PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2006
Calculer les sommes suivantes :
• S
1= 122 115 108 101 ... 11 18 25 + + + + − − −
• S
2= 12 3 17 3 22 3 ... 222 3 227 3 + + + + +
•
15 29 7 27 13 ... 1 1 1 2 12 3 12 6 12 6 4
S = + + + + − − −
Analyse
Les trois sommes proposées sont trois sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques.
Les calculs ne posent donc pas de problème dès lors que l’on parvient à déterminer, pour chaque somme, le nombre de termes qu’elle contient …
Résolution
1ère somme
On constate que 115 122 108 115 101 108− = − = − = − − −18
( )
11 = − − −25(
18)
= −7. On a donc affaire à une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison7 r= − .
On pose u0=122 et un = −25. La somme comporte alors n+1 termes.
Or, un =u0+nr. D’où : − =25 122+ × −n
( )
7 .Il vient alors : 122 25 147 7 7 21
n= + = = .
La somme S1 comporte donc un total de 22 termes et on a :
( )
1
122 25 22 97
22 11 97 1067
2 2
S = × + − = × = × =
1 1067
S =
2ème somme
On constate que 17 3 12 3− =22 3 17 3− =227 3−222 3=5 3.
On a donc affaire à une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 5 3
r= .
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2006
On pose u0=12 3 et un=227 3. La somme comporte alors n+1 termes.
Or, un =u0+nr. D’où : 227 3=12 3+ ×n 5 3. Il vient alors : 227 12 215
5 5 43
n= − = = .
La somme S2 comporte donc un total de 44 termes et on a :
2
12 3 227 3
44 22 239 3 5258 3
S = × +2 = × =
2 5258 3 S =
3
èmesomme
On constate que 29 5 7 29 27 7 13 27 1 1 1 1 1
12 2 3 12 12 3 6 12 6 12 4 6 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − = − = − = − − −⎜⎝ ⎟⎠= − − −⎜⎝ ⎟⎠= − . On a donc affaire à une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison
1 r= −12. On pose 0 5
u = 2 et 1
n 4
u = − . La somme comporte alors n+1 termes.
Or, un =u0+nr. D’où : 1 5 1 4 2 n ⎛ 12⎞
− = + × −⎜⎝ ⎟⎠. Il vient alors : 5 1 11
12 12 33
2 4 4
n=⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠× = × = .
La somme S1 comporte donc un total de 34 termes et on a :
3
5 1 9
9 17 9 153
2 4 4
34 34 34
2 2 8 4 4
S
⎛ ⎞
+ −⎜⎝ ⎟⎠ ×
= × = × = × = =
3
153 S = 4
