Correction de l’examen de Physique statistique du 17 mai 2021

Christophe Texier

L3 et Magist` ere de physique fondamentale, DLMP & ENS-PSay

Correction de l’examen de Physique statistique du 17 mai 2021

cf. cours 4/ − _∂T ^∂J = _∂T ^∂

k

T ln Ξ

= k

ln Ξ−k

T _∂T ^∂ ln Ξ = k

ln Ξ+k

β _∂β ^∂ ln Ξ = k

ln Ξ−k

β E − µN ^g =

E

−µN

−J

T = S ^g . Qed.

Attention : ´ ecrire S et T sont conjugu´ ees donc S = − _∂T ^∂J est une d´ emo de thermo, pas de phystat.

2 Capacit´ e calorifique du soleil et sa stabilit´ e

1/ Convertissons la temp´ erature de cœur, T coeur = 15 × 10 ⁶ K, en eV : k

T coeur = 1.38 × 10 ⁻²³ × 1.5 × 10 ⁷ /(1.6 × 10 ⁻¹⁹ ) ≈ 1.3 keV, ce qui est petit devant m _e c ² = 511 keV, et encore plus devant m _p c ² = 938 MeV. Ni les protons ni mˆ eme les ´ electrons ne sont dans un r´ egime relativiste puisque ε cin ∼ k

T mc ² .

2/ On peut faire les calculs dans le cadre de n’importe quel ensemble puis utiliser l’´ equivalence entre les ensembles ` a la limite thermodynamique.

3/ Dans le cadre classique, les micro´ etats sont les coordonn´ ees et les impulsions des particules

~ Γ = (~ r 1 , · · · , ~ r N ; ~ p 1 , · · · , ~ p N ). La distribution canonique est ρ ^c ( ~ Γ) = C e ^{−βH( ~ Γ)} o` u C est une normalisation (∝ 1/Z ).

4/ On ´ ecrit la moyenne

* Γ i

∂H ( ~ Γ)

∂Γ j

+

= Z

d ^6N ~ Γ ρ ^c ( ~ Γ) Γ i

∂H( ~ Γ)

∂Γ j

= − C β

Z

d ^6N ~ Γ Γ i

∂ e ^{−βH( ~ Γ)}

∂Γ j

(1) on fait une I.P.P sur Γ _j

Z +∞

−∞

dΓ j Γ i

∂ e ^{−βH( ~ Γ)}

∂Γ j

= h

Γ i e ^{−βH( ~ Γ) i Γ}

^=+∞

Γ

=−∞ − Z

dΓ j

=δ

z}|{ ∂Γ i

∂Γ j

e ^{−βH ( ~ Γ)}

En admettant que H( ~ Γ) → +∞ si Γ j → ±∞, les termes de bord s’annulent, d’o` u finalement

*

Γ _i ∂H ( ~ Γ)

∂Γ _j +

= k

T δ _i,j (2)

Appelons cette relation le th´ eor` eme d’´ equipartition g´ en´ eralis´ e. La beaut´ e de la relation est que nous n’avons fait aucune hypoth` ese suppl´ ementaire sur la forme de H (contrairement au cas du th. d’´ equipartition qui s’applique aux hamiltoniens quadratiques).

5/ Premi` ere application : Γ _i → une impulsion. D

~

p _i · ^∂H( _{∂~ p} ^{~ Γ)}

i

E

= 3k

T or ^∂H( _{∂~ p} ^{~ Γ)}

i

= _m ¹ p ~ _i . On d´ eduit P N

i=1

D

~

p _i · ^∂H( _{∂~ p} ^{~ Γ)}

i

E

= P N i=1

~ p _i ²

= 2 E _cin ^c . Le th´ eor` eme (2) nous donne donc 2 E _cin ^c =

3N k

T . Le th´ eor` eme contient le th´ eor` eme d’´ equipartition, et donc le g´ en´ eralise. Joli !

6/ Seconde application : d’apr` es l’expression de l’hamiltonien, on trouve la force exerc´ ee sur la i-` eme particule F ~ _i = − ^∂H( _{∂~ r} ^{~ Γ)}

i

= − P

j (6=i) Gm _i m _{j ||~ r} ^{~ r}

^{−~ r}

i

−~ r

||

. Petite manipulation

N

X

i=1

~

r i · F ~ i = − X

i, j (6=)

Gm i m j

~

r _i · (~ r _i − ~ r _j )

||~ r i − ~ r j || ³ = − X

i, j (6=)

Gm _i m _j

||~ r i − ~ r j || ³ 1

2 [~ r i · (~ r i − ~ r j ) + ~ r j · (~ r j − ~ r i )]

o` u la somme a ´ et´ e sym´ etris´ ee. On reconnaˆıt pr´ ecis´ ement l’´ energie potentielle

N

X

i=1

~

r _i · F ~ _i = − 1 2

X

i, j (6=)

Gm _i m _j

||~ r _i − ~ r _j || = E _G (3) C’est une propri´ et´ e li´ ee ` a la nature des forces en loi de puissance.

On moyenne

E _G ^c =

N

X

i=1

h~ r _i · F ~ _i i = −

N

X

i=1

*

~

r _i · ∂H ( ~ Γ)

∂~ r i

+

= −3N k

T (4) d’apr` es (2). Finalement on peut ´ ecrire (th´ eor` eme du viriel sous la forme donn´ ee par Clausius)

E _G ^c = −2E _cin ^c (5)

7/ On d´ eduit donc l’´ energie totale et la capacit´ e calorifique E ^c = E cin

c + E G

c = −E _cin ^c C

= ∂E ^c

∂T = − 3N k

2 < 0 (6)

8/ Dans le cours, on a vu que la positivit´ e de la capacit´ e calorifique, i.e. la convexit´ e de l’´ energie libre (ou la concavit´ e de l’entropie), est une propri´ et´ e essentielle pour justifier la stabilit´ e des ´ echanges thermiques. N´ eanmoins, ce r´ esultat repose sur la propri´ et´ e d’extensivit´ e. Or, ici l’´ energie potentielle n’est pas extensive ` a cause de la force de gravitation ` a longue port´ ee.

A premi` ` ere vue, une capacit´ e calorifique n´ egative semble bizarre... Mais nous allons voir que cela joue un rˆ ole important pour expliquer la stabilit´ e du soleil....

9/ Stabilit´ e du soleil : Dans le soleil, il y a un flux d’´ energie entrant, l’´ energie inject´ ee par les r´ eactions de fusion, caract´ eris´ ee par la puissance P _f , et un flux d’´ energie sortant, la luminosit´ e de l’´ etoile L. Le soleil est dans un ´ etat stationnaire (c’est une observation) mais donc hors de l’´ equilibre. Il doit donc y avoir parfaite compensation, _dt ^d E = P _f − L = 0. Comment cela se fait-il ?

Supposons que le cœur soit soumis ` a une fluctuation de temp´ erature δT coeur > 0, les r´ eactions de fusion sont alors favoris´ ees δP <sub>f</sub> ' α δT <sub>coeur</sub> > 0. La luminosit´ e n’a pas le temps de changer (la diffusion de l’´ energie vers les couches externes est tr` es lente). Donc une telle fluctuation conduit ` a une augmentation de l’´ energie δE ' ∆t δP f > 0, o` u ∆t est la dur´ ee pendant laquelle s’´ etablit la fluctuation de temp´ erature.

La capacit´ e calorifique est un coefficient qui caract´ erise la ”r´ eponse” de la temp´ erature ` a une variation d’´ energie : δT ' δE/C < 0. Ici il s’agit d’une r´ etroaction de la temp´ erature.

R´ esumons : une fluctuation δT > 0 augmente le taux de r´ eaction de fusion et donc l’´ energie inject´ ee δE > 0, mais en r´ eponse la temp´ erature est abaiss´ ee δT ' δE/C < 0, ce qui r´ eduit la production d’´ energie par fusion, etc. Ainsi est expliqu´ ee la stabilit´ e de l’´ etoile.

Pour en savoir plus : cf. article de R. Balian,

Pourquoi le soleil n’explose pas, ou les

bienfaits d’une chaleur sp´ ecifique n´ egative

, Reflets de la physique, vol. 10, p. 14-15 (2008),

https://doi.org/10.1051/refdp/2008015 (voir les r´ ef´ erences de cet article).

3 Interaction ferromagn´ etique versus anti-ferromagn´ etique

Consid´ erons deux spins d’Ising d´ ecrits par l’hamiltonien

H(σ 1 , σ 2 ) = −J σ ₁ σ 2 − B (σ 1 + σ 2 ) (7) A. Cas J = 0

1/ Les spins sont ind´ ependants, Z ₀ = z _spin ² = [2 ch(βB)] ²

2/ L’aimantation (l’observable) est donn´ ee par une d´ erivation par rapport au param` etre conjugu´ e, M ^c = − ^∂F _∂B = 2 th(B/T ) (je fais k

= 1).

3/ On applique la d´ efinition g´ en´ erale (χ

= ^∂M _∂B

B=0 ) au cas sans interaction. On trouve la loi de Curie χ ₀ (T ) = 2/T . La d´ ecroissance avec T traduit l’effet de l’entropie (les spins se d´ esalignent du champ en allant vers les hautes T).

B. Interaction ferromagn´ etique J > 0 1/ Il y a quatre ´ etats, d’´ energies :

E ++ = −J − 2B (le fondamental si B > 0), E −− = −J + 2B et E +− = E −+ = +J.

|++>

2

4 B 0

|+−>, |−+>

|−−>

E

J

D’o` u

Z = 2 e ^βJ ch(2βB) + 2 e ^−βJ = 2 e ^{βJ h} ch(2βB) + e ^{−2βJ i} (8) (on v´ erifie que l’on retrouve Z ₀ pour J = 0, grˆ ace ` a ch 2y + 1 = 2 ch ² y).

2/ Par sym´ etrie on a σ ₁ ^c = σ ₂ ^c = ¹ ₂ M ^c . Posons m

= ¹ ₂ M ^c , on trouve

m = sh(2βB)

ch(2βB) + e ^{−2βJ (9)}

(on retrouve m = th(βB) si J = 0 ; Ok).

3/ On d´ eduit facilement la susceptibilit´ e (faire un d.l. pour B → 0) χ = χ 0

2

1 + e ^{−2βJ (10)}

• Dans la limite de haute temp´ erature, T J, l’interaction ne joue que peu de rˆ ole, χ ' χ ₀

• Dans la limite de basse temp´ erature, T J, on a χ ' 2χ ₀ , la r´ eponse au champ est augment´ ee (l’aimantation M ^c ' χB est plus grande ` a J > 0 que ` a J = 0).

4/ ´ Etudions la corr´ elation C

= σ 1 σ 2 c − σ 1 c × σ 2 c .

a ) Dans ”l’´ etat paramagn´ etique”, les spins sont ind´ ependants, donc C = 0.

b) Z (B) est une fonction paire de B (comme l’´ energie), donc m(B) est une fonction impaire et m = 0 si B = 0 (sauf s’il y a une transition de phase... mais pas avec deux spins !).

c) ` A B = 0 on a donc m = σ ₁ ^c = σ ₂ ^c = 0 (donc l’aimantation n’est pas une ”bonne”

observable). Si les spins sont align´ es (corr´ elation Ferro), on a C = σ ₁ σ ₂ ^c > 0.

Si les spins sont anti-align´ es (corr´ elation Anti-Ferro), C = σ 1 σ 2 c < 0

5/ Le poids canonique est P ^c (σ ₁ , σ ₂ ) ∝ e ^−βH ∝ e ^{βJ σ}

^σ

, d’o` u σ 1 σ 2 c = 1

β

∂

∂J ln Z = − ∂F

∂J (11)

(pour la mˆ eme raison que M ^c = σ ₁ + σ ₂ ^c = − ^∂F _∂B car P ^c (σ ₁ , σ ₂ ) ∝ e ^βB(σ

^+σ

⁾ ) 6/ La d´ erivation de ln Z donne

σ ₁ σ ₂ ^c = e ^βJ ch(2βB) − e ^−βJ

e ^βJ ch(2βB) + e ^{−βJ (12)}

on retranche m ²

C = 1 − e ^−4βJ

[ch(2βB) + e ^−2βJ ] ² (13)

(si J = 0 on a bien C = 0).

7/ Consid´ erons le r´ egime de forte interaction (Ferro), i.e. βJ 1 : on obtient C ' 1/ ch ² (2βB).

Soit le champ est nul, et les corr´ elations sont de nature Ferro C = +1, soit β|B | 1 et les corr´ elations disparaissent C 1.

C’est en fait un peu trompeur, d’apr` es le spectre, l’´ etat fondamental est E ++ (si B > 0) caract´ erisant un ”´ etat Ferro”... (cf. remarque finale)

C. Interaction anti-ferromagn´ etique J < 0 : Le sch´ ema des niveaux d’´ energie est maintenant

|J| 0

|−−>

|++>

E

2

|+−>, |−+>

4 B ^{ou `} a fort champ :

E

0

|J|

|−−>

|++>

|+−>, |−+>

4 B 2

1/ On peut tout simplement reprendre les expressions pr´ ec´ edentes en faisant J = −K < 0.

m = sh(2βB)

ch(2βB) + e ^{+2βK et C =}

1 − e ^+4βK [ch(2βB) + e ^+2βK ] ²

2/ ` A basse temp´ erature (β|B| 1 et βK 1), on peut ´ ecrire ch(2βB) ' | sh(2βB)| '

1 2 e ^2β|B| .

(a) |B| > K, alors m ' sign(B ) et C ' 0 (le champ domine l’interaction Anti-Ferro) (c) |B| < K , on trouve m ' 0 et C ' −1 (l’interaction Anti-Ferro domine). La transition entre (c) et (a) correspond au passage du fondamental de E ±∓ ` a bas champ ` a E ±± ` a fort champ (cf. diagrammes).

(b) Sur la ligne de transition entre les deux comportements, |B | = K, on trouve m ' 1

3 sign(B ) et C ' − 4

9 (14)

[hybride entre (a) et (c)].

L’explication du m = ±1/3 est simple : la transition ` a |B| = |J | correspond au croisement

de niveaux (cf. sch´ emas). Il y a trois ´ etats d´ eg´ en´ er´ es | +− i, | − + i, | + + i (pour B > 0) ;

ils sont tous ´ equiprobables mais un seul porte une aimantation (le dernier).

D. Conclusion : Dessinons un ”diagramme de phases” dans le plan (B, J) pour caract´ eriser l’´ etat ` a T → 0. Si on base notre crit` ere sur C , on a

B

=0

=0 =0

J

=+1 =0

=−1

Il pourrait sembler que les corr´ elations Ferro n’existent que sur la ligne B = 0.

Mais comme on l’a remarqu´ e, le cas de l’interaction Ferro est un peu trompeur : mˆ eme ` a B 6= 0, l’´ etat fondamental d’´ energie E ++ est de type ”Ferro” ; on a C ' 0 car σ 1 = σ 2 = 1 (pour B > 0) ne fluctue pas ! Il est plus judicieux de dessiner le diagramme suivant, o` u l’on repr´ esente l’´ etat fondamental dans les diff´ erentes r´ egions :

B J

PARA PARA

|+−> ou |−+>

|−−> |++>

|++>

|−−>

Remarque : corr´ elations et ind´ ependance Cet exemple montre que

”spins ind´ ependants” ⇒ C = 0, mais la r´ eciproque n’est pas toujours vraie

pour une paire de variables al´ eatoires ! Dans ”l’´ etat Ferro” ` a B 6= 0, on a C = 0 pour une raison

triviale, car σ ₁ = σ ₂ = sign(B), mais les spins ne sont pas ind´ ependants (ils valent la mˆ eme

chose).