A615. Jeux de partitions
Je choisis un entier k et je fais l’inventaire du nombre p(k) des partitions de cet entier obtenues en additionnant les entiers 1,2,…, k pris dans l’ordre croissant avec ou sans
répétition. Ainsi avec l’entier 5, j’ai 7 partitions possibles : 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 5 = 1 + 1 + 1 + 2, 5 = 1 + 1 + 3, 5 = 1 + 2 + 2, 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 et 5 = 5, soit p(5) = 7.
Dans un tableau à double entrée où figure en première colonne la liste complète de ces p(k) partitions, j’établis cinq colonnes qui contiennent respectivement pour chaque partition:
- le nombre de chiffres 1,
- le nombre de nombres distincts, - le nombre de signes + utilisés,
- le décompte des partitions qui comportent des nombres tous distincts, - le décompte des partitions qui comportent des nombres tous impairs.
Je calcule enfin les totaux correspondant à ces cinq colonnes.
Par exemple, pour k = 5, j’obtiens le tableau suivant :
J’observe que les totaux des deux premières colonnes « nombre de 1 » et « nombre de nombres distincts » sont identiques, à savoir 12. De même le nombre de partitions avec des nombres tous distincts est identique au nombre de partitions avec des nombres tous impairs, à savoir 3.
Q1) Démontrer que ces deux propriétés sont vraies quel que soit l’entier k.
Q2) J’établis le tableau pour un certain entier k tel que p(k) est égal à l’unité près à la différence entre le nombre total de signes + utilisés et le nombre total de 1 contenus dans toutes les partitions. Que vaut k ?
Q3) Pour cette valeur de k, je décide d’écrire les partitions avec les entiers pris dans un ordre quelconque, combien y a-t-il de partitions supplémentaires par rapport à p(k) ?
Solution proposée par Paul Voyer:
Q1) Les différents paramètres sont donnés par OEIS
k
A000041 Nombre de partitions p(k)
A000070 Nombre de 1 Nombre de composants
différents
A076276 Nombre de
signes +
A000009 Nombre de partitions : - composants tous impairs
- composants tous différents
1 1 1 0 1
2 2 2 1 1
3 3 4 3 2
4 5 7 7 2
5 7 12 13 3
6 11 19 24 4
7 15 30 39 5
8 22 45 64 6
9 31 67 98 8
10 42 97 150 10
Le nombre de 1 et le nombre de composants différents sont donnés par la même liste.
Le nombre de partitions avec des composants tous distincts et le nombre de partitions avec composants tous impairs sont donnés par la même liste.
Q2) k=9, p(9)=31, nombre de + = 98, nombre de 1 = 67, différence = 31= p(k)
Q3) Le nombre total de partitions obtenues sans contrainte d'ordre étant 2k-1, soit 256*, il y a 256-31= 225 partitions supplémentaires.
* Car l'entier k=9 peut s'écrire "1s1s1s1s1s1s1s1s1", chaque "séparateur" s entre les "1" peut exister ou non, il y en a virtuellement k-1=8.
