A471 : Dans le dédale des moyennes arithmétiques
Pb1 : Des boules numérotées de 1 à n avec 100 < n < 1 000 000 sont réparties dans deux sacs A et B. Le sac A contient une boule dont le numéro désigne le nombre de boules dans A. Après transfert de cette boule dans B, les moyennes arithmétiques respectives des numéros des deux sacs A et B s’accroissent respectivement de 1/3 et de 1/2 en prenant des valeurs entières. Déterminer n.
Pb2 : Trouver le plus petit entier n > 1 tel que la moyenne arithmétique des carrés des n premiers entiers naturels est un carré parfait.Pour les plus courageux calculer la formule qui donne la séquence des nombres entiers naturels k tels que la moyenne arithmétique des carrés des k premiers entiers naturels est un carré parfait.
1 - Si x et y désignent les moyennes initiales respectives des numéros des sacs A et B , et a le nombre de boules dans le sac A, nous avons :
xa=(x+1/3)(a-1)+a, donc x=(4a-1)/3 ; y(n-a)+a=(y+1/2)(n+1-a), soit y=3a/2-(n+1)/2 2xa+2y(n-a)=n(n+1), 2a(4a-1)/3+(n-a)(3a-(n+1))=n(n+1), -a2+(12n+1)a=6n(n+1) Pour que cette équation en a ait une solution entière, il faut que le discriminant soit le carré d’un entier d2=(12n+1)2-24n(n+1)=120n2+1 ; les solutions de cette équation de Fermat - Pell se déduisent du développement en fraction continue de √120=(10;1,20) (premier terme 10, puis périodique 1, 20) : avec m1=1, n1=1, on calcule
mk+1=mk+20nk, nk+1=mk+21nk, puis dk=mk+10nk, et a=(12nk+1-dk)/2 (car a<n) m
n d a=(12n+1-d)/2
x+1/3
1 21 461 10121 222201 4878301
1 22 483 10604 232805 5111106
11 241 5291 116161 2550251 55989361
1 12 253 5544 121705 2671956
4/3 16 1012/3 7392 486820/3 3562603
Pour 100<n<1000000, la seule valeur convenable est n=10604, a=5544.
2 - La somme des carrés des n premiers entiers est 1+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6; soit a tel que 6a2=6(1+...+n2)/n=(n+1)(2n+1). Posons b=4n+3, 4(n+1)=b+1, 2(2n+1)=b-1, 48a2=b2-1 ; cette équation de Fermat - Pell se résout à partir du développement en fraction continue de √48=(6; 1,12); les solutions sont de la forme b=6c+a, (b-3 étant divisible par 4) ; la première est quasi-triviale : a=1, c=1 donc b=7 et n=1, puis
1/(1+1/(12+a/c)=(12c+a)/(13c+a), mais a=13, c=14 donne b-3=94, non divisible par 4;
1/(1+1/(12+(12c+a)/(13c+a))=(168c+13a)/(181c+14a), donc a=181, c=195, b=1351 et n=337.
Plus généralement, à partir des relations Ai+1=168Ci+13Ai, Ci+1=181Ci+14Ai
et de A0=1, C0=1, le i-ième nombre cherché est donné par ni=(6Ci+Ai-3)/4, soit la suite 337, 65521, 12710881, etc...
