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Indice de rotation d’une courbe simple.

Dans tout ce probl`eme, T d´esigne un r´eel strictement positif.

1 Premi` ere partie

On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. On note F

l’ensemble des applications T -p´eriodiques et continues de R `a valeurs dans U et F

l’ensemble des applications T -p´eriodiques de classe C

de R `a valeurs dans U . On appelle rel` evement de u ∈ F

une fonction continue f : R → R telle que u = e

.

1. Montrez que si u ∈ F

, et si f est un rel`evement de u que l’on suppose de plus d´erivable, alors f

= − i¯ uu

.

Montrez que, r´eciproquement, tout u ∈ F

admet un rel`evement f qui est de classe C

et qui est une primitive de − i¯ uu

.

2. Montrez que si f est un rel`evement de u et g est un rel`evement de v, alors f + g est un rel`evement de uv.

3. Montrez que si z ∈ U est de partie r´eelle positive, alors z = e

, o` u y est la partie imaginaire de z, puis que si u ∈ F

v´erifie k u − 1 k

≤ √

2, alors u admet un rel`evement f ` a valeurs dans [ − π/2, π/2].

4. Montrez que pour tout u ∈ F

, il existe w ∈ F

tel que k u − w k

≤ √ 2/2.

Montrez que w ne s’annule pas et que v = w/ | w | v´erifie k v − w k

≤ √ 2/2 et k

− 1 k

≤ √

2. D´eduisez-en que tout u ∈ F

admet un rel`evement.

5. Montrez que si f et g sont deux rel`evements d’un mˆeme u ∈ F

, alors f − g

est une fonction constante, ´egale ` a un multiple entier de 2π. D´eduisez-en

que si u ∈ F

et si f est un rel`evement de u, alors f est de classe C

.

2 Deuxi` eme partie

6. Soit u ∈ F

, soit f un rel`evement de u et soit a un r´eel. On pose d

(u) = 1

2π (f (a + T ) − f (a)) (1)

et on appelle ce nombre le degr´ e de u. Montrez que d

(u) est un entier et ne d´epend ni du choix du rel`evement f , ni de a.

7. Soient u ∈ F

et k ∈ N tels que | d

(u) | ≥ k. Montrez que pour tout z

∈ U et tout r´eel a l’´equation u(t) = z

admet au moins k solutions distinctes dans l’intervalle [a, a + T [.

8. Que vaut d

(u) si u n’est pas surjective ?

9. Montrez que pour tous u, v ∈ F

on a d

(uv) = d

(u) + d

(v) et d

(u/v) = d

(u) − d

(v).

10. Montrez que si u, v ∈ F

et si k u − v k

< 2, alors d

(u/v) = 0, puis que d

(u) = d

(v).

11. Montrez que si u ∈ F

est de classe C

par morceaux alors pour tout r´eel a on a

d

(u) = − 1 2π

Z

iu

(t)¯ u(t) dt.

12. Montrez que si u ∈ F

est de classe C

par morceaux alors d

(u) = X

n∈Z

n | c

|

,

o` u (c

)

d´esignent les coefficients de Fourier de u.

13 . Soit u ∈ F

et soit f un rel`evement de u. Soit z ∈ U et F = { t ∈ [a, a + T [ | u(t) = z } .

Montrez que si F est fini et si pour tout t ∈ F on a f

(t) 6 = 0, alors d

(u) = p − q, o` u p = Card { t ∈ F | f

(t) > 0 } et q = Card { t ∈ F | f

(t) < 0 } .

3 Troisi` eme partie

On appelle homotopie entre u ∈ F

et v ∈ F

une application continue ϕ : [0, 1] × R → U

(λ, t) 7→ ϕ

(t) telle que, ϕ

= u, ϕ

= v, et

(i) ∀ s ∈ [0, 1], ϕ

∈ F

, (ii) ∀ λ

∈ [0, 1], lim

λ→λ⁰

k ϕ

− ϕ

k

= 0.

S’il existe une homotopie entre u et v, on dit que u est homotope `a v.

14. Montrez que si ϕ satisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne sur [0, 1] × [a, a + T ], o` u a est un r´eel arbitraire, alors la condition (ii) est v´erifi´ee.

15 . Montrez que si ϕ est une homotopie entre u ∈ F

et v ∈ F

, alors d

(u) = d

(v).

16. Montrez que pour tout nombre complexe z tel que | z | < 1, l’application M

d´efinie pour t ∈ R par

M

(t) = z − e

1 − ze ¯

appartient ` a F

, puis que d

(M

) = 1. (Indication: on pourra consid´erer les applications M

, o` u λ parcourt l’intervalle [0, 1].)

17. Montrez que si u ∈ F

et d

(u) = 0, alors u est homotope `a l’application constante ´egale ` a 1.

18. Montrez que u, v ∈ F

sont homotopes si et seulement si d

(u) = d

(v).

4 Quatri` eme partie

On note A

l’ensemble des arcs param´etr´es de classe C

et T -p´eriodiques de R dans R

identifi´e ` a C , r´eguliers ` a l’ordre 1 en chaque point, c’est-`a- dire dont la d´eriv´ee ne s’annule pas. On dira que Γ ∈ A

est simple si la restriction de Γ ` a [0, T [ est injective.

Si Γ ∈ A

, on appellera application tangente de Γ l’application − → T

∈ F

d´efinie par

−

→ T

(t) = Γ

(t)

| Γ

(t) | , pour t ∈ R . On appellera indice de Γ ∈ A

l’entier

i

(Γ) = d

( − → T

).

19. D´eterminez i

(Γ

), o` u n ∈ Z et Γ

(t) = e

.

20. On pose Γ(t) = cos t + i sin(2t), et on d´esigne par − → T

son application tangente. Montrez que pour tout r´eel t on a − → T

(t) 6 = i, puis que i

(Γ) = 0.

21 . Montrez que si Γ ∈ A

est param´etr´ee par l’abcisse curviligne, alors 2πi

(Γ) est l’int´egrale de la courbure de Γ entre 0 et T .

On suppose ` a pr´ esent que Γ ∈ A

et que de plus Γ est simple. Pour tous (x, y) ∈ R

tels que (x − y)/T / ∈ Z , on pose

S

(x, y) = Γ(x) − Γ(y)

sin

(x − y) ,

et pour tout y ∈ R et tout k ∈ Z on pose S

(y + kT, y) = ( − 1)

T

π Γ

(y).

22. Montrez que l’application S

est bien d´efinie sur R

, ne s’annule pas, et que pour tous x, y ∈ R on a S

(x + T, y) = S

(x, y + T ) = − S

(x, y) et S

(x, y) = S

(y, x).

23. Soit U = { (x, y) ∈ R

| | x − y | < T } . Montrez que la fonction F d´efinie pour (x, y) ∈ U , x 6 = y par F (x, y) =

sin

(

) se prolonge par continuit´e sur U en une fonction de classe C

.

24. En ´ecrivant Γ(x) − Γ(y) comme un reste int´egral, montrez que la fonction d´efinie pour (x, y) ∈ R

, x 6 = y par G(x, y) =

se prolonge par continuit´e en une fonction de classe C

sur R

.

25. Montrez que S

est de classe C

sur l’ouvert U d´efini `a la question 23, puis sur R

. Montrez que S

est lipschitzienne sur R

.

26 . Montrez qu’il existe un r´eel a tel que Re(Γ(a)) = min

Re(Γ(t)), et que pour un tel a le nombre complexe S

(a, a) est imaginaire pur. On supposera dans la suite de cette partie que a = 0 convient.

27. Soit P

: [0, T ] → R

l’application d´efinie par

P

(t) = (max(0, 2t − T ), min(T, 2t)) .

Soit u

l’application T -p´eriodique de R dans U dont la restriction `a [0, T [ est

.

Montrez que u

(T ) =

et que ∈ F

.

28. Montrez u

(0) ∈ {− i, i } , que la partie r´eelle de u

est positive sur [0, T /2]

et que pour tout t ∈ [0, T /2] on a u

(t + T /2) = − u

(t).

29 . D´eduisez de ce qui pr´ec`ede que la fonction f : [0, T ] → R d´efinie par f (t) =

( Arcsin(Im(u

(t)) si t ∈ [0, T /2[,

2 Arcsin(Im(u

(T /2)) − Arcsin(Im(u

(t)) si t ∈ [T /2, T ] est un rel`evement de u

sur l’intervalle [0, T ]. Montrez que f(T ) − f (0) = 2f (T /2) − 2f(0), puis que d

(u

) ∈ {− 1, +1 } .

30 . Pour tout t ∈ [0, T ] on pose P

(t) = (t, t), et pour tout λ ∈ [0, 1] on pose P

= λP

+ (1 − λ)P

. Montrez que l’application X(λ, t) = P

(t) est lipschitzienne sur [0, 1] × [0, T ].

Soit ϕ

l’application T -p´eriodique de R dans U dont la restriction `a [0, T [ est

Γ◦Pλ|

. Montrez que ϕ

d´efinit une homotopie entre u

et l’application tangente de Γ, et que i

(Γ) ∈ {− 1, +1 } .

Fin de l’´ epreuve

u