37
2.7.2 The branch of minimal solution . . . . 38
2.7.3 Second branch . . . . 39
2.8 Comparison principles . . . . 40
3 Scalar conservation laws with stochastic forcing 43 3.1 Introduction. . . . 43
3.2 Kinetic solution . . . . 45
3.2.1 Definition . . . . 45
3.2.2 Generalized solutions. . . . 47
3.2.3 Left and right limits of generalized solution . . . . 49
3.3 Comparison, uniqueness, entropy solution and regularity . . . . 51
3.3.1 Doubling of variables. . . . 51
3.3.2 Uniqueness, reduction of generalized solution . . . . 55
3.3.3 Entropy solutions. . . . 58
3.3.4 Spatial regularity . . . . 59
3.4 Existence . . . . 61
3.4.1 The parabolic approximation, kinetic formulation. . . . 61
3.5 Proof of Theorem 3.2.5 and Corollary 3.2.6 . . . . 64
4 Diffusion limit for a stochastic kinetic problem 67 4.1 Introduction. . . . 67
4.2 Preliminary and main result . . . . 69
4.2.1 Notations . . . . 69
4.2.2 The driving random term . . . . 69
4.2.3 The deterministic equation . . . . 73
4.2.4 Main result . . . . 74
4.3 Resolution of the kinetic Cauchy Problem . . . . 74
4.3.1 Pathwise solutions . . . . 74
4.3.2 Generator . . . . 75
4.4 The limit generator. . . . 77
4.4.1 Correctors. . . . 77
4.4.2 Limit equation . . . . 81
4.4.3 Summary . . . . 82
4.5 Diffusive limit . . . . 84
4.5.1 Bound inL2x,v. . . . 84
4.5.2 Tightness . . . . 86
4.5.3 Convergence . . . . 88
Bibliographie 91
Introduction
Contents
A.1 Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Fini vi
A.1.1 Schémas Volume Fini . . . . vi
A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace . . . . vii
A.1.3 Estimation d’erreur optimale pour les équations linéaires. . . . ix
A.1.4 Notes sur la démonstration . . . . x
A.2 Chapitre 2 : Equation de courbure moyenne prescrite dépendant de la hauteur . . . . xii
A.2.1 Problèmes elliptiques semi-linéaires. . . . xii
A.2.2 Branche de solution minimale, solution extrémale, deuxième branche de solutions . . . . xiv
A.2.3 Résumé des preuves . . . . xvi
A.3 Chapitre 3 : Perturbation stochastique de lois de conservation du premier ordre. . . . xvii
A.3.1 Formulation cinétique . . . xviii
A.4 Chapitre 4 : Limite diffusive d’une équation cinétique stochastiquexix A.4.1 Processus pilote . . . . xx
A.4.2 Méthode de la fonction test perturbée . . . xxii
A.4.3 Le coefficientQ. . . xxii
In this memoir I describe four of my works in different areas of the study of partial differential equations.
– Chapter 1 is concerned with error estimates for the approximation of first-order scalar conservation laws by the Finite Volume method. For the most part, it is a summary of the article [MV07] with B. Merlet.
– Chapter 2 is based on my work with A. Mellet on prescribed mean curvature equations.
It corresponds to the article [MV10], but in a different form, since it has been rewritten and since the framework is more general.
– Up to minor modifications, Chapter 3 is the article [DV10] with A. Debussche, in which we solve the Cauchy Problem for multidimensional stochastic scalar conservation laws.
– Up to minor modifications, Chapter 4 is the preprint [DV11] with A. Debussche, in which we study the stochastic diffusion limit of a random kinetic equation with a small parameter.
Dans ce mémoire d’habilitation à diriger des recherches, je présente quatre travaux dans différents domaines de l’étude des équations aux dérivées partielles.
– Le Chapitre 1 porte sur l’approximation numérique des lois de conservation (scalaires d’ordre un), et précisément sur la question des estimations d’erreur dans l’approxi- mation par la méthode Volume Fini. C’est un résumé détaillé de l’article [MV07] avec B. Merlet
– Le sujet du Chapitre 2 est l’étude de certaines équations de courbure moyenne pres- crite que j’ai étudiées avec A. Mellet. Ce chapitre est une réécriture de l’article [MV10], dans un contexte un peu plus général (second membre général au lieu de fonction puis- sance).
– A des modifications mineures près, le Chapitre 3 est l’article [DV10] avec A. De- bussche, dans lequel on résout le Problème de Cauchy pour des lois de conservations scalaires stochastiques multi-dimensionnelles.
– Le Chapitre 4 porte aussi sur les équations aux dérivées partielles stochastiques. A des modifications mineures près, c’est la prépublication [DV11] avec A. Debussche, dans laquelle on étudie la limite diffusive stochastique d’une équation cinétique avec terme de forçage aléatoire comportant un petit paramètre.
Les quatre chapitres sont rédigés en anglais, raison pour laquelle je vais les résumer en français dans le reste de cette introduction.
A.1 Chapitre 1 : Estimations d’erreur pour les schémas Volume Fini
A.1.1 Schémas Volume Fini
Dans ce premier chapitre, on va discuter de la convergence de la méthode Volume Fini pour l’approximation des lois de conservations scalaires d’ordre un. Soit Ω⊂Rd un ouvert polygonal : sa frontière ∂Ω est une union finie d’ensembles contenus dans des hyperplans de Rd. Soit un maillageMde Ω, soit (à un ensemble de mesure nulle près) une partition de Ω en ouverts connexes K ∈ M eux-mêmes polygonaux,cf l’illustration suivante, dans laquelle on a notéK|Lpour l’interfaceK∩L, et dans laquelle l’ensemble des voisins deK est {L, M, N}.
K L M
N
K|L
Un schéma d’évolution de type Volume Fini décrit l’évolution discrète de quantités associées à chaque maille selon un processus d’échanges entre voisins. Ici on considère les voisins immédiats et des équations
un+1K =unK− 1
|K|
X
L∈N(K)
QnK→L, ∀K∈ M, (A.1)
où
N(K) ={L∈ M;L6=K, K|L6=∅}
est l’ensemble des voisins deK,|K|la mesure de Lebesgued-dimensionelle deKetQnK→L désigne un flux deKversLsur l’intervalle de temps (tn, tn+1). Le fluxQnK→Ldépendra de unK et unL. Soit
h:= sup
K∈M
diam(K),
le pas du maillage, où diam(A) est le diamètre d’un sous ensemble A de Rd et soit k = tn+1−tn, n∈Nle pas d’espace (supposé constant). Le schéma estconservatifsi
QnK→L=−QnL→K, ∀K, L∈ M, (A.2) KetLétant voisins, ce qui assure qu’aucune masse n’est perdue ou créée lors de l’évolution par (A.1). Soitu0∈L∞(Rd) donnée, qui détermineu0K pour toutK, par exemple
u0K= 1
|K|
Z
K
u0(x)dx, ∀K∈ M. (A.3)
Sous certaines hypothèses et pour une certaine construction des flux numériques (voir Théo- rèmeA.1.1), lorsqueh, k→0, la solution de (A.1) approche la solution d’uneloi de conser- vationdu premier ordre
ut+ div(A(u)) = 0, u|t=0=u0. (A.4) On va étudier la vitesse de cette convergence.
A.1.2 Estimation d’erreur dans tout l’espace
Pour être plus précis dans le résultat de convergence (on ne va s’intéresser qu’aux équa- tions d’ordre 1,i.e.au cas oùA dans (A.4) ne dépend que deudans (A.4)), on introduit les notions suivantes.
On dit que le maillage est régulier s’il existe une constanteα >0 telle que
αhd≤ |K|, (A.5a)
|∂K| ≤ 1
αhd−1, (A.5b)
pour tout K ∈ M, où |∂K| est la mesure de Haussdorff de dimension d−1 du bord de K ((A.5a) interdit par exemple qu’il y ait de trop grande différence de taille (aire, volume selon la dimension) entre les maille ; et (A.5a) impose par exemple qu’il n’y ait pas de maille trop fine, type “cheveu").
SoitA:R→Rdune fonction de classeC2et soit, pourK, L∈ Mvoisins,AK→L:R2→ Rd des fonctions localement lipschitziennes qui vérifient la condition de consistance sui- vante :
AK→L(u, u) = Z
K|L
A(u)·nK→LdHd−1=|K|L|A(u)·nK→L, ∀u∈R, (A.6) oùnK→Lest la normale unitaire sortante àKle long de l’interfaceK|L. Soit les fluxQnK→L définis par
QnK→L=kAK→L(unK, unL). (A.7) Si
AK→L(u, v) =−AL→K(v, u), ∀K, L∈ M, (A.8) pour tous u, v,∈ R, alors les flux QnK→L sont conservatifs. Par (A.6), ils sont consistants avec les flux
Q= Z
∂ω
A(u,∇u)·n dHd−1
associés au problème continu (A.4) (dans le cas où cela a un sens, Qest le flux à travers la frontière d’un ouvert ω, n est la normale unitaire sortante à ω et Hd−1 la mesure de Haussdorff de dimensiond−1).
On suppose de plus que les flux sontmonotones, au sens où
∀v∈R, AK→L(·, v) est croissante. (A.9) On a alors le résultat suivant, en prenant Ω =Rd, tn =nk, n∈N, [CCL94, Vil94, CH99, EGH00].
Théorème A.1.1 (Estimation d’erreur). Soitu0∈L∞∩BVloc(Rd)1,Um≤u0≤UM p.p.
Supposons (A.8) et (A.9) vérifées. Soit uh,k la fonction constante par morceaux sur Rd× R+égale àunK dansK×[tn, tn+1[où lesunK sont définis pas (A.1)-(A.7)-(A.3). Supposons queA∈C2(R;Rd), que (A.5) est vérifié uniformément enh, k, que lesAK→L, en restriction à [Um, UM], ont une constante de Lipschitz majorée par M|K|L| pour tous K, L, et qu’il existe ξ∈]0,1]tel que la condition de CFL (Courant Friedrichs Lewy) soit satisfaite :
k≤(1−ξ)α2h 2M.
Alors, pour tout compactK⊂Rd×R+, il existeC≥0dépendant ded,Um,UM,|Du0|(K), kAkC2
b([um,UM]),α,ξtel que
kuh,k−ukL1(K)≤Ch1/4,
oùu∈L∞(Rd×R+)est la solution entropique de (A.4) (oùA dépend deuuniquement).
Le théorème ci-dessus donne donc la convergence de uh,k, avec une estimation de la vitesse de convergence en h1/4.
Remarque A.1.1. Le Théorème A.1.1 est vrai sous des hypothèses plus générales, en particulier lorsqueA dépend aussi des variables(x, t), par exemple A(x, t, u) =a(x, t)f(u), où a ∈ C2(Rd ×R;Rd), f ∈ C2(R). Dans ce dernier cas (lorsque la vitesse a est bien identifiée), on peut définir les flux numériques en utilisant un décentrage amont : on pose
AK→L(u, v) =an,+K→Lg(u, v)−an,−K→Lg(v, u), u, v,∈R, où
anK→L= 1 k
Z tn+1
tn
Z
K|L
a(x, t)·nK→LdHd−1(x)dt,
ets± désigne la partie positive (resp. négative) des∈R, etg est un flux numérique associé àf.
A.1.2.1 Estimation d’erreur sur domaine borné
Dans le cas où le domaine Ω est borné, on doit compléter la définition du schéma (A.1)- (A.7)-(A.3) afin de définir le flux QnK→L lorsque la maille K rencontre le bord de Ω : σ:=K∩∂Ω6=∅. Pour cela, on introduit une maille fictiveL, de sorte queK|L=σ, et la valeur unL utilisée dans la définition du flux (A.7) est déterminée par une donnée au bord
¯
u∈L∞(∂Ω×R+), par exemple en prenant la valeur moyenne : unL:= 1
k|σ|
Z tn+1 tn
Z
σ
¯
u(x, t)dHd−1(x)dt.
1On dit queu∈L1loc(Rd) est dansBVloc(Rd) si son gradient au sens des distributionsDuest une mesure de Radon surRdet on note alors|Du|la variation totale
Comme cela, en adaptant éventuellement le choix du flux numérique tout spécialement pour les interfaces frontières, on peut prendre en compte une assez grande variété de conditions au bord [EGV03]. Avec M. Ohlberger [OV06], on a montré une estimation d’erreur enh1/6 (résultat analogue à celui du Théorème A.1.1 avech1/6 à la place de h1/4). Ici la limite u est la solution entropique de
ut+ div(A(u)) = 0 dans Ω×(0,+∞), (A.10) avec donnée initiale u0 et contrainte au bord déterminée (au sens de Bardos, Le Roux, Nédélec [BLN79] ou de Otto [Ott96]) par ¯u.
A.1.2.2 Estimation d’erreur optimale
Selon une conjecture (que suggèrent les résultats numériques et certains cas particuliers), l’ordre de l’estimation d’erreur dans les conditions du Théorème A.1.1 est 12, non 14. On pense qu’il en est de même dans le cas où des condtions au bord interviennent (cf[CHG01]).
Dans tout l’espace, pour des flux non-linéaires, l’estimation d’erreur enh1/2a été prouvée par Kuznetsov [Kuz76] dans le cas de la dimensiond= 1, ou, dans le cas de la dimension d >1 lorsque les maillages considérés sont structurés, c’est-à-dire constitués de pavés tous identiques2. Dans le cas de maillages non structurés, en dimension d ≥ 2, l’estimation d’erreur enh1/2reste un problème ouvert ouvert dans le cas d’un fluxAnon-linéaire, mais, dans [MV07], on l’a démontrée avec B. Merlet dans le cas linéaire.
A.1.3 Estimation d’erreur optimale pour les équations linéaires
Soita∈W1,∞(Rd×R+) et soit l’équation de conservation
ut+ div(au) = 0. (A.11)
Elle est équivalente à l’équation de transport (homogène si divxa≡0) ut+a· ∇u=−div(a)u.
Pour le flux linéaireA(x, t, u) =a(x, t)u, les fluxQnK→L sont donnés par le schéma amont décrit dans la RemarqueA.1.1 :
AK→L(u, v) =an,+K→Lu−an,−K→Lv, u, v,∈R, (A.12) où
anK→L= 1 k
Z tn+1 tn
Z
K|L
a(x, t)·nK→LdHd−1(x)dt.
Avec B. Merlet, on a montré le résultat suivant [MV07].
Théorème A.1.2 (Estimation d’erreur, cas linéaire). Soit u0 ∈L1∩BV(Rd). Soit uh,k
la fonction constante par morceaux sur Rd×R+ égale à unK dansK×[tn, tn+1[où lesunK sont définis pas (A.1)-(A.12)-(A.3). Supposons queaest à divergence nulle :diva= 0dans Rd×R+. Supposons que (A.5) est vérifié uniformément enh, k et qu’il existe ξ∈]0,1]tel que la condition de CFL suivante soit satisfaite :
k X
L∈N
an,−K→L≤(1−ξ)|K|, ∀K∈ M,∀n∈N.
2ou presque [CGY98]
Supposons aussi k≤C0h eth≤C1T. Alors il existeC≥0 dépendant de la dimension d, deα,ξ,a,C0,C1 telle que
kuh,k−ukL1(Rd)(T)≤C|Du0|(Rd)(T h+T12h12), (A.13) oùu∈C(R+;L1(Rd)−w)est la solution faible de (A.11) avec donnée initiale u0.
En fait, dans le cas particulier de l’équation de transport, linéaire, on peut se poser la question de l’estimation d’erreur dans d’autres espaces queL1, en particulier dansLp avec donnéeW1,p :
ku(t)−uh,k(t)kLp(Rd)≤Cku0kW1,p(Rd)h1/2, (A.14) oùp >1. Par interpolation, (A.14) pour 1< p1< p2implique (A.14) pour toutp1≤p≤p2. (A.14) a été démontrée pour p = 2 par B. Després [Des04] et auparavant par J.P. Vila et P. Villedieu [VV03] dans le cas du schéma de Lax-Friedrichs, puis redémontrée par B. Merlet [Mer08] et par E. Burman, A. Ern and M.A. Fernandez [BEF10] dans le cadre des éléments finis discontinus. Une estimation
ku(t)−uh,k(t)kL∞(Td)≤Cεku0kW1,∞(Td)h1/2−ε, pour toutε >0 dans le casp= +∞a été démontrée par B. Merlet [Mer08].
Depuis 2007, une nouvelle preuve de (A.13) a été donnée par F.Delarue et F. Lagouti- ère, qui utilise une interprétation probabiliste [DL11] du schéma (A.1)-(A.12)-(A.3). Enfin remarquons qu’en ce qui concernel’ordrede la méthode, à savoir quelle estimation d’erreur peut-on obtenir pour des données arbitrairement régulières, D. Bouche, J.-M. Ghidaglia, and F. Pascal montrent dans [BGP05] qu’il est non pas de 1/2 mais bien de 1 (sous des conditions géométriques sur les maillages).
A.1.4 Notes sur la démonstration
On donne le résumé de la démonstration du ThéorèmeA.1.2. On noteraf .gs’il existe une constanteC≥0 ne dépendant (comme dans le ThéorèmeA.1.2) que de la dimensiond, deα,ξ,a,C0, C1, telle quef ≤Cg. On notera aussiη:=T12h12 la quantité infinitésimale de référence.
Etape 1 :Réduction du problème au transport d’un ensemble. Par linéarité et dépen- dance Lipschitz (vis à vis de la norme Lp) de la solution u(t) du problème continu ou du problème discret par rapport aux donnés, et en utilisant la formule de la coaire pour les fonctions BV, on peut se ramener au cas oùu0 =1A est la fonction caractéristique d’un ensemble de périmètre fini (A est en fait un ensemble de niveau de la donnée u0 avant réduction). En commençant tout d’abord par projeteru0sur une grille assez fine (de taille η), on s’assure qu’on contrôle la taille du η-voisinage deA:
|Vη(∂A)|.P(A)η, (A.15)
oùVη(∂A) :={x∈Rd; d(x, ∂A)< η} etP(A) est le périmètre deA.
Etape 2 : Formulation faible approchée. On montre que la solution uh,k du schéma numérique satisfait la formulation faible approchée
Z
Rd
uk,k(T)ϕ(T)dx− Z
Rd
uk,k(0)ϕ(0)dx
= Z T
0
Z
Rd
uk,k(T)(∂t+a(x, t)· ∇x)ϕ(x, t)dxdt+µh(ϕ) +νh(ϕ),
avec les estimations suivantes sur les termes d’erreur :
|µh(ϕ)|.k∂tϕkL∞|Mϕ|12eh12k12 and |νh(ϕ)|.k∇xϕkL∞|Mϕ|12eh12h12, (A.16) où |Mϕ| est le volume des mailles espace-temps sur lesquelles la fonction test ϕest non- constante et
eh:= X
Kn∈M
|K||un+1K −unK|2+ X
Kn∈M
X
L∈N(K)
k an,−K|L|unK−unL|2
est l’énergieL2 discrète (avec poids).
Etape 3 : Choix de la fonction test. Comme u0 est la fonction caractéristique d’un ensemble,u(t) aussi (en particulieru(t)∈ {0,1}) et, par le principe du maximum pour le schéma numérique,uh,k∈[0,1]. On en déduit
ku(T)−uh,k(T)kL1(Rd)= Z
Rd
(u(x, T)−uh,k(x, T))f(x, T)dx,
oùf(t) =1A(t)−1A(t)c (Ac:=Rd\A), avecu(t) =1A(t). CommeA(t) est transporté par le flot dea, on a (∂t+a· ∇)f = 0. En utilisant l’équation approchée vérifiée paruh,k et un argument de dualité, on en déduit
ku(T)−uh,k(T)kL1(Rd)= Z
Rd
(u0−uh,k(0))f(0)dx+µh(f) +νh(f).
Dans la pratique, il faut régulariserf : on obtient ku(T)−uh,k(T)kL1(Rd).
Z
Rd
(u0−uh,k(0))fη(0)dx+µh(fη) +νh(fη) +P(A)η, oùfη(t) est non constante dans un voisinage de tailleη de∂A(t) avec un gradient enη−1 (en norme L∞) dans ce voisinage. Par régularité du flot et l’estimation (A.15), on a une estimation enP(A)η du volume de l’ensemble sur lequel f est non contante. Avec (A.16) et l’estimation classique
ku0−uh,k(0)kL1(Rd).P(A)h, on obtient
ku(T)−uh,k(T)kL1(Rd).[P(A)η]12eh12 +P(A)η. (A.17) Il reste alors à estimereh.
Etape 4 :Estimations d’énergie. On montre qu’on a l’estimation d’énergie discrète kuh,k(T)k2L2(Rd)− kuh,k(0)k2L2(Rd)= ˜eh,
oùeh.e˜h. Pour conclure, on utilise le fait que, pour l’équation exacte, on aconservation de la normeL2, puis on estime la norme L2par la normeL1 :
eh.kuh,k(T)k2L2(Rd)− kuh,k(0)k2L2(Rd)
.kuh,k(T)k2L2(Rd)− ku(T)k2L2(Rd)+ku(0)k2L2(Rd)− kuh,k(0)k2L2(Rd)
.kuh,k(T)−u(T)kL1(Rd)+ku(0)−uh,k(0)kL1(Rd)
.kuh,k(T)−u(T)kL1(Rd)+P(A)η.
En reportant dans (A.17), on en déduit l’estimation d’erreur (A.13).
A.2 Chapitre 2 : Equation de courbure moyenne pres- crite dépendant de la hauteur
Soit Ω un ouvert borné régulier deRn. On s’intéresse au problème suivant : trouver une fonction udéfinie sur Ω dont le graphe a en tout point une courbure prescriteh, le profil deuau-dessus de la frontière∂Ω de Ω étant également prescrit.
Quand hdépend de x∈Ω seulement, ce problème de courbure moyenne a été étudié par Bernstein [Ber10], Finn [Fin65], Serrin [Ser69], Giaquinta [Gia74], Massari [Mas74] and Giusti [Giu76,Giu78] en particulier : voir le ThéorèmeA.2.1 ci-dessous. Pourh= 0, c’est aussi une forme particulière du Problème de Plateau. On va considérer ici le cas où la courbure moyenne prescrite hdépend du pointx∈Ω et de la hauteur u(x)∈R, avec une condition de Dirichlet homogène sur∂Ω :
−div(T u) =H+λf(u) dans Ω, (A.18a)
u= 0 sur ∂Ω, (A.18b)
où
T u:= ∇u p1 +|∇u|2,
λ >0 etf ∈C1([0,+∞)∩C∞(0,+∞) est une fonction convexe satisfaisant f(0)≥0, f0(0)≥0, lim
t→∞
f(t)
t >0. (A.19)
Un exemple très représentatif est celui où f(u) = u, H = 0. Alors (A.18) est l’équation qui modélise le contour (sous forme non-paramétrique) d’une goutte pendant d’une pipette, soumise à des forces de tension de surface et de gravité (le contour est donné parx7→ −u(x) et la gravité, d’intensité λpointe vers le bas). En particulier, dans ce modèle, on s’attend à ce qu’il n’y ait plus de solution (plus d’équilibre possible entre forces de tension et forces de gravité) siλest trop grand, ce qu’on montre dans le ThéorèmeA.2.2.
A.2.1 Problèmes elliptiques semi-linéaires
Commef est croissante et−div(T u) est un opérateur elliptique (dégénéré), le problème (A.18) est une version complètement non-linéaire du problème elliptique semi-linéaire
Lu=λf(x, u) dans Ω, (A.20)
avec conditions au bord sur ∂Ω, oùL est un opérateur linéaire uniformément elliptique et f est super-linéaire enu. L’équation prototype derrière (A.18a) et (A.20) est
X =X2+λ ou X = 1 +λX2, X >0. (A.21) Pour (A.21), on voit à l’aide d’un graphe qu’il y a un seuil λ∗ > 0 pour le nombre de solutions : quand λ croît (en partant de 0+), de deux solutions à (A.21) pour λ < λ∗, on passe à une solution (extrémale) pour λ = λ∗ puis plus de solution si λ > λ∗. Pour le Problème de Gelfand −∆u = λeu dans la boule B(0,1) avec condition de Dirichlet homogènes, de même il existe un seuilλ∗>0 avec, cependant, un nombre de solutions qui varie selon la dimension (cf.[JL73], voir la FigureA.1, oùkuk représenteu(0), la hauteur maximal du graphe deu).
En dimensionn= 1, le problème (A.18) avecH= 0 etf(u) =eu, qui est le Problème de Gelfand pour l’opérateur de courbure moyenne a été étudié par Pan dans [Pan09]. Comme
Fig.A.1 – Problème de Gelfand
pour le classique Problème de Gelfand en dimension 1, ou bien pour (A.21), on observe exactement deux branches de solutions (voir Figure A.3 et A.2). Cependant un nouveau phénomène apparaît : si Ω est plus long que la longueur critiqueπ, alors la seconde branche de solution cesse d’exister pourλen dessous d’un certain seuil.
Fig.A.2 – Courbure Moyenne=λeu, |Ω|< π, par Pan [Pan09]
Fig.A.3 – Courbure Moyenne=λeu, |Ω|> π, par Pan [Pan09]
Dans ce Chapitre 2, on va étudier le problème (A.18) en dimensionn≥2. On supposera H strictement positif sur Ω (H étant Lipschitz dans Ω) et H satisfaisant des conditions suffisantes d’existence de solution au problème (A.18) pourλ= 0. En résumé, on montre (voir ThéorèmeA.2.2et ThéorèmeA.2.3), partant de l’unique solution àλ= 0, l’existence d’une branche de solutions minimales pour λ ∈ [0, λ∗] qui s’arrête à λ = λ∗ (remarquer cependant que, contrairement au cas du Problème de Gelfand en dimension plus grande
