D1865. Un sangaku de 1781

D1865. Un sangaku de 1781

Il s’agit de la construction qui m`ene au th´eor`eme de Th´ebault-Sawayama, ´etudi´e en d´etail par Jean-Louis Aym´e¹

Notations :

- le cercleΓ1de centre Iest le cercle inscrit dans DBC.

- le cercleΓ2de centre J et de rayonrest le cercle inscrit dans ABC.

- le cercleΓ^∗de centreLet de rayonr^∗est le cercle tangent `aAB / AC enQ et Q<sup>0</sup>, et enKau cercle Ψcirconscrit `a DBC.

-P est le milieu de l’arcBC contenantD.

Jean-Louis Aym´e a montr´e que :

- la corde QQ⁰passe par I (et est perpendiculaire `a la bissectrice int´erieure de BAC, c`\ adAJ),

- la droiteP K passe parJ, -C, K,I etQ⁰ sont co-cycliques.

Il reste `a montrer que la perpendiculaire `a DI passant par J (rep´er´ee sur la figure parQQ⁰⁰) passe effectivement par Q.

Consid´eronsQen tant que sym´etrique deQ⁰ par rapport `a AJ.

1cf A NEW MIXTILINEAR INCIRCLE ADVENTURE III, dans forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200325.pdf

1

B,K,QetJ sont co-cycliques. En effet,KP est la bissectrice deCKB, donc :\ CKB\ = π−BP C\ =π−Db

P KB\ = π/2−D/2b et BQJ\ =π/2 +D/2b

Posons 2δ = DBA. L’angle entre les bissectrices\ DI et AJ est δ et aussi J QI[ =δ. Par sym´etrie, IQ\⁰J =δ=IQ\⁰⁰J.

J etQ⁰⁰ sont sur le cercleCKIQ⁰. Le sym´etrique deQ⁰⁰ par rapport `aDest bien Q.

Nous pouvons maintenant exprimer facilement la relation entrer etr^∗ `a l’aide des demi-angles enAet D.

Il reste `a transformer la relation entrer^∗et r:

tg(α) =N BM\ = 2d

a tg(β) =

s(p−b)(p−c) p(p−a) Formule de H´eron : Aire(ABC) =r p=p

p(p−a)(p−b)(p−c) et donc :

r tg(α)tg(β) = 2d a

s(p−b)(p−c) p(p−a)

s(p−b)(p−c) p(p−a)

r p = 2d(p−b)(p−c) a p

2