La notion de grandeur physique

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La notion de grandeur physique

Jean Louis Destouches

To cite this version:

LA NOTION DE

GRANDEUR

_PHYSIQUE

Par M. JEAN LOUIS DESTOUCHES.

Institut Henri-Poincaré.

Sommaire. 2014 Dans cette étude sont examinées les notions fondamentales sur lesquelles reposent les théories _physiques. La première partie contient les définitions de _{grandeur simple,} de grandeur dérivant d’une autre _grandeur et surtout celle de « _{grandeur complète} » et on démontre _{l’existence de telles} gran-deurs. La seconde _partie est consacrée à l’étude de la notion de loi _physique. On est amené à l’envisager sous « la forme la plus large » et sous une forme _plus restreinte en lui _adjoignant le _{« principe} de l’uti-lisation _{complète ».} Ceci _permet de préciser le lien entre les grandeurs complètes et les _grandeurs utili-sables pour faire les prévisions. On est conduit à _distinguer deux théories distinctes : celle des grandeurs physiques et celle de l’évolution. La troisième _partie constitue l’axiomatique de la théorie des _grandeurs

sous deux formes : une forme partielle (théorie abstraite des grandeurs physiques), une forme plus com-plète (théorie abstraite de la mesure des _{grandeurs physiques).}

1.

_Composition

des

grandeurs

physiques

Dans notre

_premier

travail nous avons

_supposé

l’exis-tence de

_{grandeurs complètes}

sous une forme

_qui

pou-vait

_paraître

introduire une restriction. Elle

semblait,

en

_effet,

_impliquer

la

_possibilité

de cas où il

_n’y

aurait

pas de

grandeurs complètes.

Nous allons montrer

_qu’il

n’en est rien et

_qu’il

existe de telles

_grandeurs

dans tous

les cas. De

_plus,

nous _{n’avions pas fait de distinction}

entre les

_grandeurs

_complètes

et les

_grandeurs

à

_partir

desquelles

on

_pouvait

faire des

_prévisions.

Or cette

distinction est

_{importante. Auparavant,}

_{il convient que} nous donnions

_quelques

_{définitions,}

_{grâce auxquelles}

nos raisonnements

_acquéreront

une forme

_précise.

Nous

_appellerons

mesure

_sinzl)le

une mesure dont le résultat

_s’exprime

_par un seul nombre. Un

_appareil

étant

_{macroscopique}

et toute mesure

_{s’exprimant}

_par un ou

_plusieurs

nombres associés à une

_grandeur

de

la

_{physique macroscopique,}

une

_grandeur

sera dite

simple

si sa mesure est

_simple.

De

_même,

une mesure sera dite

_compose-e

si son ré-sultat

_s’exprime

_par un ensemble de

_plusieurs

nombres et une

_grandeur

sera dite

_C011lposée

si la mesure est

composée.

Naturellement elle pourra être constituée par

plusieurs grandeurs composées.

En somme, le

maniement simultané de

_{plusieurs appareils}

conduit à définir une

_opération

de

_composition

entre les

gran-deurs. Cette

_composition

nous la

_{représenterons}

_{par le}

signe

& ;

d’une

façon

plus explicite

la

_composée

de deux

_{grandeurs A}

et B sera

_{représentée}

par .1 &-

R,

mais cette

_opération

_{n’est pas définie pour} tout

_couple

de

_grandeurs

.l et B.

_{Lorsqu’elle}

sera définie nous

dirons que les deux

grandeurs

A et B sont

_contposables

entre

_{elles ;}

_{lorsqu’elles}

ne le seront _pas, nous dirons

qu’elles

sont

_{incoriipatibles,}

on ne _{pourra pas les} me-surer simultanément. Par

_exemple

en

_mécanique

clas-sique

la

_position

et la

_quantité

de mouvement consti-tuent des

_grandeurs

_composables

tandis

_qu’en

méca-nique

quantique

elles sont

_{incompatibles...}

Deux

grandeurs

A et B

_{incompatibles}

seront

_désignées

_par Du fait

_qu’on

utilise les

_appareils

simultanément

l’opération

de

_composition

des

_grandeurs

doit satisfaire

aux deux conditions

_suivantes,

le

_signe

=

_signifiant

qu’on

a la même

_grandeur

et les

_{parenthèses signifiant}

les

_compositions

effectuées,

c’est-à-dire que l’on consi-dère la

_grandeur

_{composée :}

De

_plus

on doit admettre que les

_compositions

_pour

des

_grandeurs

ne dérivant pas les unes des autres ne

peuvent

se faire

_qu’un

nombre fini de

fois,

puisque,

d’une

_part,

l’on ne

_peut

manier

_qu’un

nombre fini

d’appareils,

et d’autre

_part,

comme nous l’avons

_admis,

un résultat

_{d’expérience}

est _{caractérisé par} un ensemble

fini de nombres. Nous verrons

_plus

_{loin le rôle que}

joue

cette _{condition pour établir} l’existence _des gran-deurs

_complètes.

Le résultat d’une mesure d’une

_{grandeur composée}

A & B sera _{par convention}

_désignée

_par si

est l’élément

_figurant

le résultat de la mesure de A et

.LBB

le résultat de la mesure de B. Cette convention d’écriture définit entre les résultats de mesures une

opération

de

_composition

~~ avec

_isomorphie

entre les

compositions

de

_grandeurs

et les

_compositions

de ré-sultats de mesures.

Si le résultat d’une mesure A est une fonction

uni-voque du résultat d’une

mesure B,

c’est-à-dire

qu’il

suffise d’effectuer _{la mesure B pour connaître les} résul-tats de la mesure A effectuée au même

_instant,

nous

dirons que la

grandeur

A dérive de la

_{grandeur B.}

Il est évident que toute

_grandeur

A

_figurant

dans une

gran-deur

_cornposée,

dérive de cette

_grandeur

_{cotîiljosée,}

ainsi B = _{A R}

_C,

_la

_grandeur

A dérive de _B,

Deux

_grandeurs

A et B _{telles que A dérive rie B} et

B dérive de A seront dites

_{équivalentes.}

Si la

_grandeur

355

A dérive de B elle est

_{f’ornposable}

avec B et la

_grandeurs

A &: B est

_équivalente

à ~3. Ceci résulte

_uniquement

de la

_possibilité

de mesures simultanées.

2. Existence de

grandeurs

complètes. -

Nous dirons

_qu’une

grandeur

A est

_{corrtlrlèle s’il n’existe pas}

de

grandeur

composable

avec A donnant une gran-deur A & ~3

_qui

ne _{soit pas}

_équivalente

à A. Dans le

cas contraire la

_grandeur

sera dite

_incomplète.

Pour savoir s’il existe ou _non, dans tous les cas, des

grandeurs complètes

nous devons examiner s’il est

possible

d’en obtenir à

_partir

d’une

_grandeur

quel-conque par

composition

avec d’autres. Soit A une

grandeur

quelconque.

Si elle est

_complète,

_{la preuve} est faite. Si elle est

_incomplète,

il existe au moins une

grandeur

B,

composable

avec A donnant une

gran-deur A &

B,

1

laquelle

est

complète

ou

incomplète,

en

ce dernier cas il existe au moins une

_grandeur

B2

com-posable

avec elle. En

_répétant

ce

_{raisonnement,}

ou bien

on arrivera à une

_grandeur

_complète,

ou

_bien,

on

pourra aller

jusqu’à rc

répétitions

sans avoir obtenu de

grandeur

complète.

Soit A &

B,

&... &

_Bn

cette

grandeur.

Si l’on admet que l’on ne

_peut

faire

_qu’un

nombre fini de

_{compositions (condition qui}

est

_remplie

d’elle-même si l’on n’a

_qu’un

nombre fini de

_grandeurs)

on est _{certain que, par la méthode que} nous venons

d’employer,

on

_arrivera,

_après

un nombre suffisant de

compositions,

à une

_grandeur

_{complète ;}

_si,

au

con-traire,

on admet que des

_compositions

_peuvent

se

pour-suivre

indéfiniment,

il n’est

_plus

_possible

de démontrer l’existence de

_{grandeurs complètes,}

d’où :

Théorèmes. 2013

Si le rion2bre de

_{comj)ositioîis}

ae grart-deurs est

_limité,

il existe des

_{grandeurs cotîiplétes.}

-La démonstration

_qui

_précède

nous montre en outre que : toute

_grandeur

A donne _{lieu par}

_{corrrposition}

à

au mozns une

_grandeur

_cornplète

dor2t A dérive.

On voit de suite que deux

grandeurs

cOJ1lplètes

sont ou

_{équivalentes}

ou

_{iiiconil)alibles.}

De même une

gran-deur A ou bien est

_{inco1npatible}

avec une

_grandeur

cornplète

B,

ou bien dérive de cette

_grandeur.

3. Prévissions et

_grandeurs

_{complètes. -}

L’exis-tence des

_grandeurs

_complètes

au sens que nous ve-nons de

_définir,

ne

_permet

_{pas de démontrer}

_qu’à

partir

de toute mesure

_complète,

on

_peut

faire des

prévisions

concernant _{l’évolution ultérieure du}

sys-tème. Mais nous allons montrer _que

_{l’hypothèse}

mi-nimum pour

pouvoir

constituer une théorie de l’évolu-tion consiste à supposer

qu’on peut

le faire pour

cer-taines

_grandeurs

_complètes.

Dans tous ces raisonne-ments le mot

_prévision

doit

_{être pris}

dans un sens très

large,

n’indiquant

nullement que l’on va

_pouvoir

donner des

_prévisions

certaines. De fait il ne

_s’agira

en

général

que de

probabilités.

La

_possibilité

de faire des

_prévisions

concernant l’évolution d’un

_système

à

_partir

de mesures

conve-nables traduit sous sa forme la

_{plus large}

l’existence

de lois

_physiques

forme

_qui

se trouve être la

_plus

essen-tielle pour constituer la

physique théorique.

En voici l’énoncé de

_façon

_{précise :}

Postulat essentiel. - EYxistence de

loishlaysiquPS

au

sens le

_{plus large:}

A

_partir

de certaines mesures il est

possible

de

_faire

des

_prévisions

concernant d’un

_systènle

déter111Ùté.

Si l’on admet que l’on

peut

faire des

_prévisions

à

partir

d’une mesure d’une

_{grandeur A ,}

on _{pourra aussi} en faire à

_partir

du résultat d’une mesure _d’une

gran-deur

composée

formée avec A et une autre

grandeur

quelconque 1-1

composable

avec A

_{puisqu’alors}

A

dé-rive de

_{A & B,}

d’une

façon

générale.

partir

d’une mesure d’une

gran-deur A on

_peut

_faire

des

_prévisions,

on

_peut

ment

_faire

les

_rraérraes,

ou de

meilleures,

à

_partiT’

de toute

_grandeur,

ou

_{incontpléte,}

dont A

Cet énoncé nous montre

_{qu’en supposant}

_que les

desquelles

on

_peut

_faire

des

prévï-sions sont

_complètes,

on ne

_fait

_pas une

J’estriction,

mais au contraire on émet une

_{hypothèse plus faible,}

puisque

toute

_grandeur

_incomplète

_par

_composition

donne issue à au moins une

_{grandeur complète}

dont

elle dérive. Nous

_{l’appellerons}

_{l’hypothèse}

niiniriiun-t.

Remarquons

qu’un

bon nombre de

_problèmes

im-portants

se ramènent à démontrer

_{qu’à partir}

de

me-sures de

_{grandeurs incomplètes}

on

_peut

faire des

prévi-sions

_partielles,

_{c’est-à-dire que}

_{l’hypothèse}

minimum

est

_{dépassée :}

_par

_exemple,

dans le

_problème

de la

re-construction à

_partir

_{d’atomes d’un corps}

macros-copique,

la _{démonstration que le}

_système

_pourra être décrit

_{partiellement}

_{par des}

_{grandeurs statistiques.}

4. Grandeurs utilisables. - Il nous faut

mainte-nant examiner si _{l’on doit supposer} ou non

_{qu’à partir}

du résultat d’une mesure de

_{n’importe quelle}

_grandeur

complète,

on

_peut

faire des

_{prévisions. Jusqu’à}

main

-tenant,

nous n’avons _{admis que le}

_postulat

essentiel

c’est donc à lui

_qu’il

faut remonter, Or il ne

_parle

_que

de « certaines mesures ». Il

_n’y

a donc

jusqu’à

main-tenant aucune _{raison pour que les résultats de toute}

grandeur

complète

appartiennent

à ces « certaines

me-sures ». D’autre

part,

avant d’effectuer une mesure on

ne

_peut

en connaître le

résultat,

donc les « certaines

mesures » ne _{doivent pas}

_dépendre

du

résultat,

mais

peuvent

seulement

_dépendre

du

_type

de ces mesures et de l’instant de la mesure. Or le

_type

se

_désigne

sous le

nom de «

_grandeur

». Voilà

_qui

nous conduit à définir

à chaque

instant l’ensemble des utilisables:

ce seront les

_types

des mesures à

_partir

_desquelles

on

peut

faire des

_prévisions.

Ce sera en vertu de

l’hypo-thèse minimum un sous-ensemble de l’ensemble des

grandeurs complètes.

Le

_postulat

essentiel

_indique

qu’il

n’est pas vide : il contient au moins une

_grandeur.

Ceci nous montre _{que la théorie que} nous

dévelop-pons se divise en deux branches : Il la théorie des

me-sures ; 2° la théorie de l’évolution. Des éléments

contraire dans la seconde ce sont les

_grandeurs

utili-sables.

Nous reviendrons

_plus

loin sur cette

_séparation.

Remarquons

qu’en

l’absence d’actions extérieures

dé-pendant

du

_temps,

il serait contraire à

_{l’homogénéité}

du

_temps

_qu’à

certains instants on

_puisse

faire des

pré-visions à

_partir

de résultats de mesure de certaines

grandeurs

pour ne

_plus

_pouvoir

les utiliser à d’autres

instants.

Donc,

dans ce _cas, l’ensemble des

_grandeurs

utilisables doit être le même à tous les instants.

Au

_contraire,

si le

_système

est soumis à des actions

extérieures,

dépendant

du

_temps,

on ne

_peut

_plus,

sans

introduire un

_{postuiat restrictif,}

_{supposer que}

l’en-semble des

_grandeurs

utilisables est

_indépendant

du

temps.

5. Le

_principe

de

l’utilisation

complète. -

Pour identifier l’ensemble des

_grandeurs

utilisables avec

l’ensemble des

_{grandeurs complètes}

il faut soit admettre

un nouveau

_postulat,

soit restreindre l’ensemble des

grandeurs complètes

à l’ensemble des

_grandeurs

utilisables : cette restriction n’est

_possible

_{que si} l’en-semble des

_grandeurs

utilisables nue

_dépend

_{pas du}

temps.

Nous allons examiner successivement ces deux

possibilités.

Pour énoncer un

_postulat

conduisant à l’identification des deux

_catégories

de

_grandeurs,

il nous faut revenir sur la notion de loi

_physique.

_{La croyance} aux lois

physiques

telle

_qu’elle

s’est manifestée dans toute

théorie

_{jusqu’à maintenant,}

ne se _{limite pas à la} forme la

_{plus large,}

elle ne _{réside pas seulement dans la}

possi-bilité de faire des

_prévisions

à

_partir

de certaines

mesures,

(et

non de

_{n’importe lesquelles exprimables}

dans le

_langage

de la

_théorie),

mais elle

_{implique qu’à}

partir

d’informations suffisantes on

_peut

_toujours

faire des

_prévisions

_{et que, si l’on} ne

_peut

en

faire,

à

_partir

de certains résultats on a

_toujours

la faculté de les

com-pléter

de telle manière que des

prévisions

soient rendues

possibles.

Ceci nous conduit à énoncer un

_postulat

auquel

nous donnerons la forme suivante :

Si le résultat d’une

mesure d’une

_{grandeur A appartenant}

à la

consi-dérée,

ne

_permet

_»as de

_faire

des

_prévisions,

il existe an

moins B

_composable

avec A telle que la mesiàre de A R B

_fournisse

un élément de

Si nous admettons ce

_principe

à

_partir

de toute

gran-deur

_complète

on

_peutfaire

des

_prévisions

et

réciproque-ment si toute

_{grandeur complète}

est une

_grandeur

utilisable ce

_principe

est satisfait. Mais il ne nous

semble pas utile en théorie

_générale

de l’évolution d’admettre ce

_postulat,

tandis que dans une théorie

plus complète

il sera

_important

soit de

_{l’accepter,}

soit de

_préciser

_quelles

sont

_parmi

ces

_{grandeurs complètes}

celles

qui

sont utilisables.

6. Classification des

_{grandeurs. -}

Examinons maintenant s’il est

_possible

de restreindre les

_grandeurs

complètes

de la théorie aux

_grandeurs

utilisables

lorsque

celles-ci sont les mêmes à tous les instants.

Dans ce cas

_{on peut laisser}

en dehors des raisonnements

les

_grandeurs

_complètes

non utilisables, car,

qu’on

les

mesure ou _non, elles ne sont _{d’aucune utilité pour faire}

des

_prévisions.

Mais il _{faut remarquer}

_{que les}

_prévisions

faites à

_partir

de mesures de

_grandeurs

utilisables

peuvent

éventuellement donner des

_{renseignements}

concernant le résultat d’une mesure d’une telle

_grandeur

non utilisable à un certain instant. Ceci montre

_qu’on

ne _{doit pas les éliminer}

_{complètement}

de la théorie : elles se

_placent

en dehors de la théorie de

l’Evolution,

mais il devra être tenu

_compte

de celles sur

_lesquelles

les

prévisions

pourront

donner des

_{probabilités}

_pour les résultats

_lorsque

l’on fera une théorie

_{plus complète}

où la liaison entre les éléments

_figurant

les

_prévisions

et les résultats

_{d’expériences}

sera

_explicitée.

En vertu d’un énoncé

_précédent

il nous suffit de nous

tenir aux

_grandeurs

_complètes

_pour ce

_qui

concerne les

prévisions :

nous _{voyons que} nous devons les diviser en

trois classes :

1° Celles à

_{partir desquelles}

on ne

_peut

rien

_prévoir

et _pour

_lesquelles

aucun élément

_de,

_prévision

ne

_peut

fournir d’indication : elles sont en dehors dela

_théorie,

on

_peut

les laisser de côté.

2° Celles à

_{partir desquelles}

on ne

_peut

rien

_prévoir,

mais au moins un élément de

_prévision

donne des indi-cations sur le résultat d’une mesure d’une de ces

gran-deurs à un certain instant au moins. Elles sont en

dehors de la théorie

_générale

de

_{l’évolution,}

mais inter-viendront dans la théorie

_{complète :}

nous leur

donne-rons le nom de

_{grandeurs semi-prévisibles,}

relativement à la théorie considérée.

3° _{Celles pour}

_lesquelles

à

_partir

des résultats d’une

mesure on

_peut

faire des

_prévisions.

Ce sont les gran-deurs utilisables.

Il suffit de se

_borner,

dans une théorie de

_{l’évolution,}

aux

_grandeurs

_complètes

utilisables ainsi que celles

_qui

en

_dérivent,

_{pour que le}

_principe

de l’utilisation

com-plète

soit satisfait de lui-même.

_Cependant,

dans les discussions

_{précédentes}

nous avons laissé un sens

_trop

indéterminé au mot «

_prévision

)}. Pour le

_préciser

il nous faut établir une classification

_plus

_poussée.

Dans

une théorie de

_{l’évolution,}

au sens de notre

_précédent

article,

faire une

_prévision

consiste à déterminer un

élément X

_(to,

t, d’un espace

(~~’)

fonction du résul-tat

_Xjj

d’une mesure d’une

_grandeur

de la classe 3° faite à

_10,

l’élément

~~

appartenant

à un ensemble

To.

Ayant

~â

et t l’élément X est _{déterminé par}

Les

_grandeurs

des classes 1° et 20 sont donc celles dont les résultats de mesure

_{n’appartiennent}

_{pas à}

l’en-semble domaine

_opérable

de

_{l’opérateur}

d’évolu-tion ’"1l. Aux résultats de ces mesures ne

_correspond

pas un élément jil Mais deux cas

_peuvent

se

_{produire :}

i

a)

le résultat ne

_permet

d’aucune manière de définir

soit un élément

’/B0,

soit un ensemble d’éléments

-,Y.o

figurant

le résultat de la mesure et

_appartenant

à

_11,,j;

b)

le résultat de la mesure

_permet

de définir avec une

357

fonction y~ les éléments d’un certain

sous-ensemble de

_E(t,,).

Dans ce cas on est ramené à

l’ana-logue

d’une mesure

_imprécise.

L’élément de

_prévision

à l’instant t ne sera _pas un

_Xo),

mais on aura une loi de

_{probabilité Z}

_(X)

telle que

Au cas où il

_n’y

aurait pas de

_grandeur

de la classe ~3~ mais

seulemen t,1° b)

ou 2°

_b)

ce ne sont

_plus

les élé-ments de

_l’espace

_(~1:)

_qui

_joueraient

le rôle d’éléments de

_prévisions

mais _{les x et il}

faudrait,

après

avoir défini une

_topologie

dans l’ensemble q

_{des Z}

faire inter-venir cet

_{espa ce (q) à la place de (ae) et nous}

retomberions

sur une loi d’évolution de la forme

_générale

avec un

opérateur

iL _{tel que}

Lorsque l’opérateur

’LU est celui d’une

_mécanique

ondulatoire,

cette _{transformation en yr} se réduit à la théorie que nous avons

_appelée

_{l’hyperquantilication.}

Ainsi ou bien l’on a des

_grandeurs

de la classe

_lob)

et

M)

et pas de 30 et au _{moyen de la transformation}

pré-cédente on les transforme en

_grandeur

de la classe

3° ;

ou bien il existe des

_grandeurs

de la classe 3° et les

grandeurs

1° et 2°

_apparaissent

comme liées à l’étude

de certaines fonctions de

_point

dans

_l’espace

_(~).

Elles

n’ont ainsi

_qu’un

rôle accessoire et nous _pouvons

remettre leur étude à

_plus

fard.

Donc,

malgré

ces

_{distinctions,}

il nous suffitde

considé-rer les

_grandeurs

de la classe

3°,

c’est-à-dire _les gran-deurs

_complètes

utilisées dans la théorie

_générale

de l’évolution. Elles nous _{amènent pour les}

_prévisions

à l’étude d’un _{certain espace (~~)} et des transformations

iL dans _{cet espace.}

Dans le cas le

_plus

_général

où des actions extérieures

quelconques dépendant

du

_temps

_peuvent

_agir

sur le

système,

rien ne dit à

_priori,

comme nous l’avons

indi-qué

plus

haut,

que l’ensemble des

grandeurs

utilisables

ne

_dépendra

_{pas du}

_temps,

si l’on _{n’admet pas le}

_principe

de l’utilisation

_complète.

En somme, ce _{n’est que dans}

le .cas d’actions extérieures

_dépendant

du

_temps

_que l’on

_peut

_envisager

_{que le}

_principe

d’utilisation

com-plète

n’est pas vérifié

lorsque

l’on a suffisamment

res-treint les

_grandeurs

de la théorie.

Mais nous _pensons au _{contraire que dans} tous les cas

il est intéressant de _{faire intervenir toutes les} gran-deurs que la théorie

permet

de mesurer,

qu’elles

soient utilisables ou non et _{que l’on aurait} tort de restreindre l’ensemble des

_grandeurs.

7. Forme abstraite de la théorie des

_grandeurs.

~-- La théorie

_physique

_que nous avons fixée dans notre

premier

article donne lieu à des théol ies

_plus

abstraites

et _{les remarques que} nous avons faites

_plus

haut nous montrent _que l’on doit considérer deux théories dis-tinctes : d’une

_part

une théorie des

_grandeurs,

d’autre

part

une théorie de l’évolution

_{proprement dite,}

d’où l’on

_{peutextraire une cinématique}

_ponctuelle

abstraite.

La théorie des

_{grandeurs peut}

être

_envisagée

sous

deux formes. L’une

_qui

n’est que

partielle

a _{pour notion}

fondamentale celle de «

_{grandeur physique}

o ; l’autre

plus

complète,

a _{pour notion fondamentale celle de}

rc mesure ».

Voici d’abord

_{l’axiomatique}

de la théorie

_partielle

des

_grandeurs

_{physiques :}

Concept : «

Grandeur

_pHysique

».

- Postulat I. Il existe _une

opération désignée

qui

pernzel

à

_partir

de

_couples

de

_grandeurs

physiques

d’obtenir une

_{grandeur physique.}

-

La gran-deur ainsi obtenue sera dite

_composée

des

_premières

-les

_{deux grandeurs}

à

_{partir desquelles}

on _{pourra former}

deux

_{grandeurs composées}

seront dites

_composables

entre

_elles,

dans le cas contraire

_{inconilialibles.}

Deux

grandeurs

A et Il

incompatibles

seront

_{représentées}

par

A ~

$.

Dans la

_composition

il ne

_s’agit

_{que de}

_grandeurs

A

et B distinctes. On

_peut

alors convenir que toute

grandeur

est

_incompatible

avec elle-même :

_A.

Une

_grandeur

_{physique qui}

ne _{pourra être considérée}

comme

_composée

de deux autres

_grandeurs

sera dite

simples.

Il en _{résulte que} toute

_grandeur

s’obtierct _par sition à

_partir

des

_{grandeurs simples.}

Il nous faut

_préciser

les

_propriétés

de

_{l’opération}

de

composition

&;

celles-ci résultent du fait que cette

opé-ration a _pour

_{signification physique}

la

_possibilité

de

mesure simultanée des deux

_grandeurs.

D’où :

Postulat 2. - Le

signe

=

_signifiant

_{l’identité des}

grandeurs, si

l’oit a

la donnée de deux de ces trois

_grandeurs

détermine la troisième. Si l’on donne A et

_B,

_{C est déterminé par}

l’égalité précédente. A

et B seront dites les

_composantes

de C. Si l’on donne A et C nous conviendrons d’écrire :

(-~1)

sera dit de A.

Si l’on donne Il et (; nous écrirons :

£1 == C & (- B).

Ce

_postulat

fait

_correspondre

à toute

_grandeur

_figurée

par un élément

A,

un élément

_(2013~i),

mais ne fait

nul-lement intervenir d’élément unité. Postulat 3. -

Propriété

d’rcssociativité :

Ceci nous autorise à

_supprimer

les

_parenthèses

et écrire

_simplement

i

A&B&C. Postulat 4. -

Il nous semble naturel d’admettre en outre les trois

postulats suivants,

qui

vont

_préciser

certains cas où des

_grandeurs

sont

_composables

ou

_{incompatibles.}

Postulat 5. -- Si A est

conlposahle

avec

B,

B avec

C,

C avec

_lt,

alors les trois

_grandeurs

A, B,

C sont cornpo-sables e17l1"e elles. Ou encore, si A &

_B,

B &,

_C,

C & A

existerct,

A & Il & C existe aussi. Postulat 6. - Si deux

qra7zcleurs

A et B sout

inconl-paLibles,

quel

que soit C

composable

avec A et D compo-sable avec

_B,

les A & C et B & D sont

incom-patibles.

Postulat 7. - Si des A & C et B & I~ sont

incompatibles,

il _y a au rrroins une des deux

_grandeurs

A et (,’

_qui

est

_{Íncolupatihle}

avec l’une des deux gran-del0’s B el JJ.

Postulat 8. - Toute

,qrandeur

s’obtient

_après

urz nombre

_fini

de

_compositions

de

_{grandeurs sirnples.}

Il ,s’eiisuit que les

forriieiit

une base

toutes les

_{grandeurs physiques,}

Il nous faut maintenant introduirc la notion de gran-deur décrivant d’une autre

_grandeur.

On

_peut

le faire

au _{moyen d’un}

_concept,

mais ce n’est pas nécessaire et on

_peut

l’introduire au _{moyen d’un}

_postulat.

Postulat 9. - Entre certains

couples de grandeurs,

il

_peut

exister une non

_{syntétrrique}

_que nous

dési,qnerons

par der. et _que nous lirons « _{dérive de} ».

Définition. - Si A dérive de B et si B dérive de A

les

_grandeurs

11 et B sont dites

_{équivalentes.}

Postulat 10. - La relation

« dérive de » est transi-Si A der fi et B der C alors A der C.

Postulat il. -

Toute grandeur

dérive

A der A. Il nous faut maintenant

_préciser

les

_propriétés

qui

lient cette relation avec

_{l’opération}

&. Nous admet-trons alors :

Postulat t2. -

Quelle

que soit la grandeur B compo-sable avec

_A,

la

_grandeur

A de A & B.

Postulat 13. - Si A dérive de C et si B dérive de

G’,

les

_grandeurs

A et B sont

_coniposables

et A & B dérive de C.

Si A dérive de B comme B dérive de

B,

il en résulte B dérive de

_B,

et comme B dérivre de A &

_B,

on a :

Théorème. - Si A dérive de

B,

A et B sont composa-bles et A & B est

_équivalent

à B.

8.

Éléments

unités.

_Espace

des

_grandeurs.

-Jusqu’à

maintenant nous n’avons pas introduit d’élé-ments unités. Nous allons établir

_qu’il

en existe. En vertu de la commutation il

_n’y

a _{pas à}

_distinguer

entre unité à droite et unité à

_gauche.

Du

_{postulau 2}

il _{résulte que}

En vertu des

_{postulats 2}

et 3 nous _{pouvions poser :}

On a

De la

_propriété

de _{commutativité résulte que :}

et

_d’après

le

_{postulat 2 :}

Du

_{postulant 2}

on tire en outre :

et encore :

Il faut montrer encore _{que l’élément} L 0 ainsi défini est

_unique

_moyennant

certaines conditions et satisfait

encore aux relations

_{précédentes quelle}

_{que soit la}

gran-deur ~’. Pour cela considérons une

_grandeur

D et

sup-posons défini un élément O. Nous allons vérifier

_qu’il

est

_identique

à U dans certains cas.

Soit :

- - - - - - -- ’

Si D est

_composable

avec une autre

_grandeur

C on a :

D’où : s

et

_d’après

le

_{postulat 2 :}

Ce

_qui

nous montre que l’élément 0

défini

par deux

_{grandeurs composables}

est le même. Soit mainte-nant E

_incompatible

avec

D,

mais

_compatible

avec

C,

on aura encore le même élément 0.

Donc,

s’il est pos-sible cle

_joindre

deux éléments A et B _par une chaîne

_Ao,

Ai, ...

A n

telle _que

_chaque

élément soit

_composable

avec le

_{précé(leiit,}

les

_grandeurs

A et B définissent le même élément 0.

Ceci nous conduit à considérer les

_grandeurs

comme

constituant un _{espace à caractère fini} en définissant le

premier voisinage

d’une

_grandeur

A par l’ensemble des

_{grandeurs composables}

a,vec A. Nous

_{l’appellerons}

l’espace des grandeurs.

Nous arrivons alors à ce résultat : Si

_l’espace

des

_grandeu1’s

est connexe., il existe un élé-ment unité et un seul. Si cet _espace est de connexité m il _y a ait

_plus

ni élénlents unité distincts ri,?ït

n’em-pèche d’identifier

cer’ta£ns d’entre

_eux),

les élémerrts unité

_possédant

les suivantes :

a)

Soit un ensemble et 0 daîis e,

quel

que soit l’élément A on a :

359

identiques

à un seul élément 0. Ceci rend

_l’espace

_(G)

des

_grandeurs

connexe. Mais c’est la connexité de G- 0

qui importe.

En vertu des

_postulats

2,

3,

5, 6,

~,

la connexité de

l’espace

des

_{grandeurs dépend}

_uniquement

_{des pro}

priétés

de

_composition

ou

_{d’incompatibilité}

des

gran-deurs

_simples,

car si deux

_grandeurs

K et h sont

cona-posables,

leurs

_composantes

le sont

aussi,

et si elles sont

incompatibles

c’est

_{qu’il y}

a des

_graudeurs

_simples

iucompatibles

dans leuî-s

_composantes.

Soit A une

_{grandeur simple.}

Si le

_premier

voisi-nage contient toutes les

grandeurs simples, l’espace

est connexe. Si

VÂ~

ne contient pas toutes les

_grandeurs

simples,

l’ensemble des

_grandeurs

n’est _pas connexe,

mais

_l’espace

_peut

être connexe car il

_peut

être

_possible

de

_joindre

deux

_grandeurs

de deux ensembles non connexes de

_grandeurs

par une chaîne contenant

soit

_0,

soit des éléments inverses.

9.

_{Semi-groupoide}

des

_{grandeurs. -}

Nous

appellerons

semi-groupoïde

un ensemble d’éléments

qui

satisfait aux

_postulats

_{2, 3,}

_5,

à l’existence

d’in-verses et d’unités à droite et

_{à gauche,}

ceci par

analogie

avec les

_groupoïdes

de M. H.

_{Brandt (4)}

_qui

satisfont presque aux mêmes

_postulats

et dont

_{l’importance}

est

grande

en

_{arithmétique}

moderne : c’est seulement le

postulat 5

qui

est remplacé par

une condition

_{plus large}

pour la

composition :

Si A & B et B & C

existent,

alors A & B & C

_existe,

sans _{que nécessairement A soit}

sup-posé

composable

avec C. Les

_groupoïdes

sont donc certains

_{semi-groupoïdes.}

En définissant le

_{premier voisinage}

des éléments d’un

_{semi-groupoïde}

comme l’ensemble des éléments

composables

avec

_A,

on

_peut

considérer un

semi-grou-poïde

comme un _{espace à} caractère fini

_particulier.

Si nous nous

_reportons

aux

_postulats

du

_paragraphe

8

nous _{constatons que} les

_grandeurs,

leurs inverses et les éléments unités constituent un

_{senli-groupoïde}

commu-tatif qui

possède

certaines

_{propriétés particulières.}

(postulats

6, 7,

8).

Nous

_{l’appellerons}

le

_{senti-groupoïde}

des

_grandeurs.

La théorie des

_grandeurs

consiste

uni-quement

en l’étude de ce

_{semi-groupoïde}

et en l’étude

de la relation der. Les

_postulats

énoncés

_permettent

d’établir l’existence de

_grandeurs

_complètes

_{par le} raisonnement

_indiqué

au

_paragraphe

2, ainsi que les autres

_propriétés

énoncées dans les

_paragraphes

2 et 3. 10. Forme abstraite de la théorie de la mesure

des

_{grandeurs. -}

La seconde forme

_{plus complète,}

sous

_laquelle

nous _{pouvons mettre la théorie des}

gran-deurs,

s’appuie

essentiellement,

comme nous

l’savons

indiqué

plus haut,

sur la notion de mesure. Nous devons

l’introduire au _{moyen d’un}

_concept.

D’où :

Concept. -

cc Mesure d’une

_{grandeur physique}

d’un

système

physique

déternliné ».

(1) H. BRANDT. Mazh. _{Ann., 19~7, 96, p. 360.}

Postulat ’1. -

Il y a

plusieurs

_types

de « ntesure

d’une

_grandeur

_{physique» qu’on peut 1 igurer}

_par une

lettre. Nous les

_désignerons

abréviativement par «

_{graiideurphysiqice}

».

Postulat 2. --- A _{une « mesure} d’une

grandeur ph

y-sique

A » est attaché un ensemble

_LBA

ordonné

_fini

de nonlbres _{ai, at, ...} an

_{qui appartiennent}

respectivement

à des ensembles

AI,

...

An

constitués par des

inter-valles et un ensemble

_fini

ou dénombrable de nombi-es.

Cet ensemble ordonné fini de nombre sera

_appelé

cc résultat de la mesure de la

grandeur physique

A ».

Lorsque

le résultat de la mesure se réduira à un seul nombre la

_grandeur

sera dite

_simple,

dans le cas

con-traire

_composée.

La

_puissance

de l’ensemble

_.LBA

sera dit

l’ordre de la

_grandeur.

Deux

_grandears

mesurables simultanément seront dites

_{coî)iposables.}

Dans le cas contraire

_{iîîcoritpalibles.}

Lorsque

l’on fera simultanément une mesure de deux

grandeurs

composables

de

_types

A et B nous dirons

que l’on mesure la

_{grandeur composée}

de

_type

...4. &

B,

et le résultat de la mesure sera

_désigné

_par

_{~lA ~}

_{XB ou}

par

Xi

& B.

Du résultat d’une mesure d’une

_grandeur

d’ordre n on

_peut,

enfaisant abstraction de n -1 nombres

_parmi

les r2, déduire le résultat de mesures de n

_grandeurs

simples.

Le résultat d’une mesure d’une

_grandeur

com-posée

peut

être considéré comme la mesure simultanée

de n

_grandeurs

_{simples composables,}

ou de

_plusieurs

grandeurs

composables

d’ordre inférieur à n.

Des définitions

_qui

précèdent,

il résulte que les

mesures simultanées

_permettent

de définir une

opéra-tion de

_composition

entre les

_types

et une entre les résultats des mesures avec

_isomorphie,

cette

_opération

désignée par &

possédant

les

_propriétés

_qui

se trou-vaient énoncées comme

_postulats

dans le

_paragraphe

7 ;

d’une

_façon

_plus

_précise

ce sont les

_{postulats ~.,}

_{2, 3,}

~t,

8. Les

_propriétés

_{énoncées par les}

_postulats

5, 6,

7,

ne _{sont pas}

remplies

et nous devons les admettre

comme

_{postulats :}

Postulat 3. - Si A et

!3,

B et

C,

G’ et A sont

contpo-sables, A,

B, C,

so7ct mesurables sirnultanément.

Postulat

4 - Si A et B sont

_{incontpatihles, que/le}

que soit la C

conlposable

avec

A,

D avec

B,

les

_grandeurs

11 &

C,

B & D sont

_{ïrtcont prctibles.}

Postulat 5. - Si ~l & C et B & D sont

incompatibles

il y a au nioins l’une des deux

_grandeurs

.J et C

_qui

est

iiicompatible avec

l’Zrrze des deux

_grandeurs

B et D.

Il nous reste maintenant à introduire les

_grandeurs

qui

dérivent d’une

autre,

nous _{poseron~ :}

Définition. - Si le résultat _mesure d’il ne

grandeur

A est

_fotictioit

_{un ivoque}

du résultat

mesure d’une

_grandeîtî,

_B,

la

_grandeur

1 sera dite

déri-ver de B ce _que -toits écrirons 11 der B.

De cette définition résulte que la relation « der »

possède

les

_propriétés

introduites par les

postulats

9,

360

Postulat 6. dérive de C et si B dérive de

_C,

les

_grandeurs

A et B sont mesui-ables siiiiultanément. Il nous faut donner un sens à l’élément

_(-

A étant un

_type

de

_{grandeur :}

_{par définition}

_{(- .~)}

sera

le

_type

de la non-mesure de

A,

et 0 sera le

_type

de l’absence de mesure. Le résultat de la mesure

_de

(- A)

ou de 0 sera l’ensemble vide par convention.

Ainsi tous les éléments du

_{semi-groupoïde}

_des gran-deurs ont un sens

_physique

et il

_n’y

a

_qu’un

seul élé-ment unité U. De

_plus

la non-mesure d’une

_grandeur

peut

être faite en même

_temps

_{que la} mesure d’une autre

_grandeur,

donc on

_peut

convenir _{que tous les} élé-ments inverses de

_grandeurs

_{ainsi que l’unité 0 sont}

composables

avec les

_grandeurs.

11.

_Comparaison

des deux formes de la théorie des

grandeurs. -

Cette seconde

_axiomatique

est

préférable

à la

_première,

car elle est t

_{plus complète}

et se _{traduit par} un nombre moindre de

_postulats.

Au lieu de

_prendre

comme notion fondamentale celle de

grandeur physique

nous _{prenons ici celle de} mesure

d’une

_{grandeur physique.}

Celles-ci sont de divers

types,

le mot

_type

étant

_pris

au sens de

Russell,

et c’est

au

_type

_que nous donnons le nom de «

grandeur

phy-sique

». Cette manière nous

_{paraît s’adapter}

étroite-ment à la nature de la

_physique

_{théorique :}

on doit éviter d’introduire sans nécessité des entités abstraites

comme

_{apparaissaient}

les

_{grandeurs physiques}

_{par la}

première

méthode. D’autre

_part

la notion de

_grandeur

physique

n’a

_jamais

eu une

_{signification}

très

_précise.

Au contraire en la définissant comme un

_type

de

mesure elle

_prend

un sens extrêmement

_précis

qui

nous sera fort utile dans les discussions ultérieures. Il ne _{faudrait pas} en _{conclure que la}

_première

forme

axiomatique

est à

_rejeter,

car elle a le

_grand

_avantage

d’isoler l’étude des

_types

de mesure de celle des

mesu-res elles-mêmes. Elle

_permet

une étude

_partielle

dont les bases sont très

_simples.

On a

_toujours

_avantage

à faire des morcellements dans l’étude des fondements d’une théorie.

Quant

à la théorie de

_{l’évolution,}

elle

_peut

être

envi-sagée

sous une forme abstraite comme une

_cinématique

dans

_l’espace

_cae)

et sous une forme

_{plus physique}

de la

façon

suivante :

Concept.

-

« l’observateur ».

Concept. -

« Elé1nent du résultat d’une

1nesure à l’instant t d’ une

physique

utilisa-ble ».

Postulat’1. -

_a)

L’ensemble

des éléments

_figuratifs

des divers résultats

_possibles

de mesure à l’instant t d’une

_{grandeur physique}

utilisable de

_type

A constitue

un _{espace distanciable} et _{cela pour tout}

_type

de

grandeur

utilisable.

b)

Si deux ensembles et

_3:B(fo)

ont une

_partie

commune les deux distances définies dans cette

_partie

donnent lieu aux mêmes

_points

d’accumulation.

Il faut maintenant introduire le

_concept

de

_prévision

concernant l’évolution ultérieure du

_système

_{ainsi que} les

_postulats

_qui

suivent dans

_{l’axiomatique}

de notre

précédent

article

_(i).

Conclusion. - Dans ce travail nous avons

appro-fondi des

_points

sur

_lesquels

nous étions

_{passé trop}

rapidement

dans notre

_premier

article et

_qui

présen-tent une

_{grande importance}

pour la constitution d’une théorie

_physique.

Voici les résultats

_principaux

auxquels

nous sommes conduit :

1° Il y a

_séparation

entre la théorie des

_grandeurs

ou

de la mesure des

_grandeurs

etla théorie de l’évolution. 11 convient

_{d’envisager}

deux théories distinctes.

2° Parmi les

_grandeurs

un doit en

_distinguer

de

plu-sieurs classes :

Les

_{grandeurs simples :}

celles dont le résultat d’une

mesure se _{traduit par} un seul nombre. Les

_grandeurs

complètes :

elles sont telles que si on les mesure on ne

peut

en

_{apprendre davantage}

sur le

_système.

Un théo-rème en établit l’existence.

Les

_grandeurs

utilisables

_(celles

à

_{partir desquelles}

on

_peut

faire des

_prévisions

concernant l’évolution ulté-rieure du

_système).

En vertu d’un théorème ce sont

cer-taines

_{grandeurs complètes.}

3° Pour

_pouvoir

faire des

_prévisions,

il faut faire

appel

à la notion de loi sous _{la forme que} nous avons

appelée

« la

plus large

».

Nous en avons tiré le

_postulat

essentiel de la

physi-que : sans lui on ne

_peut

bàtir une théorie de l’évolu-tion.

4° La connexion entre la théorie des

_grandeurs

et celle de _{l’évolution est déterminée par la donnée de} l’ensemble des

_grandeurs

utilisables.

Si l’on

_adjoint

à la notion de loi sous sa forme la

_plus

large

un

_principe

_que nous avons

_appelé

«

_principe

de l’utilisation

_complète

»

_qui

dit que tout

_{renseignement}

peut

être

_{complété (principe}

admis

_{implicitement}

dans les théories

_physiques),

toute

_{grandeur complète}

est

utilisable.

5° La théorie des

_{grandeurs physiques}

se ramène à l’étude d’un certain

_{semi-groupoïde :}

ces

_grandeurs

constituent un espace à caractère fini.

Joint à notre

_premier

article celui-ci nous fournit les

bases solides

_qui

nous

_permettront

de nous

appro-cher du théorème que nous avions en vue au début de cette étude et

_qui

doit établir l’existence d’une

mécanique

ondulatoire relativiste des

_systèmes.

En dehors du

_principe

de relativité et de ceux

_qui

_y

sont

_liés,

_{grâce auxquels}

nous _{pourrons passer de la}

physique

d’un seul observateur à celle de

_plusieurs,

nous n’aurons

_plus

de

_postulats

à introduire. Il nous

faudra seulement établir des théorèmes concernant la réunion de

_systèmes,

l’invariance

relativiste,

et définir l’interaction de deux

_syscèmes,

ainsi

_{qu’un système}

élémentaire.

C’est ce _que nous ferons dans un

_prochain

travail.