G1912. Surf sur Mathspourtous.com **
Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
- arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240, - algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200, - géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220, - combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30, - logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.
Soient p la probabilité conditionnelle pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/n la fraction irréductible la plus proche possible de p avec m et n entiers < 99.
Calculer 100m + n.
Pour ZIG :
Les probabilités d'avoir choisi arithmétique, algèbre, géométrie , combinatoire ou logique valent respectivement :
Pi1=
1 240 1
240+ 1 200+ 1
220+ 1 30+ 1
20
Pi2=
1 200 1
240+ 1 200+ 1
220+ 1 30+ 1
20
Pi3=
1 220 1
240+ 1 200+ 1
220+ 1 30+ 1
20
Pi4=
1 30 1
240+ 1 200+ 1
220+ 1 30+ 1
20
Pi5=
1 20 1
240+ 1 200+ 1
220+ 1 30+ 1
20
Pour Puce :
Les probabilités d'avoir choisi arithmétique, algèbre, géométrie , combinatoire ou logique valent respectivement :
Pu1=
1 240 1
240+ 1 200+ 1
220
Pu2=
1 200 1
240+ 1 200+ 1
220
Pu3=
1 220 1
240+ 1 200+ 1
220
Pu4=0 Pu5=0
On trouve les valeurs suivantes :
La probabilité que ZIG et PUCE aient choisi la même catégorie vaut : Pu1⋅Pi1+Pu2⋅Pi2+Pu3⋅Pi3 = 0,0473602719
La probabilité que ZIG et PUCE aient choisi des catégories différentes vaut 0,9526397281 Le tableau suivant permet de trouver la fraction m
n
Finalement :
