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Submitted on 18 Jun 2019
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On the KKM principle
Marc Lassonde
To cite this version:
Marc Lassonde. On the KKM principle. Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I, Mathé- matique, Elsevier, 1990, 310 (7), pp.573-576. �hal-00699227�
Mar LASSONDE
Nous montrons d'abord que les versions \fermee" et \ouverte" du Prinipe KKM se
deduisent l'une de l'autre. Nous montrons ensuite que, omme la version \fermee" (dont
les appliations sont bien onnues), la version \ouverte" possede quelques onsequenes
remarquables: parexemple,elleonduitdiretementautheoremede\mathing"deFanet
permetunedemonstrationpartiulierementsimpledu theoremedepointxedeKakutani-
Fan-Gliksberg.
On the KKM priniple
Abstrat { We rst show that the \lose" and \open" versions of the KKM priniple
an be derived from eah other. We next show that, just like the \losed" version (whose
appliations are well known), the \open" version has some noteworthy onsequenes: for
instane, it diretly leads to Fan's mathing theorem and permits a very simple proof of
Kakutani-Fan-Gliksberg's xed point theorem.
1. Versions
ferm
ee et ouverte du prinipe KKM. { Soient D et X deux en-
sembles et F : D ! X une appliation multivoque (appelee simplement appliation par
la suite). On appelle valeurs de F les ensembles Fx, x 2 D, et bres de F les ensembles
F 1
y=fx2D :y2Fxg, y2X.
Soient X un ensemble onvexe (dans un espae vetoriel) et D X. On note oD
l'enveloppe onvexe de D, et<D> l'ensemble de toutes les parties nies non vides de D.
On designe par X
f
l'ensembleX muni de latopologienie (1)
.
Le lemme lassique de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiz onduit diretement au
prinipe suivant:
Prinipe KKM
f
. {Soient D un sous-ensemble quelonque d'un ensemble onvexe X
et F : D ! X une appliation a valeurs fermees dans X
f
. Si pour tout A 2<D> on a
oA
S
x2A
Fx, alors pour tout A 2<D> on a oA\ T
x2A
Fx6=;.
Nous allons montrer par un argument simple que l'on peut remplaer valeurs fermees
par valeurs ouvertes dans l'enone i-dessus. Nous obtenons ainsi une version \ouverte"
du prinipeKKM :
Theor
eme 1 (Prinipe KKM
o
) . { Soient D un sous-ensemble quelonque d'un en-
semble onvexe X et G:D!X une appliation a valeursouvertes dans X
f
. Si pour tout
A2<D> on a oA S
x2A
Gx, alors pour tout A2<D> on a oA\ T
x2A
Gx6=;.
Demonstration. { On peut lairement supposer queD est un ensembleni. Pour tout
A 2<D> , la famille nie fGx\oAg
x2A
forme un reouvrement ouvert de l'ensemble
ompat oA. Il existe don, pour tout A2<D> , une appliation F
A
:A!oA telle que
la famillefF
A xg
x2A
formeun reouvrement ferme de oA et F
A
x Gx pour tout x2 A.
Alorsl'appliation F :D !X denie par
x!Fx= [
fF
A
x:A2<D> etA 3xg
est a valeurs fermees dans X
f
etverie oA S
x2A
Fx pour tout A2<D> . Il resulte du
Prinipe KKM
f
que oA\ T
x2A
Fx 6= ; pour tout A 2<D>, d'ou la onlusion puisque
FxGxpour tout x2D.
Un argument similaire permet, reiproquement, de retrouver la version \fermee" du
prinipe KKM a partirde laversion \ouverte" :
Demonstration du Prinipe KKM
f
a partir du Prinipe KKM
o
. { Supposons que
oA\ T
x2A
Fx=;pourun ertainA2<D>. Ilexistealors uneappliationG
A
:A!oA
avaleursouvertestelleque T
x2A G
A
x=;etG
A
xFx\oApour toutx2A. On deduit
du PrinipeKKM
o
que, pour un ertainB 2<A> ,oB n'estpas ontenudans S
x2B G
A x,
don a fortiori oB n'est pas ontenudans S
x2B
Fx,e qu'ilfallaitdemontrer.
LePrinipeKKM
f
possededenombreusesappliationsdansdiversdomainesdesmathe-
matiques : voir par exemple [3, 8, 2℄. Dans e qui suit, nous montrons que le Prinipe
KKM
o
possede lui aussi quelques appliations remarquables(voiregalement [6℄).
2. Autres formulations du Prinipe KKM
o
. { Le Prinipe KKM
o
peut se for-
muler omme un theoreme de \mathing" (theoreme 2) ou omme un theoreme de point
xe (theoreme 3).
Theor
eme 2. { Soient D un sous-ensemble quelonque d'un ensemble onvexe X et
F : D ! X une appliation a valeurs fermees dans X
f
. S'il existe A 2<D> tel que
oA
S
x2A
Fx, alors il existe B 2<D> tel queoB \ T
x2B
Fx6=;.
On passe du theoreme 1 au theoreme 2 (et vie-versa) en onsiderant l'appliation
x!Gx=XnFx.
Theor
eme 3 (3)
. { Soient X un ensemble onvexe non vide et T :X !X une appli-
ation a valeurs onvexes et a bres fermees dans X
f
. S'il existe une partie nie A X
telle que Tx\A 6=; pour tout x2oA, alors il existe un point x
0
2X tel que x
0 2Tx
0 .
Demonstration. { Considerons F : X ! X denie par Fx = T x pour tout x 2 X.
La ondition Tx\A6=; pour tout x2 oA est equivalente a oA S
x2A
Fx. D'apres le
theoreme 2 il existe don B 2<X> tel que oB\ T
x2B
Fx 6=;. Soit alors x
0
2 oB tel
que x
0
2Fx pour tout x2B, 'est-a-dire telque x2 Tx
0
pour tout x2B. CommeTx
0
est onvexe, oB Tx
0
et don x
0 2Tx
0 .
Reiproquement, on peut demontrer le theoreme 2 a l'aide du theoreme 3 de la faon
suivante. Soient D, X et F : D ! X omme dans le theoreme 2. Supposons qu'il existe
A 2<D> tel que oA S
x2A
Fx. L'appliation x ! o(F 1
x\A) de oA dans oA
verie alors les onditions du theoreme 3. Elle possede par onsequent un point xe, e
qui implique laonlusion du theoreme 2, ommeon leverie failement.
Remarque. {Sil'on remplaefermepar ouvertdanslestheoremes i-dessus, onobtient
des enonesequivalentsau Prinipe KKM
f .
3. Appliation 1 : th
eor
emes d'intersetion. { Lesresultats suivants sont des
onsequenes immediatesdu theoreme 2.
Theor
eme de \mathing" de Fan (4)
. { Dans un ensemble onvexe X muni de
la topologie nie, soient fA
i g
n
i=1
une famille de n sous-ensembles fermes reouvrant X et
fx
i g
n
i=1
une famille de n points quelonques . Alors, il existe un sous-ensemble d'indies
J I =f1;:::;ng tel que ofx
j
:j 2Jg\ T
j2J A
j 6=;.
Demonstration. { Posons D = fx
1
;:::;x
n
g et onsiderons l'appliation F : D ! X
denie par Fx
i
= A
i
pour haque x
i
2 D. Comme oD S
x2D
Fx, on deduit du
theoreme 2 qu'ilexiste J I telque ofx
j
:j 2Jg\ T
j2J Fx
j 6=;.
Th
eor
eme d'Alexandroff-Pasynkoff [1℄. { Dans un ensemble onvexe X muni
de la topologie nie, soient fA
i g
n
i=1
une famille de n sous-ensembles fermes reouvrant X
et fx
i g
n
i=1
une famille de n points tels que ofx
1
;:::;x
i 1
;x
i+1
;:::;x
n gA
i
pour haque
i=1;:::;n. Alors T
n
i=1 A
i 6=;.
Demonstration. { D'apres le theoreme preedent, il existe J I = f1;:::;ng tel que
ofx
j
:j 2Jg\ T
j2J A
j
6=;. Or, ofx
j
:j 2Jg\fA
i
:i2InJg,d'oule resultat.
Gen
eralisation du lemme de Klee (5)
. { Dans un ensemble onvexe X muni de
la topologie nie, soit fA
i g
n
i=1
une famille de n sous-ensembles fermes reouvrant X. Si
l'intersetion de n 1 quelonques d'entre es sous-ensemblesest non vide, alors il existe
un sous-ensemble d'indies J I =f1;:::;ng tel que o(\fA
i
:i2InJg)\ T
j2J A
j 6=;:
Demonstration. { Pour haque i 2 I, hoisissons x
i
2\fA
j
:j 2 I etj 6= ig. D'apres
le theoreme de \mathing" de Fan, il existe J I tel que ofx
j
: j 2 Jg\ T
j2J A
j 6= ;.
Or, fx
j
:j 2Jg\fA
i
:i2InJg, d'oule resultat.
pour ela d'utiliser lePrinipeKKM
f
plut^otque le Prinipe KKM
o .
4. Appliation 2 : points fixes approh
es. { Soient D et X deux espaes
topologiques. Une appliation : D! X est dite semi-ontinue superieurement si pour
haque ensemblefermeB X,l'ensemble 1
(B)=fx2D: x\B 6=;gestfermedans
D ; est dite ompate sil'ensemble (D)= S
x2D
x est relativement ompat dans X.
Le resultatsuivant est une onsequene diretedu theoreme 3.
Theor
eme 4. { Soient X un ensemble onvexe non vide dans un espae vetoriel
topologique E et : X ! X une appliation ompate, semi-ontinue superieurement de
X
f
dans E, a valeurs onvexes non vides. Alors, pour tout voisinage onvexe ferme V de
l'origine dans E, il existe un point x
V
2X tel que x
V
\(x
V
+V)6=;.
Demonstration. { Puisque est ompate, il existe un ensemble ni A X tel que
(X) A+V. Il s'ensuit que ( x V)\A 6= ; pour tout x 2 X. Alors l'appliation
T :X !X deniepar x!Tx=( x V)\X verie lesonditions du theoreme 3. Elle
possede don un pointxe, e qui aheve la demonstration.
Remarque. { Si l'on part du Prinipe KKM
f
(au lieu du Prinipe KKM
o
), on aboutit
aun theoreme de pointxeapprohepour appliationssemi-ontinues inferieurement(au
lieude superieurement).
Lederniertheoremeest une generalisationdu theoremede pointxede Kakutani-Fan-
Gliksberg :
Theor
eme de Himmelberg[5℄. { Soient X un ensemble onvexe non vide dans un
espae vetoriel topologique loalement onvexe separe et : X ! X une appliation
ompate, semi-ontinue superieurement, a valeurs onvexes fermees non vides. Alors, il
existe un point x
0
2X tel que x
0 2 x
0 .
Le theoreme de Himmelberg resulte aussit^ot du theoreme 4 et du lemme bien onnu
suivant :
Lemme.{Soient X un ensembleonvexenon videdansun espaevetoriel topologique
separe et : X !X une appliation ompate, semi-ontinue superieurement, a valeurs
fermees non vides. Alors, possede un point xe siet seulement sipour tout voisinage V
de l'origine, il existe un point x
V
2X tel que x
V
\(x
V
+V)6=;.
L'auteur remerie A. Granas pour des disussions frutueuses onernant e travail.
(1) Un ensemble U X est ouvert pourX
f
si pour tout A 2<X>, U \oAest ouvert dans oA
munidelatopologieeulidienne.
(2) Cetheoremeestsuggereparunresultatde[6℄;notre demonstrationest ependantfortdierente
puisqu'ellenefaitpasappelautheoremedepointxedeKakutani,ontrairementaellede[6℄.
(4)Ce resultatestdemontredans[4℄apartirdutheoremedepointxedeKakutani-Fan-Gliksberg.
(5)Dans lelemme deKlee[7℄lesensemblesA
i
sontsupposesonvexes.
Referenes
[1℄ P. Alexandroff et B. Pasynkoff,Elementary proofof the essentialityof theidential
mappingof a simplex(en russe),Uspehi Mat. Nauk (N.S.), 12(5) (77), 1957, p.175-179
[2℄ J. Dugundji et A. Granas, Fixed point theory, Vol. I, Monograe Matematyzne 61,
Varsovie,1982
[3℄ K. Fan, A minimax inequality and appliations, in Inequalities III (O. Shisha, Ed.), p.
103-113, Aademi Press, NewYork/London,1972
[4℄ K. Fan, Some properties of onvex sets related to xed point theorems, Math. Ann., 266,
1984, p.519-537
[5℄ C.J.Himmelberg,Fixedpointsofompatmultifuntions,J.Math.Anal.Appl.,38,1972,
p.205-207
[6℄ W. H. Kim, Someappliationsof theKakutani xedpoint theorem,J. Math. Anal.Appl.,
121, 1987, p.119-122
[7℄ V. L. Klee, Onertainintersetionpropertiesof onvexsets,Canad. J.of Math.,3, 1951,
p.272-275
[8℄ M. Lassonde, Multi-appliations KKM en analyse non lineaire, These de Dotorat, Uni-
versite de Montreal, 1978
Departement de Mathematiques Appliquees
Universite BlaisePasal(Clermont-Ferrand)
63177 Aubiere Cedex
