A235. Un trou de mémoire ***
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.( Institut des Ré- créations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché.
Zig : « Il s’agissait de déterminer la sommeS3des cubes de trois variablesx, yet z(x6y6z) dont on donnait la sommeS1, la somme des carrésS2et la somme des puissances quatrièmes S4. Je me rappelle la valeur deS1=2 mais j’ai un trou de mémoire sur les valeurs des deux autres sommes. Mon seul souvenir est que les trois sommes prises dans l’ordreS1,S2etS4formaient une progression géométrique.
Puce : « Il m’est impossible de résoudre le problème avec cet énoncé tronqué ».
Zig : « Tu as raison. Après le calcul deS3, l’examinateur m’a demandé de calculer de la même manière la sommeS5des puissances cinquièmes. Faute de temps,je ne n’y suis pas parvenu. Il fallait trouver 2102. »
Avec ces précisions, montrer que Puce est capable de calculerS3et par la même occasion de retrouverS2etS4?
Solution de Claude Felloneau
Soitq la raison de la progression géométrique. CommeS1,S2etS4sont positifs,qest positif.
S2=S21−2AavecA=x y+xz+y z, donc
A=1 2
¡S21−S2¢
=2−q.
S3=S31−3S1A+3B avecB=x y z, donc 3B=S3−8+6(2−q) d’où
B=1
3(S3+4−6q).
S4=S1S3−AS2+B S1, donc 2q2=2S3−2q(2−q)+2
3(S3+4−6q), d’où S3=3q−1 et B=1−q.
S5=S1S4−AS3+B S2, doncS5=4q2−(2−q)(3q−1)+2q(1−q), d’où S5=5q2−5q+2.
On a donc 5q2−5q+2=2102 doncq2−q−420=0 d’oùq=21 puisqueq>0.
On en déduit que :
S2=42, S3=62, S4=882
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