Th´eorie analytique des nombres: la fonction ζ.

Th ´eorie analytique des nombres:

la fonction ζ .

Pierre Rouchon

Centre Automatique et Syst `emes Mines ParisTech, PSL Research University

[email protected]

Novembre 2017

Plan

1 Fonctions g ´en ´eratrices

Jean Dieudonn ´e dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples

2 La fonctionζ Produit Eulerien

R ´epartition des nombres premiers

Le th ´eor `eme de la progression arithm ´etique Compl ´ement : Prolongement analytique deζ

Quelques r ´ef ´erences

Excellent r ´esum ´e dans le premier chapitre du cours ENST de Z ´emor.

“Que sais-je” sur les nombres premiers (un ´eclairage probabiliste ainsi qu’une preuve ´el ´ementaire mais assez difficile du th ´eor `eme des nombres premiers).

Excellent livre de vulgarisation de Jean-Paul Delahaye sur les nombres premiers aux ´editions Belin.

l’Encyclopeadia Universalis comporte d’excellents articles sur des sujets connexes.

Le livre classique d ˆu `a Hardy et Wright.

Les carnets de Ramanujan . . .

Jean Dieudonn ´e dans l’Encyclopeadia Universalis

“ Ce qu’on appelle la th ´eorie analytique des nombres ne peut pas ˆetre consid ´er ´e comme une th ´eorie math ´ematique au sens usuel qu’on donne `a ces mots, c’est- `a-dire un syst `eme organis ´e de d ´efinitions et de th ´eor `emes g ´en ´eraux accompagn ´e d’applications `a des exemples importants. Il s’agit au contraire ici presque exclusivement de probl `emes particuliers qui se posent en arithm ´etique et qui, pour la plupart, consistent `a ´etudier l’allure `a l’infini de certaines fonctions d ´efinies par des conditions de nature arithm ´etique : par exemple le nombreπ(x)de nombres premiersp≤x ou le nombreU(n)des solutions de l’ ´equation(x₁)²+ (x₂)²=nen nombres entiers(x₁,x₂). Depuis 1830, on a imagin ´e, pour r ´esoudre ces questions, des m ´ethodes d’une extraordinaire ing ´eniosit ´e qui consistent `aassocier aux fonctions arithm ´etiques ´etudi ´ees desfonctions analytiquesauxquelles on peut appliquer lath ´eorie de Cauchyou l’analyse harmonique ; mais, malgr ´e les succ `es spectaculaires obtenus par ces m ´ethodes, on ne peut dire que l’on en comprenne vraiment les raisons profondes. ”

Exemples de fonctions g ´en ´eratrices

La m ´ethode consiste `a associer `a une suite d’entiersa_n(d ´efinis par une construction arithm ´etique (nombre de solutions d’une

´equation d ´ependant den, cardinal d’un certain ensemble d’entiers plus petits quen, ...)une s ´erie formelle.

Le plus simple est de consid ´erer la s ´erie S(X) =X

n≥0

a_nXⁿ

mais il faut ˆetre souvent plus malin comme nous le verrons avec les nombres premierspn.

Suite `a des manipulations astucieuses on propose une autre

´ecriture de cette s ´erie que l’on manipule alors avec les r `egles usuelles de calcul sur les fonctions de la variable complexe (d ´eriv ´ee, r ´esidu, int ´egrale de Cauchy, ...).

Les informations sur lesan, pour desgrands indicesnsont reli ´ees auxsingularit ´esde la fonction analytique attach ´ee `a la s ´erieS.

a_nest le nombre de solutions en entiers≥0 dex+2y+3z =n.

Alors

X

n≥0

a_nXⁿ= 1

(1−X)(1−X²)(1−X³).

car 1

1−X =1+X +X²+X³+...

Maintenant pour calculera_n, il vaut mieux passer par la d ´ecomposition en ´el ´ements simples(j =exp(2ıπ/3))

1

(1−X)(1−X²)(1−X³) = 1

6(1−X)³+ 1

4(1−X)²+ 17 72(1−X)

+ 1

8(1+X)+ 1

9(1−jX)+ 1 9(1−j²X).

Commean= ^d_dX^nSn(0)/(n!)on calcule cette d ´eriv ´een-i `eme sur la d ´ecomposition en ´el ´ements simples

En utilisant l’identit ´e dⁿ

dXⁿ

1 (1−βX)^α

X=0

=βⁿα(α+1)...(α+n−1) on obtient

an= (n+1)(n+2)

12 +n+1

4 +17

72+ (−1)ⁿ

8 +jⁿ+j²ⁿ

9 .

Si nous nous int ´eressons `a uneestimation dea_npourngrand, il suffit de consid ´erer lep ˆole de degr ´e le plus ´elev ´e enX =1, les autres donnant des contributions ennau plus. Ainsi, la structure des singularit ´es deS(X), i.e., de ces p ˆoles, donnent les

asymptotiques deanpourngrand.

G ´en ´eralisation

Exo:Soientr entiers>0,q₁, ...,q_r, sans diviseurs communs autre que 1. Notonsanle nombre de solutions en entiers strictement positifs (x₁, ...,x_r)del’ ´equation diophantienne

q₁x₁+...+qrxr =n.

1 Monter que la s ´erie g ´en ´eratrice est S(X) =X

n≥0

anXⁿ= 1

(1−X^q1)...(1−X^qr)

2 En d ´eduire, `a partir du p ˆole de plus haut degr ´e, que a_n ∼ n^r−1

q₁...qr(r −1)!.

Voici un autre exemple donn ´e parJacobi `a l’aide de sa th ´eorie des fonctions elliptiques. Le probl `eme consiste `a chercher le nombre de solutionsa<sub>n</sub>en nombres entiers (positifs ou n ´egatifs) d’une ´equation `a r inconnues :

x₁²+...+x_r²=n

Ce nombrea_nest le coefficient deXⁿdans la s ´erie de(F(X))^r o `u F(X) = X

m∈Z

X^m2.

Cette s ´erie converge pourX ∈Cde module plus petit que 1.

Le nombre de partitionsp(n)d’un entiern≥0 est par d ´efinition le nombre de solutions en entiersx_i ≥0 de

x₁+2x₂+...+mx_m+...=n o `u le nombre d’inconnuesmn’est pas limit ´e

La s ´erie g ´en ´eratrice, convergente pour|X|<1, est donn ´ee par : S(X) =

∞

X

n=0

p(n)Xⁿ=

∞

Y

m=1

(1−X^m)⁻¹.

p(n) `a l’aide de la formule de Cauchyp(n) = _2ıπ¹ H

C S(z)

zⁿ⁺¹dz o `uC est un lacet entourant 0 `a l’int ´erieur du disque unit ´e.

En ´evaluant cette int ´egrale selon un contourCbien choisi `a l’int ´erieur du disque unit ´e mais proche le cercle unit ´e, Hardy et Ramanujan ont montr ´e quep(n)∼ ¹

4√ 3nexp

π

q2n 3

.

Produit Eulerien

On notePl’ensemble des nombres premiers et(p_n)n≥1les nombres premiers rang ´es par ordre croissant (p₁=2,p₂=3,p₃=5, . . . ) :Euler a “cod ´e”la suite desp_ndans une fonction de la variable complexes

ζ(s) =

+∞

X

n=1

1 n^s.

Le lien entreζet les nombres premiers vient ducalcul g ´enialsuivant : Y

p∈P

1 1−_p¹s

=Y

p∈P

(1+ 1 p^s + 1

p^2s + 1 p^3s +...).

En d ´eveloppant ce produit infini, nous voyons qu’il fait intervenir

1 p^α₁^1s... ¹

p_k^{αk s} pourk entier etα_i entier etpi premier.

C’est maintenant en jouant sur les deux formes deζ, las ´erie de Dirichlet P1/n^setle produit eul ´erienQ

1/(1−1/p^s)que l’on obtient des informations sur lesgrands nombres premiers.

D `es 1737, Euler avait utilis ´eζ comme fonction de la variable r ´eelle spour ´etudier la suitep_n.

L’ ´equivalentπ(x)∼x/log(x), le nombre dep_nplus petits que l’entierx, avait ´et ´e conjectur ´e par Gauss et Legendre `a la fin du XVIII `eme si ´ecle.

Il a fallut cependant attendre le milieu du XIX `eme si `ecle pour que Tschebyschef ´etablisse par des moyens arithm ´etiques

´el ´ementaires qu’il existe deux constantesAetB, 0<A<1<B telles que, pourx assez grand

A x

log(x) < π(x)<B x log(x).

Ce n’est qu’en 1896 que Hadamard et de la Vall ´ee-Poussin d ´emontr `erent ind ´ependamment le th ´eor `eme sur des nombres premiers, i.e., le fait queπ(x)∼x/log(x)lorsquex 7→+∞.

Pour cela, ils se sont fortement appuy ´es sur le c ´el `ebre article de Riemann en 1859 qui montrait queζadmettait un prolongement m ´eromorphe pours∈Cet aussi qui mettait en ´evidence de fac¸on largement conjecturale le lien entre la distribution des z ´eros deζ et celle des nombres premiers.

La relation entre la fonctionζet lafonction enti `ereξqui v ´erifie l’ ´equation fonctionnelleξ(s)≡ξ(1−s):

ξ(0)

∞

Y

1

1− s

ρ_n

=ξ(s) = Π(s/2)(s−1)π^−s/2ζ(s).

o `uΠ(s) = Γ(s+1) =R+∞

0 e^−xx^sdx (Π(n) =n!pournentier).

ξ code les z ´eros non triviauxρndeζ. On pense (hypoth `ese de Riemann) que<(ρ_n) =1/2, pour toutn.

R ´epartition des nombres premiers

Th ´eor `eme des nombres premiers :On noteπ(x), le nombre des entiers premiers et plus petits quex >0. Alors, lorsquex tend vers+∞,π(x)∼x/log(x). Ceci est ´equivalent `a dire que p_n∼nlog(n)lorsquentend vers+∞.

Nous allons donner une ”preuve” heuristique et suggestive en utilisant la fonctionζ(s)comme produit eul ´erien

X

n≥1

1/n^s=ζ(s) =Y

n≥1

(1−1/p_n^s)⁻¹ pours >1 r ´eel tendant vers 1.

L’id ´ee essentielle est de prendre le log : log(ζ(s)) =−X

n≥1

log(1−1/p_n^s)

comme∀y ∈[0,1/2], y ≤ −log(1−y)≤y +y²on a X

n≥1

1

p_n^s ≤log(ζ(s))≤X

n≥1

1 p^s_n +X

n≥1

1 p_n^2s. Comme lims7→1⁺ζ(s) = +∞la s ´erie,P

1/pnest aussi divergente.

Donc il n’existe pas de constantesAet >0 telles que p_n≥An¹⁺ pour toutn.

Comme chacun des termes du produit est plus grand que 1, on a ζ(s)≥Q

pn≤N(1−1/p^s_n)⁻¹. Avec(1−1/p^s_n)⁻¹=P

k≥01/p^ks_n on voit que Y

pn≤N

(1−1/p_n^s)⁻¹= X

n∈EN

1/n^s

o `uENest l’ensemble des entiers dont les diviseurs premiers valent au plusN. Il est clair queENcontient au moins{1, ...,N}.

Celasugg `ere(mais ne prouve pas) queP

1≤n≤N1/net Q

pn≤N(1−1/pn)⁻¹sontsimilaires pourN grand.

Comme

log



 X

1≤n≤N

1/n



=log(log(N)) +O(1) et

log



 Y

pn≤N

(1−1/p_n)⁻¹



= X

pn≤N

1/p_n+O(1)

cela noussugg `erequeP

pn≤N1/p_n∼log(log(N)).

Sinest premier alorsπ(n)−π(n−1) =1, sinon π(n)−π(n−1) =0. Donc

X

pn≤N

1/p_n= X

1≤n≤N

(π(n+1)−π(n))/(n+1)

En r ´eorganisant cette somme et commeπ(N+1)≤N, on voit que X

pn≤N

1/p_n= X

1≤n≤N

π(n)/(n(n+1)) +O(1) o `uNest grand pour d ´efinir lesO(1). Mais aussi on a

log(log(N)) = X

1≤n≤N−1

1/(nlog(n)) +O(1).

Ainsi il est tentant de conjecturer que

π(n)/(n(n+1))∼1/(nlog(n) soitπ(n)∼n/log(n).

Le th ´eor `eme de la progression arithm ´etique

Progression arithm ´etique :Soientaetmdes entiers strictement positifs et premiers entre eux. Il existe une infinit ´e de nombres premiers de la formea+kmaveck entier positif.

En fait ce th ´eor `eme admet une formulation nettement plus

pr ´ecise : les nombres premiers se distribuent uniform ´ement parmi lesϕ(m)classes associ ´ees aux nombresaplus petits quemet premiers avec lui.

Si on noteπa(x)le nombre d’entiers premiers plus petits quex et de la formea+km, alors on a l’asymptotique suivante pour x 7→+∞:

πa(x)∼ 1

ϕ(m)π(x) = x

ϕ(m)log(x).

La philosophie g ´en ´erale sous-jacente `a de nombreuses conjectures sur les nombres premiers :tout ce qui n’est pas trivialement interdit est en fait r ´ealis ´e:

nombres premiers jumeaux :il existe une infinit ´e de nombres premiersptels quep+2 soit aussi premier.

nombres premiers cousins :il existe une infinit ´e de nombres premiersptels quep+4 etp+6 soient aussi premiers.

C. Goldbach,un contemporain d’Euler, avait ´emis en 1742 la conjecture que tout entier pair est somme de deux nombres premiers et tout entier impair somme de trois nombres premiers.

Preuve du th ´eor `eme de la progression arithm ´etique pourm=4.

Deux valeurs possibles poura: 1 ou 3.

Soient les deux fonctionsχ0etχ1deNvers{−1,0,1}d ´efinies par

χ₀(n) =

(1 sin=1 ou 3 mod(4)

0 sinon χ₁(n) =







1 sin=1 mod(4)

−1 sin=3 mod(4) 0 sinon

χ₀etχ₁sont p ´eriodiques (p ´eriode 4) etmultiplicatives, i.e., χ0(nm) =χ0(n)χ₀(m)etχ1(nm) =χ1(n)χ₁(m)pour tout couple d’entiers(n,m).

Cette propri ´et ´e est essentielle pour associer `a chacune de ces fonctions multiplicatives une s ´erie de Dirichlet qui s’exprime sous la forme d’unproduit eul ´erien avec les fonctionsζ g ´en ´eralis ´ees.

On poseζ0(s) =P

n≥1 χ0(n)

n^s , ζ1(s) =P

n≥1 χ1(n)

n^s , . Consid ´erons maintenant les produits suivants :

Y

p∈P

1 1−^χ0_p^(p)s

et Y

p∈P

1 1−^χ1_p^(p)s

.

Commeχ₀etχ₁sontmultiplicatives,on voit en d ´eveloppant ces produits que

ζ₀(s) =Y

p∈P

1 1−^χ0_p^(p)s

, ζ₁(s) =Y

p∈P

1 1−^χ1_p^(p)s

.

Avec−log(1−y) =y+w(y)y²pour|y| ≤1/2 avecw r ´eguli `ere : log(ζ₀) =X

p∈P

χ0(p)

p^s +h₀(s), log(ζ₁) =X

p∈P

χ1(p)

p^s +h₁(s) o `uh<sub>0</sub>eth<sub>1</sub>sont des fonctions r ´eguli `eres deset d ´efinies ens=1.

On a

ζ₀(s) =X

k≥0

1

(4k+1)^s + 1 (4k +3)^s

.

Ainsi, lorsquesest r ´eel et tend vers 1 par valeur sup ´erieure,ζ₀(s) tend vers+∞.

Par contreζ1reste born ´e autour des=1 car ζ₁(s) =X

k≥0

1

(4k +1)^s − 1 (4k+3)^s

o `u <sub>(4k+1)</sub><sup>1</sup> s −<sub>(4k+3)</sub><sup>1</sup> <sub>s</sub> est ´equivalent lorsquek tend vers l’infini `a

s

2^2s+1k^s+1. De plus chaque terme est strictement positif, donc ζ1(1) =P

k≥0 2

(4k+1)(4k+3) >0.

Notons maintenant P₁(s) = X

p∈P p=1 mod(4)

1

p^s, P₃(s) = X p∈P p=3 mod(4)

1 p^s.

Ainsi

log(ζ0(s)) =P1(s) +P3(s) +h0(s) log(ζ₁(s)) =P₁(s)−P₃(s) +h₁(s)

Comme,ζ₁(s),h₀eth₁sont r ´eguli `eres ens=1,ζ₁(1)>0et lim_s7→1+ζ0(s) = +∞on en d ´eduit n ´ecessairement que lim_s7→1⁺P₁(s) = +∞et lim_s7→1⁺P₃(s) = +∞.

La m ´ethode que nous avons utilis ´ee est en fait g ´en ´eral. Donnons en une br `eve esquisse.

Pour un entierm>2 on a en faitϕ(m)choix possibles poura, soit a∈Z^∗m. Sur le groupe multiplicatifZ^∗mon d ´efinit l’analogue des fonctionsχ₀etχ₁, en faitϕ(m)fonctionsχ₀, ...,χ_ϕ(m)−1fonctions multiplicativesdistinctes mais `a valeurs dans le cercle unit ´e du plan complexe : ce sont lescaract `eres de Dirichlet. On note toujours le caract `ere trivial ´egal `a 1 surZ^∗mparχ₀. Les autres caract `eresχ_k,k =1, ..., ϕ(m)−1 se distinguent deχ₀par le fait que

X

a∈Z^∗n

χ_k(a) =0.

Pourk 6=0, les s ´eries de Dirichlet ζ_k(t) =X

n≥1

χ_k(n) n^s

sont tr `es diff ´erentes autour des=1 de la s ´erieζ<sub>0</sub>associ ´ee `aχ₀. Contrairement `aζ₀qui diverge ens=1, ces s ´eriesζ_k sontdes

“s ´eries altern ´ees”(utiliser le crit `ere d’Abel) et ainsi convergent en s=1.

Maintenant,chaqueζ_js’exprime comme un produit eul ´erien.

log(ζ_j) =X

p∈P

χ_j(p)

p^s +h_j(s),

o `uh<sub>j</sub> est une fonction r ´eguli `ere des d ´efinie autour des=1.

On pose, poura∈Z^∗m,

P_a(s) = X p∈P p=amod(m)

1 p^s.

Alors on a

log(ζ_j(s)) =h_j(s) + X

a∈Z^∗n

χ_j(a)Pa(s).

Des calculs simples sur les caract `eres montrent que la matrice ϕ(m)×ϕ(m)d’ ´el ´ements χ_j(a)

pour 0≤j ≤ϕ(m)−1 eta∈Z^∗m

est inversible, d’inverse sa conjugu ´ee (hermitienne) divis ´ee par ϕ(m).

LesP_a(s)s’expriment comme des combinaisons lin ´eaires `a coefficients non nuls deslog(ζ_j)et desh_j.

Lapartie dure de la preuveest de montrer qu’aucune des valeurs prises ens=1 par lesζ_k (k ∈ {1, ..., ϕ(m)−1}) n’est nulle : ζk(1)6=0.

Commeζ₀(s)est la seule `a diverger ens =1, on en d ´eduit alors que chacun desP_a(s)diverge ens=1. Et donc{p∈P|p=a mod(m)}est infini pour touta∈Z^∗m.

On comprend un peu mieux pourquoi la localisation des z ´eros des fonctions de Dirichletζ_j est si importante.La conjecture de

Riemann g ´en ´eralis ´ee affirme que les z ´eros ( `a partie r ´eelle positive) desζ<sub>j</sub> se situent tous sur la droite parall `ele `a l’axe imaginaire<(s) =1/2.

Prolongement analytique deΓ

FonctionΓ:Π(s) = Γ(s+1) =R+∞

0 e^−xx^sdx Pour<(s)>−1 l’int ´egraleR+∞

0 e^−xx^sdxest absolument convergente et d ´efinit la fonctionΠ(s)(Γ(s) = Π(s−1)) sur le demi-plan complexe<(s)>−1 avec pourn∈N:Π(n) =n!.

Une simple int ´egration par partie montre que

Π(s+1) = (s+1)Π(s)pour<(s)>−1. On prolonge alors sans ambigu¨ıt ´eΠ(s)pour touts∈Csauf ens=−n,n∈N,n≥1 o `uΠ admet des p ˆoles de multiplicit ´e 1 :Π(s) = (s+1)...(s+n)^Π(s+n) .

Ainsi la fonctionΠ(s)est d ´efinie surCsauf pour les entiers strictement n ´egatifs o `u elle admet des p ˆoles simples.

Fonctionζ(s) =P

n≥1n^−s pour<(s)>1. Dans son fameux article de 1859, Riemann propose unprolongement similaireen partant de P

n>1n^−s au lieu deR+∞

0 e^−xx^sdx, mais cette fois le prolongement est possible pours∈Cavecs6=1 o `u on a un p ˆole simple.

De tels prolongements ne sont pas toujours possibles: la fonction

log(z) =log(|z|) +iarg(z)bien d ´efinie pour<(z)>0 avec arg(z)∈]−^π₂,^π₂[ n’admet pas de prolongement sur tout le plan complexe priv ´e de l’origine.

Prolongement analytique deζ La s ´erieP

n≥1n^−s estabsolument convergentepour tout complexesd `es que<(s)>1. Elle d ´efinit la fonctionζ(s)sur le demi-plan<(s)>1.

AvecR+∞

0 e^−nxx^s−1dx = ^Π(s−1)_ns on montre que, pour<(s)>1 : Π(s−1)

∞

X

n=1

1 n^s

!

= Z +∞

0

x^s−1 e^x−1dx Avec lad ´etermination standard du logsurC/R⁻:

logz =logr +iθpourz =re^ıθavecr >0 etθ∈]−π, π[on a, via leth ´eor `eme de Cauchy,

Z

γ

(−z)^s e^z−1

dz

z =2isin(πs) Z +∞

0

x^s−1 e^x −1dx

o `uγ est lecontoursuivant parcouru dans le sens direct :z =t+i pourt r ´eel de+∞ `a 0 ; ensuitez =e^it pourt r ´eel allant deπ/2 `a 3π/2 ; enfinz =t−i pourt r ´eel de 0 `a+∞.

Pour<(s)>1 : Z

γ

(−z)^s e^z−1

dz

z =2isin(πs)Π(s−1)

∞

X

n=1

1 n^s

!

Avec l’identit ´e sin(πs) = _{Π(s)Π(−s)}^πs on a ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n^s = Π(−s) 2iπ

Z

γ

(−z)^s e^z−1

dz z .

Compte tenu de la forme du contourγ (entoureR⁺), la fonction s 7→R

γ (−z)^s e^z−1

dz

z est d ´efinie pour touts∈C: c’est unefonction enti `ere des. On peut ainsi utiliser la formule pr ´ec ´edente pourprolongerζ(s) lorsque<(s)≤1 ets 6=1. Autour des=1,ζ(s)explose commeΠen

−1 (p ˆole simple).