E683 – La copie semblable [*** à la main]
Un triangle ABC est déjà tracé au tableau à la craie blanche. Zig et Puce jouent au jeu suivant : l’un après l’autre, Zig désigne un point sur le tableau puis Puce le marque à la craie rouge ou à la craie bleue. Zig est gagnant si,avec un nombre maximum de six points coloriés en rouge ou en bleu, il existe un triangle qui est semblable à ABC et dont les sommets sont de la même couleur. Sinon Puce est vainqueur.
Selon la forme du triangle ABC, qui a une stratégie une gagnante ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Les triangles pour lesquels Zig a une stratégie gagnante sont les triangles isocèles et les triangles rectangles.
Pour les triangles isocèles on voit qu’avec au maximum 4 coups Zig peut tracer un triangle isocèle semblable au modèle dont la base a deux points de même couleur, disons B.
On a donc le sommet dénommé 1 R et la base, points 2 et 3 B. On trace alors à partir de 2 un triangle isocèle semblable de sommet 2 et de côté (23). Le deuxième côté issu de ce sommet est (24) avec 4 sur le côté (13). Le point 4 ne peut être colorié qu’en rouge sinon le triangle 234 aurait tous ses sommets en Bleu. On fait la même opération à partir du sommet 3 vers le côté (12). On obtient le point 5 qui ne peut être coloré en Bleu, sinon (315° serait monocolore Bleu, mais qui ne peut non plus être coloré en Rouge puisqu’alors le triangle (145) serait monocolore Rouge. Zig gagne donc. En tenant compte de la remarque liminaire sur les 4 points nécessaires à la figure de départ, on a bien 6 points pour obtenir la figure souhaitée.
Le cas particulier du triangle équilatéral doit être examiné, puisque la stratégie précédente ferait coïncider les points 4 et 5 avec le point 1. Dans ce cas avec trois points on obtient un triangle équilatéral avec un sommet Rouge 1 et deux sommets bleus B 2 et 3. On prolonge alors le côté 23 et construisons un point 4 tel que Le segment 34 est de même longueur que celle du côté du triangle équilatéral déjà construit.
Si Puce colore ce point en Rouge, il suffit de prendre le symétrique de 1 par rapport à (23) pour obtenir le point 5. Celui ne peut être coloré en Bleu sinon (235) serait monocolore Bleu, il ne peut non plus être coloré Rouge, sinon (145) serait monocolore Rouge.
D’autre part si Puce colore 4 en bleu, je construis un autre triangle équilatéral 345 avec le point 5 du même côté que le point 1. Ce point ne peut être colorié qu’en Rouge sinon le triangle (345) serait monocolore Rouge. Je construis alors au-dessus de la ligne 15, un point 6 qui forme deux triangles équilatéraux (615) et (624). 6 ne peut être colorié ni en Bleu sinon 624 serait monocolore Bleu, ni en Rouge sinon (615) serait monocolore Rouge.
Pour les triangles rectangles, on constate aisément qu’avec 4 points on obtient un triangle rectangle semblable au modèle avec l’hypoténuse monocolore . Soit 1 le sommet Rouge et l’hypoténuse (23) Bleue. On place alors le point 4 pour former le rectangle avec (23) et (14) comme diagonales. Le point 4 ne peut être que Rouge, sinon (234) serait monocolore Bleu et donc semblable . On construit alors le symétrique de 4 par rapport à (23) soit le point 5. Ceci conduit à la présence de deux triangles rectangle semblables (235) et (145). Le point 5 ne peut donc être ni colorié en Bleu (235) ni en Rouge (145) . CQFD.
