Enoncé D1968 (Diophante)
La saga des quatre centres, 2ème épisode
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable passant par Bcoupe le cercle en deux pointsP etQ. On étudie le lieu de chacun des centres des quatre cercles inscrit et exinscrits aux trois côtés du triangle AP Q.
1/ On suppose que le point A est à l’infini. Montrer que les 4 lieux sont inclus dans la réunion d’une quartique bicirculaire et de la droite de l’infini.
Préciser ses points doubles.
2/ Traiter séparément le cas où B est aussi à l’infini.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1/ SoitP Q une corde de (C) et A à l’infini, dans la direction que je no- terai (A). Les tangentes aux cercles exinscrits ont pour longueur le demi- périmètre du triangleAP Q, qui est infini ; cela envoie à l’infini les centres des cercles exinscrits dans les angles P et Q, les bissectrices correspon- dantes étant parallèles. Ces points parcourent la droite de l’infini en fonc- tion de l’orientation deP Q.
Les côtés AP et AQ sont deux droites parallèles ; les cercles inscrit et exinscrit dans l’angle A sont deux cercles égaux, tangents à P Q et aux deux droites, symétriques l’un de l’autre par rapport au milieuM deP Q.
Leurs centres I et J sont sur le cercle de diamètre P Q, car (IQ, IP) = π/2+(AQ, AP)/2 =π/2.P IQJ est un rectangle de centreM; la diagonale IJ est parallèle à (A) et équidistante deAP etAQ.
Soit Cxy le repère cartésien avec Cx parallèle à (A). Je prends le rayon de (C) comme unité de longueur.
Soit (Cx, CP) =t−u, (Cx, CQ) =t+ules angles définissant la cordeP Q sur (C). M P =M Q =M I =M J = sinu,CM = cosu, (Cx, CM) =t, d’où les coordonnées
M(cosucost,cosusint), puisI, J(x= cosucost±sinu, y= cosusint).
Soient (a, b) les coordonnées de B s’il n’est pas à l’infini. L’alignement BP Qdonne la conditionacost+bsint= cosu.
L’élimination de t et u entre les 3 relations qui les lient à x et y fournit une relation entrex ety, qui est l’équation du lieu deI etJ. Remarquons que, telles que sont écrites les coordonnées ci-dessus, l’échange deuet−u échangeP avec Q d’une part,I avec J d’autre part.
Une première relation éliminant u est, à partir de sinu = x−ycott, cosu=y/sint, (x−ycott)2+ (y/sint)2 = 1, soit
2y2cot2t−2xycott+x2+y2−1 = 0.
Les points (±1,0) satisfont cette relation quel que soitt; ils correspondent au cas oùP Q passe parC.
Une seconde relation éliminant u utilise B : y = sint(acost+bsint) et peut s’écrireycot2t−acott+y−b= 0.
Eliminer cot2tentre ces deux relations donne
2y(a−x) cott+x2−y2+ 2by−1 = 0, et comme la seconde relation s’écrit (2ycott−a)2+ 4y(y−b)−a2= 0, on a
f(x, y) = (x2−y2+ 2by−1−ax+a2)2+ (x−a)2(4y(y−b)−a2) = 0, ce qui est l’équation du lieu de I etJ.
On voit que les points (a, b±√
a2+b2−1) annulent à la fois f(x, y) et les dérivées partielles fx0 etfy0. Ce sont des points doubles de la quartique.
Symétriques l’un de l’autre par rapport à B, ils sont réels si a2 +b2 ≥1 (B extérieur à (C) ou sur (C)). Mais ils ne peuvent être atteints tous deux par I ouJ que si 1−b2 < a2 <2 + 2|b|.
SiB est sur (C), les deux points doubles se confondent en un point triple en B.
Les termes de plus haut degré sont (x2 +y2)2, ce qui caractérise une quartique bicirculaire. Néanmoins, en l’absence d’un facteur x2+y2 dans les termes du 3e degré, les points cycliques ne sont pas des points doubles1. Le lieu de I et J est intérieur ou tangent à l’ellipse x2 + 2y2 = 2. En effet, soit M(w, y) intérieur à (C) ; c’est le milieu d’une corde P Q per- pendiculaire à CM et de longueur 2p1−y2−w2; quandB appartient à la droite P Q, cette droite conduit aux points I, J(w±p1−y2−w2, y) contenus dans le segment |x| ≤p2−2y2. Cette limite est atteinte par I ou J quand 2w2 = 1−y2, c’est à dire quand M est une intersection du cercle de diamètre BC avec l’ellipse 2x2+y2 = 1.
2/ Si B est rejeté à l’infini, cela fixe t=π/2 + (Cx, CB). Le lieu de I et J est l’ellipse d’équation (x−ycott)2+ (y/sint)2 = 1.
Son centre est C; son diamètre parallèle à (A) est commun avec (C) ; la direction conjuguée de (A) est y = xtant; le diamètre conjugué est le diamètre de (C) perpendiculaire à CB. Les axes de l’ellipse sont les bissectrices de l’angle ACB, avec √
1±costcomme demi-axes.
1. Une quartique ayant 4 points doubles se décompose en deux coniques.
Exemple 1 :B extérieur à (C), un point double réel visible.
Outre la courbe visible en rouge, la quartique comporte une autre branche, courbe fermée passant par le point double symétrique du point double visible par rapport à B. Mais cette branche, qui correspond à des points P imaginaires (intersection de (C) avec une droite non sécante) n’a pas été construite par GeoGebra, le lieu y étant paramétré par la position de P (point réel) sur (C).
Exemple 2 : B intérieur à (C), aucun point double réel.
Les points réels (1,0) et (−1,0) ne peuvent appartenir à une même branche de la quartique, car l’intersection avecx=a(les deux points doubles) est imaginaire.
L’absence de contact réel entre la quartique et l’ellipse enveloppe (tireté violet) est liée à la configuration particulière de la figure : B y est assez proche deCpour que le cercle de diamètreBCsoit complètement intérieur à l’ellipse 2x2+y2= 1.
Exemple 3 :B sur (C), un point triple enB.
Quand B vient en (0,±1), B est à la fois point de contact avec l’ellipse enveloppe et point de rebroussement avec tangentes selonBC.
