Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122)

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Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122)

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS

(2)

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéaire Cinématique et statique en petites déformations

Déplacement déformation

Le tenseur de déformation est la partie symétrique du gradient de déplacement

εij=¹

2(ui,j+uj,i)

∼ε=¹

2 ∇u+∇u^T Champ cinématiquement admissible :u=u^dsur∂Ω_u

Equations de compatibilité (ex : 6 composantes de déformation dérivent de 3 composantes de déplacement en coordonnées cartésiennes en 3D)

ε11,22+ε22,11−2ε12,12=0 ε11,23+ε23,11−ε12,13−ε13,12=0 . . .et permutations circulaires, soit :

εinmεljkεij,km=0 avecεijk =0 si 2 indices sont égaux

εijk =1 si permutation paire, =-1 si permutation impaire

(3)

Signification géométrique des termes du tenseur de déformation

∆V

V =Trε_∼=εii γ=2ε12

dx

dx ε22 dx ε11dx

2 1

1

2

(1+ )

dx2

γ

dx₁

Les termes diagonaux dési- gnent les allongements uni- taires dans la direction des axes

Les termes hors diagonale ca- ractérisent les rotations rela- tives des axes

Allongement unitaire dans la direction définie parn δ(n) =n.ε

∼.n=εijninj

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Contrainte

Forces de volume :f^ddans le volumeΩ Forces de surface :F^dsur la surface∂Ω_F Champ statiquement admissible :

dansΩ

divσ_∼+f^d=0 σij,j+f_i^d=0 sur∂ΩF

σ_∼.n=F^d σijn_j=F_i^d Partie sphérique du tenseur de contrainte :

S∼=¹

3trace(σ_∼)_∼I Sij=σll

3 δij

Déviateur associé au tenseur de contrainte : s∼=σ_∼−S

∼ s_ij =σij−σll

3 δij trace(s

∼)=s_ll=0

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Signification physique des termes du tenseur de contrainte x

x σ σ

σ

2

σ

22

12 21

11

1

Les termes diagonaux

caractérisent les efforts normaux aux facettes

Les termes hors diagonale caractérisent les efforts de cisaillement

Vecteur contrainte pour une facette de directionn T(n) =σ_∼.n T_i=σijn_j Contrainte normale sur la facette de directionn

T_n(n) =n.T=n.σ

∼.n=σijn_in_j Cisaillement dans une facette de directionn

T_t(n) =T−T_nn T_t= q

T²−T_n²

(6)

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéaire Efforts internes/externes

Travail des efforts intérieurs

Théorème de Stokes pour une fonction scalairefintégrée sur un volumeΩ,n étant la normale à∂Ω

Z

Ω

f_,jdV= Z

∂Ω

f njdS

Travail des efforts intérieurs (champ de contraintes réel, champ de déplacement cinématiquement admissible)

−W_i= Z

Ω

σijε⁰_ijdV = Z

Ω

σiju_i⁰_,_jdV

= Z

Ω

(σ_iju⁰_i)_,_j−σij,ju_i⁰ dV =

Z

∂Ω

σiju⁰_in_jdS− Z

Ω

σij,ju⁰_idV

(7)

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéaire Efforts internes/externes

Travail des efforts extérieurs

Travail des efforts extérieurs W_e=

Z

Ω

f_i^du⁰_idV+ Z

∂ΩF

F_i^du_i⁰dS

avecWi+We=0, il vient :

dansΩ:σij,j+f_i^d=0 sur∂ΩF:σijnj=F_i^d Ces relations sontindépendantes du matériau

On introduit uneloi de comportementen posant des relations entre contraintes et déformations

(8)

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéaire Potentiel élastique, élasticité linéaire

Potentiel élastique

Le comportement, éventuellement non linéaire, est gouverné par un potentiel, qui sera défini par sa densité volumique, dont la forme dépend de la variable choisie

Evolution entre deux états d’équilibre, avecσ_∼^∗=σ_∼, et_∼ε⁰=dε_∼, le potentiel d’élasticitéW(ε

∼)s’exprime, en élasticité linéaire : W(ε_∼) =¹

2_∼ε:C

≈ :_∼ε σ_∼=∂W

∂ε =C

≈ :_∼ε

Evolution entre deux états d’équilibre, avec_∼ε⁰=_∼ε, etσ_∼^∗=dσ_∼, le potentiel d’élasticité complémentaireW^∗(σ

∼)s’exprime, en élasticité linéaire : W^∗(σ_∼) =¹

2σ_∼:S

≈:σ_∼ ε_∼=∂W^∗

∂σ =S

≈:σ_∼ W etW^∗convexes etdW+dW^∗=d(σ_ijεij)

Et : ∂²W

∂εij∂εkl

=∂σij

∂εkl

=C_ijkl=∂σkl

∂εij

=C_klij

(9)

Elasticité linéaire

Elasticité linéaire (rigidité et souplesse) : σ∼=C

≈:ε σij=C_ijklεkl

∼ε=S

≈:σ εij=S_ijklσkl

Relations de symétrie :

C_ijkl=C_ijlk=C_jikl S_ijkl=S_ijlk=S_jikl Relations «énergétiques» :

C_ijkl=C_klij S_ijkl=S_klij

Anisotropie générale = 21 coeff ; orthotropie = 9 coeff ; symétrie cubique = 3 coeff ; matériau isotrope = 2 coefficients

Matériau isotrope :

s∼=2µε_∼^dev σll=3κεll

(10)

Elasticité isotrope

Module de cisaillementµtel queτ=µγ Module de compressibilitéκtel quep=¹

3σll=κ∆V V Module de YoungEtel queσ= Eεen traction simple

Coefficient de Poissonνtel queεT =−νεLen traction simple (εT, déformation transverse,εL, déformation longitudinale)

Contrainte en fonction des déformations σ_∼=λTrε_∼I

∼+2µε_∼ σij =λεllδij+2µεij

Déformations en fonction des contraintes

∼ε=¹+ν E σ_∼−ν

ETrσ_∼_∼I εij =¹+ν E σij−ν

Eεllδij

(11)

Relations entre les coefficients d’élasticité

Expressions deλ,µetκ λ= ^Eν

(1+ν)(1−2ν) ²µ= ^E

1+ν ³κ= ^E

1−2ν=3λ+2µ Expressions deEetν

E=µ(3λ+2µ)

λ+µ ν= λ

2(λ+µ) Typiquement :

ν≈1/3 2µ≈3E/4 κ≈E Caoutchouc :

ν≈1/2 µ≈E/3 κE

(12)

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéaire Etats de contrainte particuliers, solutions particulières

Traction simple

Etat de contrainte uniaxial, de manière généraleσ_∼=σ0n⊗n; par exemple dans un prisme d’axex₁,x₁étant la direction de traction, et les faces latérales étant libres :

σ_∼:=





σ0 0 0

0 0 0





Si la section vautS₀, la force en directionx₁est :F=σ0S₀ Dans le repèrex₁x₂x₃, le tenseur de déformation s’écrit :

∼ε:=





σ0/E 0 0

0 −νσ₀/E 0

0 0 −νσ₀/E





Si la longueur estL₀, l’allongement en directionx₁est :∆L=εL₀ Laraideurdu prisme vautR=F/∆L=ES0/L0

(13)

Cisaillement simple

−τ τ

τ τ

τ=σ12=2µε12

Chargement purement déviatorique

Exemple du cisaillement pur dans le planx₁x₂

σ_∼:=





0 τ 0

τ 0 0

0 0 0





Rotation deπ/4

σ_∼:=





τ 0 0

0 −τ 0

0 0 0





(14)

Flexion circulaire

Une seule composante au tenseur de contrainte, mais non uniforme dans l’espace :

σ_∼:=





σ11(x₃) 0 0

0 0 0





Par exemple :σ11=^Mx³

I , oùMest le moment de flexion autour dex2, et I=

Z

S

x₃²dSest le moment d’inertie de la section droite par rapport àx₂ Un prisme d’axex₁qui subit ce chargement présente une rotation relative des sections caractérisée par un angleθtel queθ,₁= ^M

EI

La déformation s’exprime en fonction de la courbureu₃_,₁₁par :ε11=−x₃u₃_,₁₁ Pour une section rectangulaire de hauteurhselonx3et de largeurbselonx2: I=^bh

3

12

(15)

Torsion

x₃

β

γ

Γcontour de la section Une génératrice devient une hélice

Déplacements

u₁=−αx₃x₂ u₂=αx₃x₁ u₃=αφ(x₁,x₂) Contrainte

σ13=µα(φ_,1−x2) =µαθ_,2 (1) σ23=µα(φ_,₂+x₁)=−µαθ_,₁ (2) avec∆φ=0 ∆θ+2=0 θ=0 surΓ Moment de torsion :

M= Z

S

(x₁σ23−x₂σ13)dS Module de rigidité à la torsion :

D=2µ Z

S

θdx1dx2=M/α

(16)

Torsion, section circulaire

Pour un prisme circulaire de longueurL, et de rayon extérieurR_e:β=αL En surface extérieureγ=2ε_θz=αR

Contrainte de cisaillementτ=µαr θs’exprime simplement :θ=¹

2(R²−x₁²−x₂²) Une section perpendiculaire àx3reste plane :φ=0 Tube de rayon intRi et de rayon extRe:D=µπ(R⁴_e−R_i⁴)

2

Tube mince de rayonRet d’épaisseure:D=2µπeR³=M/αdonc α= τ

µR = ^M

2πµeR³, etτ= ^M 2eπR²

(17)

Coordonnées cylindriques

On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés pare_r,u=ure_r

- la seule force de volume éventuellement non nulle estfre_r. Equilibre

σrr,r+σrr−σ_θθ

r +f_r=0 Déformation

εrr=ur,r εθθ=^u^r r soit :rεθθ,_r=εrr−εθθ

Forces de volume nulles, rayon intérieura, rayon extérieurb

σrr=A−^B

r² σ_θθ=A+^B r² u_r =Cr+D/r

(18)

Cylindre sous pression

Tube sous pression, pression intérieurep_i, pression extérieurep_e

A=^pⁱ^a

2−peb²

b²−a² B=(pi−pe)a²b² b²−a² Cylindre plein (pi =0,a=0,pe=p),

σrr=σθθ=p Pression interne (p_i=p,a,b),

σrr= ^a

2

b²−a²

1−^b

2

r²

p σ_θθ= ^a

2

b²−a²

1+^b

2

r²

p

Tube mince sous pression internep, rayonR, épaisseure, σrr négligeable σθθ=pR/e

(19)

Coordonnées sphériques

On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés pare_r,u=u_re_r

- la seule force de volume éventuellement non nulle estf_re_r. Equilibre

σrr,r+2σrr−σθθ

r +f_r=0 Déformation

εrr=ur,r εθθ=^u^r r soit :rεθθ,_r=εrr−εθθ

Forces de volume nulles, rayon intérieura, rayon extérieurb

σrr=A−^2B

r³ σ_θθ=σ_φφ=A+^B r³ u_r =Cr+D/r²

(20)

Sphère sous pression

Sphère sous pression, pression intérieurep_i, pression extérieurep_e

A=^pⁱ^a

3−peb³

b³−a³ B=(pi−pe)a³b³ 2(b³−a³) Sphère pleine (p_i=0,a=0,p_e=p),

σrr=σθθ=σφφ=p Pression interne (p_i=p,a,b),

σrr= ^a

3

b³−a³

1−^b

3

r³

p σθθ= ^a

3

b³−a³

1+ ^b

3

2r³

p Tube mince sous pression internep, rayonR, épaisseure,

σrrnégligeable σ_θθ=pR/2e