I. Equations du premier degré à une inconnue : Activité :

(1)

I. Equations du premier degré à une inconnue :

Activité : (révision)résoudre dans

les équations suivantes :

³

2 3

x   x ; 3 4 2

2 3

x  x   ; 3 1 3

2 3 1

x   x 

II. Equations du second degré dans IR :

1) Equation produit nul ou du type x²=a : Activité :(révision):

résoudre les équations suivantes :

x ² 4   0

;

x ² 2  x  0

;

x ² 2  x   1 0 2) Equation du second degré :

Définition : une équation du second degré à une inconnue

x

(nombre réel)

est une équation de

la forme : ax

²

 bx   c 0

avec

a 

^ ,

b 

et

c 

.

Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de x pour les quelles

ax

²

 bx   c 0

.

Activité1 : On considère le trinôme du second degré : P x ( )  ax

²

 bx  c

avec

a 

^,

b 

et

c 

montrer que :

( ) ( )² ^{² 4}

2 4 ²

b b ac

P x a x

a a

  

    

Définitions : l’expression ² 4

( )²

2 4 ²

b b ac

a x

a a

    

 

  est appelée la forme canonique du trinôme

de second degré ax

²

 bx  c

.

Le nombre

b ² 4  ac

est appelé discriminant de l’équation du second degré

ax

²

 bx   c 0

ou du trinôme

ax

²

 bx  c

on le note (lire ‘’delta’’).

Activité2 : (le cas général)

Résoudre l’équation ax

²

 bx   c 0

avec

a  0

en utilisant la forme canonique

Conclusion: Trois cas se présentent :

Si   0

alors l’équation a deux solutions (ou racines)

2 x b

a

  



ou

2 x b

a

  



.

Si   0

alors l’équation a une seule solution (ou racine) 2 x b

a

  .

Si   0

alors l’équation n’a pas de solution .

Exemple : on considère l’équation x ² 3  x   2 0

on a

a  1

,

b   3

et

c  2

donc le discriminant de cette équation est

   ( 3)² 4 1 2       9 8 1

d’où l’équation a deux solutions :

³ ¹ ² 1

2 2 1 2

x b

a

   

   

 ^ou

3 1 4

2 2 1 2 2

x b

a

   

   



Application : résoudre dans

les équations suivantes :

x ²    x 1 0

;

 6 ² x    x 1 0

;

x ² 7  x   12

;

3 ² x    x 4 0

Remarque : il n’est pas toujours utile de calculer le discriminant, c’est le cas des équations suivantes : x ² 4   0

;

x ² 2  x  0

;

x ² 2  x   1 0

1

COURS

Professeur : Rachid BELEMOU Lycée : Oued Eddahab

Niveau : TCT - BIOF Année : 2017-2018

Equations , inéquations et systèmes

(2)

3) La somme et le produit des racines d’une équation du second degré :

Activité : on considère l’équation

ax

²

 bx   c 0

avec

a  0

supposons que cette équation admet deux solutions

x

₁ et

x

₂ écrire

x

₁

 x

₂ et

x

₁

 x

₂ en fonction de

a

,

b

et

c

Conclusion : si une équation du second degré admet deux solutions x

₁ et

x

₂ alors : ₁ ₂ b

x x a

  et ₁ ₂ c

x x

 a

Remarque : il est utile de retenir que si on connait a priori une racine alors on peut obtenir à l’aide de ces formules la valeur de la deuxième.

Théorème : si a

et

c

n’ont pas le même signe alors l’équation

ax

²

 bx   c 0

admet deux solutions

distinctes ; la réciproque n’est pas toujours vraie .

Application : on considère l’équation : x ²  2 x   3 0 sans calculer 

,

1)

montrer que cette équation admet deux solutions distinctes

x

₁ et

x

₂.

2) calculer x

₁

 x

₂ et déterminer une racine évidente puis déduire la deuxième racine.

4) Factorisation d’un Trinôme du second degré :

Activité : on considère le trinôme du second degré :

P x ( )  ax

²

 bx  c

avec

a  0

en utilisant la forme canonique, factoriser

P x ( )

Conclusion : Trois cas se présentent :

Si   0

alors

P x ( )  a x (  x

₁

)( x  x

₂

)

avec

x

₁ et

x

₂ les deux racines de

P x ( ) Si   0

alors

P x ( )  a x (  x

₁

)

² avec

x

₁ est la seule racine de

P x ( )

Si   0

alors on ne peut pas factoriser

P x ( ) 5) Le signe d’un Trinôme du second degré :

Activité : on considère le trinôme du second degré :

P x ( )  ax

²

 bx  c

avec

a  0

déterminer le signe de

P x ( )

suivant les valeurs de .

6) Les inéquations du second degré :

Activité :

résoudre dans

les inéquations suivantes :

x ² 3  x   2 0

;

 6 x

³

 x

²

  x 0

III. Les systèmes d’équations

^:

1) Equations du premier degré à deux inconnues :

Activité1 :

résoudre dans

²

l’équation 2 x   y 1

Conclusion: - résoudre une équation du premier degré à deux inconnues c’est déterminer tous

les couples ( ; ) x y

qui vérifient cette équation.

- Cette équation a donc une infinité de solutions donc impossible d’écrire l’ensemble de ses solutions en extension, on peut l’écrire seulement en compréhension :

 ^{( ; )} ^{² /} ^{1 2} 

S  x y  y   x

- graphiquement l’ensemble des solutions de cette équation est l’ensemble des couples des coordonnées des points de la droite d’équation _.

2 x   y 1

2

COURS

Equations , inéquations et systèmes

(3)

2) Systèmes d’équations du premier degré à deux inconnues :

Activité1 : résoudre dans

²

par la méthode de substitution les deux systèmes suivants :

3 7 11

5 7

x y

 

   

 ^;

2 4

1 x y x y

  

   



- résoudre un système de deux équations à deux inconnues c’est déterminer tous les couples ( ; ) x y

qui vérifient simultanément les deux équations.

Activité2 : résoudre par la méthode des combinaisons linéaires les deux systèmes suivants :

² ³ ⁸

3 4 5

x y

 

   

 ; 7 2 8

3 4 18

x y

 

  



Activité3 : résoudre par la méthode des combinaisons linéaires le système :

' ' '

ax by c a x b y c

 

  



Le nombre réel ab '  a b '

est appelé le déterminant du système et on le note  ( ' '

' ' a b ab a b

a b

    )

Deux cas se présentent Si   0

alors (^x ;^y)

  est la seule solution du système avec :

et ' '

' '

y

a c ac a c

a c

    Si

  0

alors

0  

_y et

0  

_x

donc deux sous cas

S  

ou les deux équations sont équivalentes il suffit de résoudre une des deux.

2 par la méthode des déterminants les deux systèmes :

2 4

1 x y x y

  

   

 ^;

2

2 2 3

x y

  

  



Application:

résoudre dans

Conclusion :

Méthode de Kramer ramer

3) Régionnement du plan :

COURS

' '

x

c b cb c b

c b

   

Equations , inéquations et systèmes

3

(4)

Exercice1 :

Résoudre en utilisant la forme canonique les deux équations suivantes :

4 x

2

 3 x   1 0 et ^ ² ^x

²

^ ⁵ ^x ^{ } ^{3 0}

Exercice2:

1. Résoudre dans les équations suivantes :

2 x

2

3 x 9 0

    ;

^x²^{ }⁽¹ ²⁾^x^ ²^⁰

; ⁴ ^x

²

^ ² ^x ^{ } ^{1 0} 2. a) Résoudre dans l équation : ^x

²

^ ⁵ ^x ^{ } ^{4 0}

b) Déduire les solutions des deux équations suivantes : ^x

⁴

^ ⁵ ^x

²

^{ } ^{4 0} et ^x ^ ⁵ ^x ^{ } ^{4 0} 3. a) Résoudre dans l équation : ^x

²

^ ² ^x ^{ } ^{8 0}

b) Déduire les solutions des deux équations suivantes : ^x

²

^ ² ^x ^{ } ^{8 0} et ^x

⁴

^ ² ^x

²

^{ } ^{8 0} 4. Résoudre l équation : ² ^x ^ ⁷ ^x ^{ } ^{4 0}

Exercice3 :

1. Résoudre dans , suivant les valeurs du paramètre

^m

, chacune des deux équations :

3 0

mx  x

et

^mx^{  }^m ^{1 2}^x

2. Résoudre dans , suivant les valeurs de

^m

, les deux équations :

2 2

(3 ) 3 0

mx   m x  m  et ^mx

²

^ ⁽² ^m ^ ¹⁾ ^x ^{ } ^{2 0}

Exercice4:

On considère l équation : ² ^x

²

^ ³ ^x ^{ } ^{1 0}

1. Sans calculer le discriminant, montrer que cette équation a deux solutions distinctes ^x

¹

et ^x

²

.

2. a) Calculer ^x

¹

^ ^x

²

et ^x

¹

^ ^x

²

sans calculer ^x

¹

et ^x

²

. b) Déduire la valeur de

x1²x2²

et de

1 2

1 1 x  x

Exercice5:

On considère le polynôme : ^{P x} ^{( )} ^{ } ² ^x

³

^ ³ ^x

²

^ ¹¹ ^x ^ ⁶ 1. Trouver le polynôme ^{Q x} ^{( )} tel que : ^{P x} ^{( )} ^ ⁽ ^x ^ ^{3) ( )} ^{Q x} 2. Résoudre dans l équation : ^ ² ^x

²

^ ³ ^x ^{ } ^{2 0}

3. Résoudre dans l équation : ^{P x} ^{( )} ^ ⁰

4. Déduire les solutions de l équation :

^²^x ³^³^x²^¹¹^x ^{ }^{6 0}

Exercices

Equations , inéquations et systèmes

(5)

Exercice1 :

Résoudre dans les inéquations suivantes :

5 x

2

 2 x   7 0 ; ^ ² ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{3 0} ; ^ ³ ^x

²

^ ⁷ ^x ^{ } ^{5 0}

Exercice2 :

1. Résoudre dans l équation : ² ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{3 0} 2. Résoudre dans l inéquation : ² ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{3 0}

3. Déduire dans les solutions de l inéquation : ²⁽² ^x ^{ } ¹⁾

²

⁵⁽² ^x ^{  } ^{1) 3 0}

Exercice3 :

1. Résoudre dans les équations : ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{4 0} ; ^x

²

^ ⁴ ^x ^{ } ^{3 0}

2

2 0

x    x ; ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{6 0} 2. Résoudre dans les inéquations :

2 2

( x   5 x 4)( x  4 x   3) 0 ;

2²

2 0 5 6 x x

x x

  

  ;

² 2

4 3 4 0

x x

x

  



Exercice4:

On considère le polynôme : ^{P x} ^{( ) 6} ^ ^x

³

^ ¹³ ^x

²

^ ⁴ 1. Montrer que ² est une racine de ^{P x} ^{( )}

2. Résoudre dans l équation ^{P x} ^{( ) 0} ^ puis l inéquation : ^{P x} ^{( ) 0} ^ 3. Résoudre dans l inéquation : ^{P x} ^{( ) 3 (} ^ ^{x x}

²

^ ²⁾

Exercice5:

On considère le polynôme : ^{P x} ^{( )} ^{ } ^x

⁴

⁶ ^x

³

^ ¹¹ ^x

²

^ ⁶ ^x 1. Montrer que ^{P x} ^{( )} est divisible par ⁽ ^x ^ ¹⁾

2. Ecrire ^{P x} ^{( )} sous forme d un produit de deux polynômes du premier degré et d un polynôme de second degré

3. Résoudre l équation : ^x

²

^{  } ⁵ ^x ^{6 0} 4. Résoudre les deux inéquations :

( ) 0

P x  ; ^{P x} ^{( )} ^ ^{x x} ⁽

²

^{ } ⁵ ^x ⁶⁾

Exercices

Equations , inéquations et systèmes

(6)

Exercice1 :

1. On considère l équation :

^{( )}^E ^²^x²^ ²^x ^{ }² ⁰

a) Sans calculer le discriminant, montrer que l équation ^{( )} ^E admet deux solutions distinctes ^ et ^ b) Sans déterminer ^ et ^ , calculer ^{ } ^ , ^{ } ^ , ^

³

^ ^

³

et ^

²

^ ^{ } ^

²

2. Résoudre dans

²

les deux systèmes :

²

3 x y x y

  

   



et

³

4 x y x y

  

  



Exercice2:

1. Résoudre dans l équation : ^x

²

^ ² ^x ^{ } ⁸ ⁰ 2. Résoudre dans l inéquation :

² 2

2 10 3

4 2

x x

x

  



Exercice3 :

1. Résoudre dans

²

le système :

1 3

2

2 2

x y

  



   



2. Déduire dans

²

les solutions du système :

² ²

2 2

1 3

2

2 2

x y

  



   



Exercice4:

1. Résoudre graphiquement le système :

² ²

3 1 0

x y

  

   



2. Même question pour :

2 0

5 3 11 0 5 11 x y

x y

  

   

   



Exercice5:

On considère le polynôme : ^{P x} ^{( )} ^{ } ² ^x

³

^ ^x

²

^ ¹⁵ ^x ^ ¹⁸ 1. Trouver le polynôme ^{Q x} ^{( )} tel que ^{P x} ^{( )} ^ ⁽ ^x ^ ^{2) ( )} ^{Q x} 2. Résoudre dans l équation ^ ² ^x

²

^ ³ ^x ^{ } ⁹ ⁰

3. Résoudre dans l inéquation ^{P x} ^{( )} ^ ⁰

4. Résoudre dans l équation :

^²^x ³^^x²^¹⁵^x ^¹⁸^⁰

5. Résoudre dans l inéquation :

^{( )} ⁰

( 1) P x

x 

