Barrage de la Tamise - Corrigé

(1)

Barrage de la Tamise - Corrigé

On cherche les coordonnées du centre de gravité G du solide S par rapport au point O tel que OG x_G.xr y_G.yr z_G.zr

+ +

= .

Le système possède 2 plans de symétrie perpendiculaires, le centre de gravité est sur la droite intersection des 2 plans de symétrie.

→ zG

2

−L

= et xG = 0

On décompose le système en solides élémentaires (les solides élémentaires possèdent les deux mêmes plans de symétrie identifiés précédemment).

α xr

yr zr

R

L O

+

α xr

yr zr

R

L O

α xr

yr zr

R L

O

Solide 1 ayant pour centre de gravité G1

Solide 2 ayant pour centre de gravité G2

Il y a un plan de symétrie supplémentaire sur le solide 1.

→ Il y a 3 plans de symétrie perpendiculaires le centre de gravité de S1 est à (On connait déjà les coordonnées de G1 sur xr

et zr ) : α

−

= R.cos

y_G₁ (si e est considéré comme négligeable).

Il n’y a pas de plan de symétrie supplémentaires pour le solide 2.

On utilise la définition ⁼

∫

) S ( i i

i

dm . OP OG .

m que l’on projette sur l’axe yr (On connait déjà les coordonnées de G2 sur xr

et zr ) :

α

xr yr

R O

P

yP dm

θ

∫

=

) 2 S (

p 2 G

2.y y .dm

m

avec m₂=ρ.e.L.(2.R.α) et θ

ρ

= .e.L.R.d dm

∫

α α

−

θ θ

−

=

α.y R.cos .Rd .

R .

2 _G₂

α

−

=

α.y 2.R .sin .

R .

2 _G₂ ²

α

− α

= sin . R y_G₂ On utilise enfin la formule du barycentre ⁼

∑

i i tot.OG m.OGi

M que l’on projette sur l’axe yr :

∑

=

i i i G

tot.y m.y

M → (m₁+m₂).y_G=m₁.y_G₁+m₂.y_G₂ avec m₁=ρ.e.L.(2.R.sinα) et m₂=ρ.e.L.(2.R.α)

(2)

α + α

=− α

ρ + α

ρ α

α α ρ

− α α

ρ

= − +

= +

sin ) cos 1 .(

sin . R . )

sin . R . 2 .(

L . e . ) . R . 2 .(

L . e .

.sin R ).

. R . 2 .(

L . e . cos . R ).

sin . R . 2 .(

L . e . )

m m (

y . m y . y m

2 1

2 G 2 1 G 1 G

A.N. : 8,42

180 . sin60 180

. 60

180) . cos60 1 180(

. sin60 4 , 12 . sin

) cos 1 .(

sin . R

y_G . π+ π =−

+ π

− π α =

+ α

α + α

=− m

La construction du modèle sous Solidworks permet de déterminer rapidement les coordonnées du centre de gravité.

Les 1 cm d’écart obtenus entre les calculs et le modèle Solidworks proviennent de l’hypothèse e << R faite pour les calculs.

Modélisation des actions mécaniques agissant sur un barrage poids - Corrigé

Q.1. Le barrage présente un plan de symétrie (Oxr,zr

). Le centre de gravité est donc dans ce plan.

On projette ⁼

∫

) S ( i i

i

dm . OP OG .

m sur les axes choisis :

∫

=

) S (

p G i

i

i x .dm

x .

m ou ⁼

∫

) S (

p G i

i

i z .dm

z . m

→ ⁼

∫∫

z x

G x.dx.dz x

2 . h . a

→ ⁼

∫ [ ]

⁻ ⁺

x

h x a. h 0 G x.dx.z x

2 . h . a

→ ⁼

∫

^_^⁻ ⁺ ^_^

x

2

G .x h.x .dx

a x h

2 . h . a

→

2 a

3 x

. h x h . x

h. .

a 



+

−

= → h.a h.a

x h. .

a ² ²

+

−

= → a

a a . x =−2 + =

(3)

Par analogie on trouve : 3 z_G=h

∫

=

) S (

p G i

i

i z .dm

z .

m → ⁼

∫∫

z x

G z.dx.dz z

2 . h .

a → ⁼

∫ [ ]

⁻ ⁺

x

a z h. a 0 G z.dz.x z

2 . h .

a → ⁼

∫

^_^⁻ ⁺ ^_^

x 2

G .z a.z .dz

h z a

2 . h . a

→

h

0 2 3

G 2

.z a z h. . 3 z a 2 .

h .

a 



 



− +

= →

2 h . a 3 h . z a 2 .

h .

a ² ²

G=− + →

3 h h 3

h . z_G=−2 + =

Q.2.

{ }







−

→ = 0

z . g . F M

G barrage

g r

r

y 3. .a g . M z . g . M z 3. x a 3. z a . g . M OG M

M_O₍_g _barrage₎ _G₍_g _barrage₎ r r r r r

=

−

∧



 



 +

=

−

∧ +

= _→

→

{ }











−

→ = .y

3 .a g . M

z . g . M F

O barrage

g r

r

Q.3.

Modèle local

dz . dy . x ).

M ( p F

dr_eau _barrage _i r

→ =

Modèle local :

Sur chaque élément de surface dS=dy.dz situé autour d’un point Mi de la paroi s’exerce un effort élémentaire

dz . dy . x ).

M ( p F

→ =

z . z y . y

OM_i r r

+

= avec ^z∈

[ ]

⁰^,^h ^et ^∈_^⁻ _^

2 ,l 2 y l

Les lois de l’hydrostatique permettent d’écrire )

z h .(

g . ) M (

p _i =ρ_eau −

Modèle global :

{ }

















∧

=

∫

→

) S (

barrage eau i )

barrage eau ( A

) S (

barrage eau barrage

eau

A barrage

eau M AM dF

F d R

F r

r

(A point quelconque).

2 l.

z z . h . x . g . dy . dz ).

z h ( . x . g . dz . dy . x ).

z h .(

g . F

d R

h

0 2 eau

2 / l

2 / l h

0 eau )

S (

eau )

S (

barrage eau barrage

eau 



 



 −

ρ

=

− ρ

=

− ρ

=

∫ ∫ ∫ ∫

−

→

r r

x .l 2 . .h g . R

2 eau barrage eau

ρ r

→ = → R_eau_→_barrage correspond à la poussée de l’eau.

Le point pour lequel le moment résultant est nul dans le plan (Oxr,zr

). Calcul du moment résultant pour un point Q appartenant au plan (Oxr,zr

) :

∫

^∧^ρ ⁻ ⁼ ⁺ ^∧^ρ ⁻

→ =

) S (

eau i )

S (

eau i )

barrage eau (

O QM .g.(h z).x.dy.dz (QO OM) .g.(h z).x.dy.dz

M r r

∫

⁻ ⁺ ⁺ ^∧^ρ ⁻

→ =

) S (

eau Q

) barrage eau (

O ( z .z y.y z.z) .g.(h z).x.dy.dz

M r r r r

( )

∫

⁻^ρ ⁻ ⁺^ρ ⁻ ⁻

→ =

) S (

Q eau

eau )

barrage eau (

O .g.(h z).y.z.dy.dz .g.(h z).(z z ).y.dy.dz

M r r

(4)

∫

−

→ =−ρ − +ρ − −

2 / l

2 / l Q h

0 eau 2

/ l

2 / l h

0 eau )

barrage eau (

O .g.z. (h z).dz. y.dy .g.y. (h z).(z z ).dz. y.dy

M r r

dz . ) z . z z z . h z . h ( . y .l . g . M

h

0

Q 2 Q eau

) barrage eau (

O ^→ ⁼^ρ ^r

∫

⁻ ⁻ ⁺

h

0 Q 2 3 Q 2 eau

) barrage eau (

O .z

2 z 3 z z . z . 2 h .z h . y .l . g .

M 



 



 − − +

ρ

→ =

r

y . z 2 . h 3 z h . 2 h .l h . g .

M _Q

2 3 Q 2 3 eau ) barrage eau ( O

r







 − − +

ρ

→ =

y . z 2 . h 6 .l h . g .

M _Q

2 3 eau ) barrage eau ( O

r







 −

ρ

→ = → Il existe un point Q pour lequel M_Q₍_eau _barrage₎ 0

=r

→

→ pour 3

z_Q =h et y_Q=0 → M_Q₍_eau _barrage₎ 0

=r

→ →

{ }













= ρ

= =

→

→ →

0 M

x .l 2 . .h g . F R

) barrage eau ( Q

2 eau barrage eau

Q barrage

eau r

r

Modèle local Modèle global

dz . dy . x ).

M ( p F

→ =

3 z_Q =h

x .l 2. .h g . R

2 eau barrage eau

ρ r

→ = Q

Q.4. ..lx

2 .h g . R

2 eau barrage eau

ρ r

→ = → R_eau_→_barrage correspond à la poussée de l’eau.

A.N. : _→ = × × ×80=

2 81 30 , 9 1000 R

2 barrage

eau 265.10⁶ N < 300.10⁶ N → cahier des charges ok.

Modélisation des actions mécaniques de contact sur un palier lisse - Corrigé

Q.1.

{ }

















∧

=

∫

→

) S (

1 2 )

1 2 ( O

) S (

1 2 1 2

O 1

2 M OM dF

F d R

F r

r

où dFr₂ ₁ p.dS.rr

→ = avec dS=R.dθ.dz et rr cos .xr sin .yr θ + θ

=

Calcul de la résultante :

∫

−

π

−

− π

π

−

→

→ = = θ θ + θ = θ θ + θ θ

2 / L

2 / Ll 2

/ l

2 / l 2

/ L

2 / Ll 2

/ l

2 / l )

S ( )

S (

1 2 1

2 dF p.R.d .dz.(cos .x sin .y) p.R.x cos .d . dz p.R.y sin .d . dz

R r r r r r

x . L . R . p . 2

R₂ ₁ r

→ = (On remarque que 2.R.L correspond à la surface projetée du ½ cylindre).

(5)

Calcul du moment résultant : On a OM R.rr z.zr +

=

∫

^∧ ^θ ⁼ ⁺ ^∧ ^θ ⁼ ^θ

→ =

) S ( )

S ( )

S ( ) 1 2 (

O OM p.R.d .dz.r (R.r z.z) p.R.d .dz.r p.R.d .z.dz.v

M r r r r r

∫

−

π

−

− π

π

−

→ = θ − θ + θ = − θ θ + θ θ

2 / L

2 / Ll 2

/ l

2 / l 2

/ L

2 / Ll 2

/ l

2 / l )

S ( ) 1 2 (

O p.R.d .z.dz.( sin .x cos .y) p.R.x sin .d . z.dz p.R.y cos .d . z.dz

M r r r r

0 M_O₍₂ ₁₎

=r

→

D’où :

{ }













=

= =

→

→ →

0 M

x . L . R . p . 2 F R

) 1 2 ( O 1 2 O 1

2 r

r