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LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS
Michel Hénon
To cite this version:
Michel Hénon. LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLAS- MAS. Journal de Physique Colloques, 1969, 30 (C3), pp.C3-27-C3-41. �10.1051/jphyscol:1969307�.
�jpa-00213684�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, supplémeat au f i 0 11-12, Tome 30, Nov.-Déc. 1969, page C 3
-
27LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS
Par Michel HÉNON Observatoire de Nice
Résumé. - Une similarifé formelle existe entre un système stellaire et un plasma totalement ionisé : dans les deux cas, la force entre (( particules » est en llvz. On peut établir une correspondance détaillée entre les concepts, les grandeurs et les équations utilisés dans les deux domaines. Il en est résulté, au cours des années récentes, un fructueux échange de résultats théoriques el de méthodes de calcul.
Ce dernier point est illustré par la présentation d'expériences numériques portant sur des sys- tèmes dits K à une dimension )) (systèmes de plans parallèles ou de sphères concentriques) et (( à deux dimensions )) (systèmes de droites parallèles).
Abstract. - A forma1 similarity exists between a stellar system and a fully ionized plasma : in both cases, the force between the <( particules )) is proportional to
Il+.
A detailedcorrespondence can be set up between the concepts, quantities and equations used in both fields. This has led during recent years to a fruitful exchange of theoretical results and computational schemes.This last point is illustrated by some numerical experiments for K one-dimensional » systems (parallel planes or concentric spheres) and (( two-dimensional )) systems (parallel rods).
Cet exposé n'est pas une revue de l'ensemble du sujet, mais simplement une illustration de quelques développements récents.
Le problème des N corps est classique en astronomie, et peut se formuler comme suit : trouver le mouvement de N points matériels qui s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Il a été posé, à l'origine, à propos du système solaire, et l'étude de ce cas a conduit au développement d'une branche de l'astronomie appelée mécanique céleste. N est alors petit, de l'ordre de 10 au plus.
Plus récemment, et principalement au cours des 50 dernières années, on a découvert et étudié les sys- tèmes stellaires : amas ouverts, amas globulaires, galaxies, dans lesquels N va de
IO3
à 1012. L'étude de ces systèmes constitue la dynamique stellaire. En raison de la grande valeur de N, et aussi parce que les observations sont beaucoup moins précises que dans le cas du système solaire, il n'est plus possible de suivre exactement l'orbite de chaque objet, et il faut recourir à une description statistique du système. Ainsi, bien que le problème soit formellement le même, les buts et les méthodes de la dynamique stellaire diffè- rent profondément de ceux de la mécanique céleste, et les deux domaines ont peu de points communs.Dans le présent exposé, seule la dynamique stellaire sera considérée.
Au début de ce siècle, de grands espoirs furent fondés sur un rapprochement entre la dynamique stel- laire, science naissante, et la théorie cinétique des gaz qui venait de remporter de brillants succès. Un sys- tème stellaire était ainsi considéré comme un ((gaz d'étoiles
».
Mais il devint clair peu à peu que cette comparaison n'était pas valable, et que la physique d'un système stellaire diffère fondamentalement de celle d'un gaz. En effet, la force entre particules dans un gaz est à court rayon d'action : chaque molécule n'interagit qu'avec ses plus proches voisines, ce qui permet de postuler un équilibre thermodynamique local, de définir une température, d'écrire une équation d'état, etc. Dans un système stellaire, au contraire, la force est en l / r 2 et décroît beaucoup plus lentement avec la distance ; il s'ensuit que chaque étoile doit être considérée comme étant en interaction permanente avec toutes les autres étoiles du système, et qu'il n'est pas possible de considérer isolément l'évolution d'une petite région.La «bonne D comparaison a enfin été trouvée à l'occasion du développement récent de la physique des plasmas. En effet, dans un plasma totalement
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1969307
C 3 - 2 8 MICHEL HÉNON
ionisé, la force électrostatique entre particules est en l/r2. 11 y a donc une analogie formelle étroite entre un système stellaire et un plasma, et tout résultat théori- que obtenu dans un cas peut aisément être transposé dans l'autre. De même, les méthodes d'étude numé- rique sont souvent communes. Un fructueux échange s'est ainsi développé, particulièrement au cours des années récentes [l, 21.
Cependant une différence importante existe entre les deux cas. Dans un plasma, les ions peuvent en bonne approximation être considérés comme immo- biles, et seul est à étudier le mouvement des électrons.
La force entre particules est donc répulsive, alors que dans le cas d'un système stellaire elle est attractive (Tableau 1). Cette différence a des conséquences pra- tiques importantes. Par exemple, si on cherche com- ment évolue une petite perturbation collective dans
Correspondance entre dynamique stellaire et phy- sique des plasmas.
système stellaire plasma
étoiles électrons
Gmm' eZ
force : - ---
r
+7
instabilité gravitationnelle oscillations de plasma distance de Jeans longueur de Debye
( E dimension du système) (< dimensions du système) temps de croisement t, période de plasma
équation de Boltzmann- équation de Vlasov Liouville
mélange dynamique amortissement de Landau relaxation
temps de relaxation t, équation de Fokker-Planck
un système homogène, par la technique habituelle : linéarisation et recherche des modes propres, évoluant en ePt, on trouve, dans le cas d'un plasma et pour les grandes longueurs d'onde, que p est imaginaire et tend vers une valeur déterminée : p = iw, avec o réel.
Donc le plasma oscille. Au contraire, dans un système stellaire, p est réel pour les longueurs d'onde supérieu- res à une distance critique
A,,
appelée distance de Jeans. Par suite, un système stellaire dont les dimen- sions sont supérieures à AJ est instable et se frag- mente : c'est l'instabilité gravitationnelle. Les systèmes réels doivent donc avoir des dimensions inférieures ou égales à5.
En fait, on démontre (théorème du viriel) qu'un système stellaire isolé s'ajuste automatiquement de manière que ses dimensions soient de l'ordre de ladistance de Jeans. Au contraire, dans le cas d'un plasma, la grandeur correspondante, dite longueur de Debye, est sans rapport avec les dimensions d u sys- tème, et est généralement beaucoup plus petite.
L'échelle de temps de ces mouvements collectifs est llp ; dans le cas des systèmes stellaires, on l'appelle aussi temps de croisement, t,, car c'est à peu près le temps que met une étoile de vitesse moyenne pour traverser le système.
Pour décrire le système, on introduit une fonction de distribution f (r, Y, t) : f dr dv est par définition la masse contenue dans l'élément de volume dr dv de l'espace des phases. On en déduit la densité spatiale p :
p =
S
f d v .A ce propos, une autre différence importante est que les plasmas peuvent dans la plupart des cas être considérés comme homogènes : p est constant et f = f (v, t). Au contraire, les systèmes stellaires sont extrêmement inhomogènes : la densité va d'une valeur très élevée au centre à des valeurs très faibles dans les régions extérieures. Il est donc impossible d'éliminer les variables d'espace.
Le potentiel gravitationnel U est obtenu par l'équa- tion de Poisson :
Dans le cas d'un plasma, il convient d'ajouter un terme constant représentant le « fond continu » créé par les ions.
L'évolution du système est donnée par l'équation de Boltzmann-Liouville :
cette équation a été redécouverte en physique des plasmas et appelée équation de Vlasov.
Comme on le verra ci-dessous, les mouvements collectifs tendent à s'amortir avec le temps, et le système atteint finalement un état stationnaire, caractérisé par v a t = O. Le processus qui mène à cet état est appelé mélange dynamique en astronomie, amortissement de Landau en physique des plasmas.
Cependant la fonction de distribution
f,
fonction continue des variables, ne correspond pas tout à fait à la réalité, puisque le système est constitué de points discrets et non d'une distribution continue de matière.Il s'ensuit que l'équation de Boltzmann-Liouville écrite ci-dessus n'est pas tout à fait exacte, et qu'un
« état stationnaire » n'est pas tout à fait stationnaire : il évolue lentement au cours du temps, dans une
LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS C 3 - 2 9 direction déterminée. Ce phénomène est appelé
relaxation, et l'échelle de temps correspondante est le ternps de relaxation t,. Les phénomènes de relaxation font intervenir le carré du coefficient de la force ; par suite, la différence de signe disparaît, et la relaxation a exactement les mêmes effets dans un système stellaire et dans un plasma.
On démontre que : t
,
- ? N t, 2 n L o g N '
où N est le nombre d'étoiles dans un système stellaire,
ou le nombre d'électrons à l'intérieur d'une sphère de Debye dans un plasma. N étant habituellement très grand dans un cas comme dans l'autre, la relaxation est beaucoup plus lente que les mouvements collectifs, et peut être négligée lorsqu'on étudie ceux-ci ; c'est ce que nous ferons ici.
Les mouvements collectifs peuvent être étudiés soit par résolution analytique des équations fonda- mentales pour
f;
p, U , dans certains cas simples ; soit par intégration numérique de ces mêmes équations ; soit par une méthode plus directe, appelée simulation ou encore expériences numériques, qui consiste àFIG. 1. - Représentation dans le plan des phases de l'évolution d'un système auto-gravitant de 2000 plans parallèles. Chaque cadre correspond à un instant donné, indiqué en bas à gauche. En abscisse : position. En ordonnée : vitesse. (Les figures 1 à 6 sont tuées de : Hohl F., 1968, N. A. S. A. Technical Report TR R-289, avec l'aimable autorisation de l'auteur.)
C 3 - 3 0 MICHE L calculer exactement l'évolution d'un système imagi- naire composé d'un nombre fini de corps. Je me bor- nerai à décrire cette dernière méthode, qui a connu un développement très rapide au cours des dernières années.
Il est naturel de considérer d'abord les systèmes les plus simples, et beaucoup de travaux ont été consacrés aux systèmes stratijîés (dits aussi à une dimension, mais ce nom peut prêter à confusion). Par définition, les propriétés d'un tel système ne varient que suivant une des coordonnées d'espace, par exemple x, et sont indépendantes des deux autres, y et z :
Les équations du mouvement en x sont :
les seconds membres ne dépendent que de x et de u, composante de la vitesse suivant l'axe des x ; donc les étoiles qui ont mêmes valeurs de x et u à l'instant ini- tial ont mêmes valeurs de x et u à tout instant. Cela suggère de grouper ces étoiles et de les considérer comme un objet unique, qu'on appellera superétoile (ou superparticule pour un plasma). Une superétoile est donc un plan parallèle à yOz, d'abscisse x, se déplaçant le long de l'axe des x avec une vitesse u. Le système total est conçu comme un ensemble de super- étoiles, c'est-à-dire un ensemble de plans parallèles, chacun étant spécifié par une abscisse x et une vitesse u à un instant déterminé. Ces plans peuvent se croiser, c'est-à-dire passer les uns à travers les autres, puisqu'ils sont constitués d'étoiles.
Avec cette représentation, le calcul des forces est très simple ; en effet l'accélération gravitationnelle créée par un plan est indépendante de la distance et
x Suite.
LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS C 3 - 3 1 vaut : 2 zGo, où o est la masse par unité de surface
du plan, et le signe est
+
ou-
suivant que l'on est d'un côté ou de l'autre d u plan. Donc si I'on suppose pour simplifier que tous les plans ont même densité o (on peut montrer que ceci ne restreint pas la généralité), il suffit de les classer par ordre des x croissants : si le nombre total des plans est n, l'accélération du plan de rang k sera : 2 zGo(n+
1 - 2 k).D'autre part, chaque plan peut être représenté par un point dans un espace des phases réduit à deux dimensions (x, u). L'ensemble du système est alors représenté par un nuage de points dans le plan des phases ( x , u), et l'évolution de ce nuage au cours du temps donne une description complète de l'évolution du système.
En astronomie, les systèmes stratifiés peuvent repré- senter la structure de la Galaxie au voisinage du Soleil ;
en effet, en première approximation, les propriétés locales de la Galaxie peuvent être considérées comme constantes dans le plan de la Galaxie et variant seule- ment dans la direction perpendiculaire. En physique, les systèmes stratifiés peuvent décrire des dispositifs expérimentaux où les conditions imposées au plasma ne varient que suivant une direction.
Les figures 1 à 3, tirées de 131, montrent un exemple d'évolution d'un système de 2 000 superétoiles dans le plan des phases. Chaque cadre représente le système à un instant donné, indiqué en bas à gauche. Initiale- ment, les coordonnées des points ont été choisies au hasard à l'intérieur d'un rectangle. Chaque superétoile oscille autour du centre du systime, ce qui se traduit par une rotation rétrograde du point représentatif dans le plan des phases. L'ensemble du nuage tourne ainsi e i se déforme en même temps, car la période
FIG. 3.
-
Suite.C 3 - 3 2 MICHEL HÉNON
d70scilIation n'est pas la même pour toutes les super- étoiles, mais croît avec l'amplitude du mouvement. Il en résulte des filaments de plus en plus allongés. La partie centrale du système finit par prendre une forme indépendante du temps, c'est-à-dire un état station- naire. Cet état est d'ailleurs en bon accord avec une prédiction théorique, représentée par la ligne ovale sur les deux derniers cadres. Dans la région extérieure, les filaments s'enroulent de plus en plus, et un calcul plus long conduirait là aussi à I'établissernent d'un équilibre stationnaire.
Les figures 4 à 6, également tirées de [3], montrent un autre cas, où les dimensions initiales du système sont supérieures à la distance de Jeans. Le système est instable et se fragmente en trois condensations, qui évoluent séparément. Ultérieurement, deux de ces condensations se recombinent, et il est probabl'e qu'en
poursuivant le calcul assez longtemps on obtiendrait finalement une condensation unique en état station- naire.
11 est intéressant d'observer sur ces figures la conser- vation de la densité, qui est une conséquence bien connue de l'équation de Boltzmann-Liouville : la densité des points dans l'espace des phases est cons- tante si on suit le mouvement d'une particule. Dans les cas ci-dessus, la densité était initialement égale à une certaine valeur y à l'intérieur d'un contour rectan- gulaire, et nulle à l'extérieur. Donc à tout instant ultérieur, la densité doit encore être égale à y àl'inté- rieur d'un certain contour, résultant de la déformation du rectangle, et nulle à l'extérieur. Cela se voit parti- culièrement bien sur les figures 1 à 3. Le contour se comporte comme une outre, et les points intérieurs comme un fluide incompressible.
X X
FIG. 4. - Cas où le système est initialement instable.
LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS
Cette observation a conduit au développement d'une autre technique pour étudier le même pro- blème [4] : au lieu de calculer le mouvement de chaque point, on calcule simplement le mouvement du contour, ce qui est beaucoup plus rapide. Plus généralement, cette technique peut être utilisée pour tout modèle constitué initialement d'un certain nombre de zones, la densité ayant une valeur déterminée dans chaque zone ; on suivra alors le mouvement de plusieurs contours.
A titre d'exemple, les figures 7 et 8, tirées de 141, montrent l'évolution d'un plasma calculée par cette méthode. Le but de l'expérience était d'étudier 1' « ins- tabilité de faisceaux ». Dans l'état initial (non repré- senté), la densité des points est égale à 1 pour
- 1 < u < - 3 e t p o u r + < u < 1 ,
. Suite.
et nulle ailleurs. Le système est donc infini et homo- gène, et constitué de deux faisceaux d'électrons de sens opposés. Une légère perturbation périodique en x a été ajoutée, afin de déclencher l'instabilité. Les figures 7 et 8 montrent l'évolution dans le plan des phases ; x est en abscisses, et chaque bande horizon- tale représente le système à un instant donné. La zone hachurée correspond à une densité nulle ; les zones blanches, à une densité égale à 1. On observe le déve- loppement de l'instabilité. Il s'agit ici d'un plasma, où la force entre particules est répulsive ; mais on peut noter le fait curieux que les «trous », c'est-à-dire les zones vides d'électrons, représentées en hachures, s'attirent mutuellement. Inversement, des trous dans une distribution d'étoiles se repousseraient. Il y a ici une intéressante complémentarité entre plasma et
C 3 - 3 4 MICHEL HÉNON
X
FIG. 6 .
-
Suite.système stellaire : on passe d'un cas à l'autre en échan- geant les zones vides et les zones pleines. Cette notion aide beaucoup à comprendre le comportement des systèmes.
On remarque aussi que les contours deviennent de plus en plus compliqués, et forment des filaments qui s'enlacent de manière inextricable. Cela rend difficile l'utilisation de la technique au-delà d'un certain point.
En dehors des systèmes stratifiés, un autre cas simple est constitué par les systèmes à symétrie sphé- rique. La « superétoile » est alors une sphère, et le système est conçu comme un ensemble de sphères concentriques. Chaque sphère a un certain rayon r, se dilate ou se contracte avec une vitesse radiale r, et les étoiles se déplacent sur la surface de la sphère, dans toutes les directions, avec une vitesse déterminée. Là
encore, le calcul des forces est très simple ; et là encore, le système peut être représenté par un nuage de points dans un plan (r,
r').
De tels modèles sont utiles en astro- nomie pour l'étude des systèmes stellaires sphériques.Les figures 9 à I l , tirées de [ 5 ] , montrent un exemple d'évolution d'un tel modèle. Les oscillations radiales des sphères se traduisent encore par des rotations des points dans le plan (r, ;) ; r est en abscisse. On aboutit finalement à un état stationnaire (Fig. 11, en bas à droite). En principe, la densité est encore égale soit à y, soit à O ; mais le contour se compose maintenant de filaments très nombreux et très minces (cf. Fig. 8), et en pratique on observe une nouvelle densité, obtenue en faisant localenient la moyenne entre les filaments pleins et les espaces vides. Cette nouvelle densité peut donc avoir des valeurs quelconques entre O et y.
LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS C 3 - 3 5
FIG. 7.
-
Représentation dans le plan des phases de l'évolution d'un plasma, calculée par la méthode des contours. (Les figures 7 et 8 sont tirées de : Roberts K. V., Berk H. L., 1967, N. A. S. A.SP-153, avec l'aimable autorisation des auteurs.)
FIG. 8.
-
Suite.FIG. 12. - Etat final du système, et conlparaison avec la théorie de Lynden-Bell. En abscisse : énergie E . En ordonnée : y = Log fl(r - F), où q est la densité initiale (constante) et
Fest la densité finale.
Lynden-Bell [6] a donné une théorie qui prédit la forme suivante :
où
F
est la nouvelle densité, E est l'énergie d'une étoile, etp
et ,u sont deux constantes. Sur la figure 12, on aFIG. 13. - Evolution de la structure spatiale d'un système de 1000 couches sphériques. En abscisse : temps. En ordonnée : rayon. Les courbes représentent les rayons des sphères contenant
1/10, 2/10,
...,
10/10 de la masse totale.FIG. 9.
-
Représentation dans le plan des phases de l'évolution d'un système auto-gravitant de 1000 couches sphériques concentriques. En abscisse : rayon. En ordonnée : vitesse radiale.LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS ~ 3 - 3 7
FIG. 10.
-
Suite.MICHEL HÉNON
FIG. I l .
-
Suite.LE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET EN PHYSIQUE DES PLASMAS C 3 - 3 9 porté y = Log
- F en fonction de 6 ; la relation
v - F
devrait être linéaire. On observe en fait une relation linéaire pour toutes les étoiles d'énergie inférieure à
-
0,55, ce qui correspond à 77%
de la masse totale du système. Les 23%
restants n'obéissent pas à la relation théorique ; ils correspondent aux régions extérieures du système.La figure 13 montre l'évolution du système d'une autre manière : chaque courbe représente, en fonction du temps, le rayon d'une sphère contenant une frac- tion déterminée de la masse totale. On observe une contraction initiale d'ensemble du système, suivie d'une expansion ; puis les mouvements collectifs s'amortissent rapidement et on aboutit à un état stationnaire : les courbes deviennent des lignes hori- zontales, perturbées seulement par de petites fluctua- tions statistiques.
Après les systèmes stratifiés ou sphériques, on est amené à considérer le cas plus difficile des systèmes cylindriques, où la fonction de distribution dépend de deux coordonnées : f =
f
(x, y, v , t ) . Les superparti- cules sont alors des droites parallèles à l'axe des z.La force d'attraction d'une telle droite est propor- tionnelle à llr.
Un film [7] montre l'évolution de systèmes composés de 2 000 droites, avec des conditions initiales variées.
II faut enfin mentionner les calculs exacts, où l'on calcule les mouvements des étoiles elles-mêmes. Ces recherches sortent du cadre du présent exposé ; elles sont décrites en détail dans [2].
Bibliographie
[l] Symposium on computer simulation of plasma and many-body problems. Williamsburg, Virginia (U. S. A.), April 19-21, 1967. N. A. S. A. SP-153.
Available from C. F. S. T. I., Springfield, Virginia 22 151, U. S. A.
[2] Colloque sur le problème des N corps. Paris, 16- 18 août 1967. Bulletin astronomique (3) 3, fas- cicules 1 et 2, 1968 : Publication du Centre National de la Recherche Scientifique.
[3] HOHL (F.), 1967, Thesis, College of William and Mary, Williamsburg, Virginia ; voir aussi : HOHL (F.), FEIX (M. R.), Astrophys. J., 1967, 147, 1164 ; HOHL (F.), N. A. S. A., Technical Report TR R-289, 1968.
[4] ROBERTS (K. V.), BERK (H. L.), 1967, référence [Il ; 91. ; voir aussi : Phys. Rev. Letters, 1967, 19, 297.
[5] HENON (M.), 1968, référence [2], 241.
[6] LYNDEN-BELL (D.), Monthly Notices, Roy. Astr. Soc., 1967, 136, 101.
[7] HOCKNEY (R. W.), Astrophys. J., 1967, 150, 797.
[8] HUNTER (C.), TOOMRE (A.), Astrophys. J., 1969, 155, 747.
[9] AVNER (E. S.), KING (1. R.), Astron. J., 1967,72, 650.
[IO] GILBERT (1. H.), Astrophys. J., 1968, 152, 1043.
[Il] AARSETH (S.), référence [2], 1968, 105.
[12] LINDBLAD (P. O.), Bulletin astronomique, 1967, 2, 107.
DISCUSSION
JANCOVICI. - Pourquoi est-il plus facile de traiter des droites parallèles que des points dans un plan ? Il suffit de changer la loi de force de l l r en l / r 2 c'est toujours un problème plan de toute façon.
HENON.
-
La partie la plus longue du calcul est en général la résolution de l'équation de Poisson, pour obtenir les forces. Dans le cas des droites paral- lèles, cette équation a deux dimensions ; dans le cas des points dans un plan, elle a trois dimensions, et il n'est pas possible de la réduire à deux ; d'où un calcul plus difficile.SCHATZMAN.
-
On n'a pas eu l'idée de faire ce que Lindblad faisait il y a 30 ans, c'est-à-dire de mettre une légère force de marée en plus ? Parce que si tu regardes certains des travaux de Lindblad, la présence d'une force de marée est décisive pour stimuler la formation des bras spiraux (une force de marée, c'est-à-dire un objet situé très loin et qui perturbe légèrement une galaxie déterminée).HENON.
-
Dans le cas de la Galaxie, les seuls objets extérieurs qui pourraient avoir un effet appré- ciable sont les nuages de Magellan. On a calculé leur effet [8, 91 ; apparemment ils peuvent être respon- sables de la courbure du plan de la Galaxie, mais pas de la formation des bras spiraux.BONDI.
-
1 am a little worried about these attempts at identifications with spiral features. In some stellar systems, the stars that we can see give us a good picture of the actual density distribution of matter ; the globular clusters or elliptical galaxies are very good examples. But spiral galaxies are the worst pos- sible examples. It is the fact that massive stars radiate very much more than the small stars-
and Schatzman knows very more abolit this than 1 do-
but my impression is that in al1 these cases where the spiral structure has been thoroughly investigated, it has turned out to be a n extremely important structure as far as the most luminous stars are concerned, and as far as the dust and gas is concerned, but not as far as mass distribution is concerned. So 1 don't think myself that for just the spiral galaxies this is a goodC 3 - 4 0 MICHEL HÉNON attack. It is an excellent attack for globular clusters
and for elliptical galaxies.
HENON.
-
Je suis entièrement d'accord avec vous.LÉvY-LEBLOND.
-
A propos de la théorie de Lynden- Bell, si j'ai bien compris, il nous explique que dans un amas stellaire les étoiles se comportent en gros comme des particules distinguables qui obéiraient à un prin- cipe d'exclusion, ce qui fait une quatrième statistique : la statistique de Boltzmann pour les particules distin- guables sans principe d'exclusion, les deux statistiques quantiques et cette quatrième statistique de Lynden- Bell. Ma question est la suivante : quand tu as le principe d'exclusion on peut le formuler en termes heuristiques de la façon suivante : on peut dire que tu n'as pas le droit de mettre plus de deux objets dans une même cellule d'espace de phase de volume h3 dans les statistiques quantiques (enfin dans les statis- tiques de Fermi). Alors dans le cas présent qu'est-ce qui détermine le volume de la cellule de base de l'espace de phase ? Quelles sont les caractéristiques physiques du système qui déterminent ce volume ?HENON. - On ne peut pas définir un équivalent du volume h3 dans le cas de Lynden-Bell car il considère une distribution F continue et non une collection de particules. Mais on peut aussi formuler le principe d'ex- clusion classique en se référant non pas à un volume, mais à une densité : la densité dans l'espace des phases ne doit pas être supérieure à une certaine valeur. De ce point de vue l'analogie est simple : dans le cas de Lynden-Bell, la densité qui ne peut pas être dépassée est la densité initiale q.
REEVES. -Je crois que ça vient du fait qu'au départ il se donne arbitrairement une cellule et qu'en- suite il spécule sur le fait que Ia densité ne peut pas croître, donc, pour répondre à ta question, le h3 de la physique, c'est ce que Lynden-Bell prend au début comme dimension des cellules initiales ; n'est-ce pas ça ? Ça n'a pas d'autre portée physique que l'hypo- thèse sur la densité initiale ?
GODART. -Il y a de surcroît une autre différence entre plasmas et système d'étoiles, c'est l'effet dû aux autres ions sur les électrons si bien que le potentiel réel n'est pas en I/r mais un potentiel de Yukawa en e-"Ir. Le potentiel sur les électrons est un effet des autres ions : l'effet d'écran, ce qui fait que le calcul des rencontres est différent ; l'intégrale n'est plus divergente. Dans le cas des étoiles il n'y a pas d'ions, il n'y a que des électrons. Cela doit changer. Le potentiel n'est pas en e/r mais elr x exp(- rlh), où h est la distance d'écran, ce qui change les effets de rencontres.
HAKIM.
-
Dans le cas d'un plasma on a effective- ment e-"Ir et si on fait le calcul du potentiel effectif analogue dans le cas du plasma gravitationnel oncos Âr
trouve un --- (à une constante additive près) ce qui r
est assez bizarre. Est-ce qu'il y a une explication à ce genre de question ?
JANCOVICI.
-
L'effet d'écran est dû essentiellement au fait qu'il y a un fond positif dans le cas des plasmas.Le fond peut être totalement inerte. Ça n'a pas d'im- portance. L'effet d'écran peut être dû purement aux électrons mais il n'est possible que parce qu'il y a derrière le fond continu positif, ce qui fait qu'un électron va repousser d'autres électrons et laisser autour de lui une charge positive et l'effet analogue ne peut pas exister me semble-t-il, dans le cas gravita- tionnel où il n'y a des porteurs que d'une seule charge.
Une étoile attirera d'autres étoiles et ça ne fera qu'aug- menter sa charge effective et non pas l'écranter.
LÉvY-LEBLOND.
-
La réponse à Rémi Hakim n'est-elle pas ce que tu as dit : que l'existence de la longueur d'onde de Jeans fait que ton système stel- laire ne sera jamais plus grand que sa longueur de Jeans. En d'autres termes, si tu as un potentiel qui est réellement cos Ârlr, ce qui va se passer c'est que le système va se condenser au voisinage de chacun des nœuds du cosinus, non ?HENON.
-
Oui, c'est cela. Ce problème a été consi- déré récemment par Gilbert [IO], qui a montré que dans un système stellaire il y a effectivement une« polarisation », qui est l'équivalent de l'effet d'écran dans un plasma.
OMNES.
-
Qu'est-ce que c'est que ce cos lrlr.Parce que je ne comprends pas comment une somme de quantités positives prut donner de tels termes.
SCHATZMAN.
-
11 y a des expériences numériques de Buneman sur les plasmas, dans lesquelles les condi- tions initiales sont par exemple des plaques positives fixes mais perméables, c'est-à-dire que les plaques négatives peuvent les traverser. On prend par exemple 1 000 plaques positives fixes, mille plaques négatives avec positions initiales aléatoires et on les laisse-
mais de façon à ce que la densité moyenne de charge totale soit nulle-
se déplacer. Ce que l'on constate, c'est que ça se mélange parfaitement bien. La longueur de Debye dans un traitement numérique comme celui-là n'apparaît pas parce que de toute façon elle est elle-même un produit des phénomènes statistiques, et on ne peut pas prendre a priori un potentiel de Debye pour décrire l'interaction. Ce potentiel de Debye n'intervient que lorsque l'on fait intervenirLE PROBLÈME DES N CORPS EN ASTRONOMIE ET E N PHYSIQUE DES PLASMAS C 3 - 4 1 par exemple le « cluster integral » de ler ordre :
alors là on voit apparaître la longueur de Debye avec un effet de convergence dû à l'opposition charges
+
charges -, mais ça n'apparaît pas du tout ni au point de départ de l'équation de Liouville ni même dans les traitements du modèle numérique.
JANCOVICI. - Je suis d'accord. Ça n'intervient pas par exemple dans un traitement sur ordinateur. La confusion vient peut-être de ce que dans certains cal- culs approchés les gens ont trouvé commode de ne pas tenir compte explicitement des corrélations mais de remplacer le potentiel par un potentiel effectif qui est un potentiel de Yukawa. C'est un truc de calcul approché qui vaut ce qu'il vaut et dont on peut se passer complètement dans un traitement sur ordina- teur.
LÉvY-LEBLOND.
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Qu'est-ce qui s'oppose à ce que sur ordinateur tu fasses directement l'intégration du mouvement comme les gens le font maintenant, par exemple pour les gaz. Tu te donnes un certain nombre de particules et tu intègres les équations du mouve- ment. Je suppose que c'est le fait que la force est à longue portée contrairement au cas moléculaire où tu peux te permettre de ne considérer que les molécules les plus proches.HENON.
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Cela se fait [2] ; on intègre exactement les équations du mouvement de N étoiles, dans l'es- pace à trois dimensions. Mais en effet, parce que la force est à longue portée, il faut calculer les interac- tions entre toutes les paires d'étoiles, soit environ~ ~opérations / 2 à faire à chaque pas d'intégration.
D'autre part il y a des complications : formation d'étoiles doubles très serrées, qui ralentissent encore le calcul. On ne peut donc pas atteindre de très grandes valeurs de N par cette méthode. Actuellement on atteint N = 250 [1 1
1.
CAYREL.
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Je ne me rends pas bien compte des ordres de grandeur sur le plan physique mais on sait bien que dans les galaxies il y a, à part les étoiles, deschamps magnétiques et des gaz. Ceux-ci, si on fait de la simulation, ont des forces de frottement. A l'ordina- teur c'est assez facile d'introduire une force contraire qui soit proportionnelle à la vitesse de la particule (je ne sais pas si les ordres de grandeur se correspondent) et je crois que ceci tendrait à concentrer plus les étoiles dans des amas ou dans des bras spiraux. Est-ce que ce genre de choses a été fait ?
HENON.
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Cela a été suggéré [12], mais pas fait à ma connaissance.SCHATZMAN.
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Pour revenir sur ce que disait Bondi, on semble s'être donné en général beaucoup de mal pour faire des théories dans lesquelles les bras spiraux sont des traits permanents des galaxies. Alors, c'est peut-être vrai pour les spirales barrées dans les- quelles les condensateurs semblent être effectivement des condensateurs de l'ensemble des étoiles et pas d'une espèce particulière. Mais pour les autres spirales en raison de la manifestation des bras principalement par des étoiles O et B qui ont une durée de vie courte i. e. 106 années, on aurait très envie de penser que ce qui est plus ou moins permanent c'est le gaz et non pas les étoiles et que c'est parce que les étoiles se for- ment dans ce gaz qu'elles marquent les bras spiraux mais non pas que c'est dû à la dynamique des étoiles elles-mêmes. Alors à ce moment-là c'est un problème probablement tout à fait différent parce que on a une dynamique de gaz dans un champ de gravitation donné.HENON.
