''HARD BUT IMPORTANT'' SANGAKU PROBLEM
Hyogo prefecture
Seiyo Sanpo by
Fujita Sadasuke sometimes
called
Teisi Fujita (1734-1807)
Jean-Louis AYME 1
A
B C
N M
Résumé. L'auteur présente une preuve originale et directe d'un ''hard but important San Gaku problem'' datant de 1781. Un point d'histoire termine cet article.
Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author presents an original and direct proof of an "hard but important San Gaku problem" dating from 1781. A point of history finish with this article.
The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.
1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/04/2019 ; [email protected]
Sommaire
A. Parcours imagé mais non imaginé 3
B. Trois lemmes 4
1. Un cercle catalytique 4
2. Une remarquable perpendiculaire 7
3. Ayme's way of solving 9
C. San Gaku de 1781 11
D. Un point d'histoire 13
A. PARCOURS IMAGÉ MAIS
NON IMAGINÉ
B, P, I et R sont cocycliques (RI) est perpendiculaire à (A+I+)
r* - r = r.tan A+/2 . tan A/2 r* = r + 2.d.(p-b)(p-c)/a.p.
A
B C
P
Q R
0
1*
I A+
I+
A
B C
P
Q R
0
1*
I
A
B C
P
O*
Q
R
0
1*
I A+
U I+
1 r*
r
A
B C
N M
0
1*
B. TROIS LEMMES
1. Un cercle catalytique 2
VISION Figure :
A
B C
P
Q R
0
1*
I
Traits : ABC un triangle,
0 un cercle passant par B et C tel que A soit intérieur, 1* le cercle tangent à (AB), (AC) et intérieurement à 0, P, Q, R les points de contact de 1* resp. avec (O), (AC), (AB)
et I le centre de ABC.
Donné : B, P, I et R sont cocycliques.
Commentaire : c'est un cas particulier du lemme ''catalytique'' 3 conduisant au résultat de Victor Protassov lorsque les deux cercles sont tangents.
2 Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 10/04/019 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1819265_four_concyclic_points
3 Ayme J.-L., Un résultat remarquable de V. Protassov, G.G.G. vol. 2, p. 2-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
VISUALISATION
A
B C
P
Q
R
0
1*
P'
C' B'
1b
1c
• Notons 1b le cercle passant par B, P, R, 1c le cercle passant par C, P, Q,
P’ le second point d'intersection de 1b et 1c, B’ le second point d'intersection de (BP’) avec 1c et C’ le second point d'intersection de (CP’) avec1b.
• D'après Auguste Miquel ''Le théorème des trois cercles concourants'' 4 appliqué à
(1) 1c, 1b et 1*, B', Q et R sont alignés.
(2) 1b, 1c et 1*, C', R et Q sont alignés.
• Conclusion partielle : d'après l'axiome d'incidence Ia, B', C', R et Q sont alignés.
4 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 6-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
A
B C
P
Q
R
0
1*
P', I C' B'
1b
1c
• D'après Henri Lebesgues ''Le théorème des cinq cercles'' 5
appliqué à 1b, 1c, 1* et au cercle point P, B, C', B' et C sont cocycliques.
• Une chasse angulaire :
* d'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', <CBB' = <CC'B'
* par une autre écriture, <CC'B' = <P'C'B'
* le quadrilatère BP'C'R étant cyclique, <P'C'B' = <P'BR
* par une autre écriture, <P'BR = <P'BA
* par transitivité de la relation =, <CBB' = <P'BA.
• Conclusion partielle : (BP') est la B-bissectrice intérieure de ABC.
• Mutatis mutandis, nous montrerions que (CP') est la C-bissectrice intérieure de ABC ;
en conséquence, P' et I sont confondus.
• Conclusion : B, P, I et R sont cocycliques.
Note historique : ce résultat 6 a été reproposé sur le site Mathlinks en 2005.
Les solutions ont recours soit à l'inversion, soit à un calcul de rapports.
5 Ayme J.-L., Du théorème de Reim au théorème des six cercles, G.G.G. vol. 2, p. 9-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
6 Yetti, Concyclic points with triangle incenter, AoPS du 20/06/2005 ; http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=41667.
2. Une remarquable perpendiculaire 7
VISION Figure :
A
B C
P
Q R
0
1*
I A+
I+
Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons A+ le second point d'intersection de (AB) avec 0
et I+ le centre du triangle A+BC.
Donné : (RI) est perpendiculaire à (A+I+).
VISUALISATION
A
B C
P
Q R
0
1*
I A+
I+
1b T
• Notons T le milieu de l'arc BA+C.
• D'après ''La corde généralisée de Lauvernay'' 8, P, I et T sont alignés.
7 Ayme J.-L., Two perpendicular lines, AoPS du 08/04/2019 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1818723_two_perpendicular_lines
8 Ayme J.-L., Cercles segmentaires...G.G.G. vol.16, p. 47 ; htp://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
• D'après B. 1, B, P, I et R sont cocycliques.
• Notons 1b ce cercle.
• Les cercles 1b et 0, les points de base B et P, les moniennes (RBA+) et (IPT),
conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (RI) // (A+T).
• (A+T) étant la A+-bissecrtice extérieure de A+BC, (A+T)⊥(A+I+) ;
en conséquence, (RI) ) ⊥(A+I+).
• Conclusion : (RI) est perpendiculaire à (A+I+).
3. Ayme's way of solving
VISION Figure :
A
B C
P
O*
Q
R
0
1*
I A+
U I+
1 r*
r
Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons U le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de I,
1 le cercle inscrit à ABC, I, O* les centres resp. de 1, 1*
et r, r* les rayons resp. de 1, 1*.
Donné : r* - r = r.tan A+/2 . tan A/2.
VISUALISATION
A
B C
P
O*
Q
R
0
1*
I A+
U I+
1 r*
r
• D'après B. 2, (RI) ⊥(A+I+) ;
• Une chasse angulaire :
* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <A+/2 = <O*RI
* par ''Angles alternes-internes'', <O*RI = <UIR
* par transitivité de =, <A+/2 = <UIR.
• Une chasse de rapports :
* par homothétie de ARO* et AUI, r*/AR = r/AU
* par linéarité, r/AU = (r*-r)/(AR-AU)
* par simplification, (r*- r)/(AR-AU) = (r*-r)/UR
* par transitivité de =, r/AU = (r*-r)/UR
* par une autre écriture, r* - r = r.UR/AU
* par division haut et bas par r, r* - r = r.tan A+/2 / cotan A/2.
• Conclusion : par trigonométrie, r* - r = r.tan A+/2 . tan A/2.
C. SAN GAKU 9 DE 1781 Hyogo prefecture
VISION Figure :
A
B C
N M
0
1*
Traits : ABC un triangle,
a, b, c les longueurs resp. de BC, CA, AB, 2.p le périmètre de ABC,
0 un cercle passant par B et C tel que A soit intérieur, 1 le cercle inscrit à ABC,
1* le cercle tangent à (AB), (AC) et intérieurement à 0, r, r* les rayons resp. de 1, 1*,
M le milieu de [BC],
N le milieu de l'arc BC ne contenant pas A
et d la longueur MN.
Donné : r* = r + 2.d.(p-b)(p-c)/a.p.
VISUALISATION
9 a difficult sangaku, AoPS du 31/01/2008 ;
https://artofproblemsolving.com/community/q1h186103p1024396 Fukagawa H. and Pedoe D., Problem 2. 2. 8. p. 28,
Japanese Temple Geometry Problems San Gaku, Winnipeg Canada (1989) Fondanaiche P., D1865 ;
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/geometrie/d1-geometrie-plane-triangles-et-cercles/4449-d1865-une-sangaku-de- 1781
A
B C
P
O*
Q
R
0
1*
I A+
U I+
r* 1 r
M
N d
a/2 a/2
• Les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment.
• Relations entre angles * côtés :
* par ''Angles inscrits'', <A+/2 = <NBC
* par définition, tan A+/2 = d/(a/2) = 2d/a.
• Relations entre angles * côtés * aire :
* par définition, tan A/2 = r/AU
* par culture, AU = p – a
* d'après B. 3., r* - r = r.tan A+/2 . tan A/2.
* par substitution, r* - r = r. 2d/a . r/p-a
* par multiplication haut et bas par p, r* - r = r. 2d/a . rp/p(p-a)
* par Héron d'Alexandrie , r* - r = r. 2d/a . rp . (p-b)(p-c) /S²
* par S = pr, r* - r = r. 2d/a . (p-b)(p-c) /pr
* par réarrangement, r* - r = 2d/a . (p-b)(p-c) /p.
• Conclusion : par transposition de r, r* = r + 2.d.(p-b)(p-c)/a.p.
D. UN POINT D'HISTOIRE
10
This problem comes from a third volume of a 1781 collection Seiyo Sanpo by Teisi Fujita (1734-1807). A proof appears in 2008 in the site Mathlinks by the New York physicist Vladimir Zajic 11 who posted it under the pseudonym ''Yetti''using the Sawayama's Lemma 12.
An alternative proof based on the result and that does not requirethe Sawayama's Lemma was found by James Marshall Unger 13, Professor of East Asian Languages & Literatures (The Ohio State University, Columbus, Ohio) appears in 2010 in the sites Forum Geometricorum and Cut-The-Knot.
It is a difficult problem, but of a great importance, because of its application to the solution of many Japanese temple geometry problems.
For more precision, J. M. Marshall has written :
10 http://www.wasan.jp/index.html
11 a difficult sangaku, AoPS du 31/01/2008 ;
https://artofproblemsolving.com/community/q1h186103p1024396
12 Ayme J.-L., Sawayama and Thébault's theorem, Forum Geometricorum 3 (2003) 225-29
13 Unger J. M., A New Proof of a''Hard But Importan'' Sangaku Problem, Forum Geometricorum, Vol. 10 (08/02/2010) 7–13 ; http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201002.pdf
Unger J. M., A Minimally Algebraic Solution to a Famous Sangaku Problem ; https://www.cut-the-knot.org/triangle/Unger_2.2.8_proof.pdf
Finally, it should be noted that we can find a library of San Gaku at this address :
http://www.wasan.jp/index.html
