Problème : Pour remplir une grille de loto de 49 cases, il faut marquer 6 cases. Un joueur adopte cette stratégie : il tire au sort un nombre entre 1 et 49, et élimine le numéro sorti. Il recommence l'opération (sans mémoire, chaque nombre est équiprobable) jusqu'à ce que seules 6 cases restent non éliminées. Il joue alors ces 6 cases restantes. Combien de fois, en moyenne, devra t-il effectuer son opération de tirage au sort pour jouer une grille ?
Généralisation : un processus génère un nombre aléatoire compris entre 1 et N. Combien de nombres différents obtient-on après n exécution du processus ?
Soit un processus fournissant à chaque expérience un nombre aléatoire entre 1 et N, chaque nombre a une probabilité 1/N. On considère l’expérience consistant à tirer n nombres grâce au procéssus précédent, et on associe à cette épreuve la variable aléatoire Xn égale au nombre de nombre différents obtenus.
Soit Pn (x) = Proba(Xn = x)
Alors Pn(x) = Proba(Xn = x ∩ Xn-1 = x) + Proba(Xn = x ∩ Xn-1 = x-1) + Proba(Xn = x ∩ Xn-1 < x-1) = Proba(Xn = x / Xn-1 = x).Pn-1(x) + Proba(Xn = x / Xn-1 = x-1). Pn-1 (x-1) + 0 = (x/N). Pn-1 (x) + ((N- x+1)/N). Pn-1 (x-1)
Espérance de Xn = E[Xn] = En = ∑(x=1 ;x=n) x. Pn (x)
D’après (1) ; En = (1/N).[ ∑(x=1 ;x=n) x². Pn-1 (x) + ∑(x=1 ;x=n) N.x. Pn-1 (x-1) - ∑(x=1 ;x=n) x.(x-1).Pn- 1(x-1)]
On déplace l’indice de sommation des sommes 2 et 3 de x-1 en x :
En = (1/N).[ ∑(x=1 ;x=n) x². Pn-1 (x) + ∑(x=0 ;x=n-1) N.(x+1). Pn-1 (x) - ∑(x=0 ;x=n-1) (x+1).x . Pn-1 (x)]
Or trivialement Pn-1 (n) = Pn-1 (0) = 0.
En = (1/N).[ ∑(x=1 ;x=n-1) x². Pn-1 (x) + N.∑(x=1 ;x=n-1) Pn-1 (x) + N.∑(x=1 ;x=n-1) x. Pn-1 (x) -
∑(x=0 ;x=n-1) x². Pn-1 (x) - ∑(x=0 ;x=n-1) x . Pn-1 (x)] = (1/N).[N + N. En-1 – En-1]
On pose k = 1 – 1/N.
En = 1 + k.En-1 = 1 + k + k² + … + kn-2 + kn-1 En-1
Or E1 = 1 .P1(1) = 1
Donc En = ∑ (i=0 ;i=n-1) ki = (1-kn)/(1-k) :
Retour au problème initial :
N = 49, et il s‘agit de trouver n tel que En >= 43,
soit facilement n = premier nombre entier >= LOG(6/49)/LOG(48/49) = 102.
(1) : Pn(x) = (1/N).(x. Pn-1(x) + (N-x+1). Pn-1(x-1))
(2) : En = 1 + (1 – 1/N). En-1
(3) : En = N.(1 – (1 – 1/N)n)
