Année universitaire 2017/2018 Université de Bordeaux Master Mathématiques et Applications Collège Sciences et Technologies
M1 Semestre 1 UF Math. et Interactions
Analyse spectrale Ph. Jaming
Examen, première session. Durée 3h.
Les deux exercices sont indépendants
Exercice 1. Dans cet exercice, on considère deux espaces : E=C([0,1]) muni de la normekfk∞= sup
t∈[0,1]
|f(t)| et H = L2([0,1] muni de la norme kfk2 = Z 1
0
|f(t)|2dt 1/2
, dans ce cas, le produit scalaire associé est notéhf, gi. On considère les deux applications linéaires surE et H définies par
V f(x) = Z x
0
f(t) dt et W f(x) = Z 1
x
f(t) dt.
(1) SoitDune partie dense deHetS, T deux opérateurs bornés surHtels que, pour tousx, y∈D, hSx, yi=hx, T yi. Montrez queT =S∗.
(2) Montrer queV est un opérateur borné surE. Est-il compact ? (3) Montrer queV est un opérateur borné surH. Est-il compact ? (4) Montrer queW est un opérateur borné surH.
(5) Montrez que sif, g sont continues, alorshV f, gi=hf, W gi.
(6) Que pouvez vous en déduire surW.
(7) SoitU l’opérateur défini surH parU =V V∗. Montrez queU est compact auto-adjoint, positif (hU f, fi ≥0 pour toutf ∈H). Que pouvez vous en déduire ?
(8) Soitα∈R\ {0}et f ∈H définie parf(t) = cosαt.
(a) Calculez U fα.
(b) Pour quelsα,fα est-il vecteur propre deU.
(9) Déterminez l’ensemble des vecteurs propres de U : soit f un vecteur propre pour une valeur propre λ.
(a) Montrez que λ6= 0.
(b) Montrez que f est continu puis quef est de classeC2. (c) Déterminez une équation différentielle satisfaire parf. (d) que pouvez vous dire de f en0et en1.
(e) Résoudre l’équation différentielle.
(f) Conclure.
(10) Que pouvez vous dire des fonctions que vous avez obtenues.
T.S.V.P
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Exercice 2. Dans cet exerciceHsera un espace de Hilbert. Tous les opérateurs sont supposés linéaires bornés. On noteraIl’opérateur identité sur H.
(1) SoientS, T deux opérateurs surH. Montrez que siST =T S et siST est inversible, alorsS et T sont tous deux inversibles.
(2) En déduire que, sic, µ1, . . . , µn ∈C sont tels que c(S−µ1I)· · ·(S−µdI)est inversible alors µ1, . . . , µn∈/ Sp(S)
(3) SoitP ∈C[X]un polynôme, en déduire que Sp P(S)
=P Sp(S)
:={P(λ) :λ∈Sp(S)}.
Indication : écrire (P(z)−λ = cQn
j=1(z−µj) et distinguer les cas λ /∈ P Sp(S) et λ∈ P Sp(S)
.
(4) SoitP un polynôme etS, T deux opérateurs. Montrez que siST =T S alorsP(S)T =T P(S).
En déduire que siS est normal (SS∗=S∗S) alorsP(S)aussi.
Dans la suiteS sera supposénormal.
(5) SoitP un polynôme. En déduire que
kP(S)k= sup{|P(λ)| :λ∈Sp(S)}.
(6) Soit (Pn)une suite de polynômes qui converge normalement surSp(S). En déduire quePn(S) converge.
(7) Soitf une fonction continue surSp(S). Comment définiriez vousf(S)? (Que faut-il faire pour montrer que votre définition a bien un sens ?)
(8) Vérifiez que votre définition vous permet de montrer les 2 propriétés suivantes :
— siT commute avecS alorsT commute avecf(S);
— siS est hermitien (S∗=S) etf est à valeurs réelles, alorsf(S)est hermitien.
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The two exercices are independent
Exercice 3. In this exercise, we consider two spaces :E=C([0,1])endowed with the norm kfk∞= sup
t∈[0,1]
|f(t)| and H = L2([0,1]endowed with the norm kfk2 = Z 1
0
|f(t)|2dt 1/2
, and in this case, the scalar product is denoted byhf, gi. We consider the two linear mappings onE and onH given by
V f(x) = Z x
0
f(t) dt et W f(x) = Z 1
x
f(t) dt.
(1) Let D be a dense subset of H and S, T two bounded operators on H such that, for every x, y∈D, hSx, yi=hx, T yi. Show thatT =S∗.
(2) Show thatV is a bounded operator onE. Is it compact ? (3) Show thatV is a bounded operator onH. Is it compact ? (4) Show thatW is a bounded operator onH.
(5) Show that forf, gcontinuous, we have hV f, gi=hf, W gi.
(6) What can you then say aboutW.
(7) LetU be the operator onH given byU =V V∗. Show that U is compact self-adjoint, positive (hU f, fi ≥0 for everyf ∈H). What can you then say aboutU?
(8) Letα∈R\ {0}andf ∈H be defined byf(t) = cosαt.
(a) Compute U fα.
(b) For whichα’s, isfα an eigenvector ofU.
(9) Determine all eigenvectors ofU : letf be an eigenvector for the eigenvalueλ.
(a) Show that λ6= 0.
(b) Show that f is continuous and then that f is of classC2. (c) Find a differential equation satified byf.
(d) What can you say about f at0and at 1.
(e) Solve the differential equation.
(f) Conclude.
(10) What can you say about the family of functions that you have obtained.
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Exercice 4. In this exercise H is a Hilbert space. All operators are assumed to be lineair and bounded.I is the identity operator onH.
(1) Let S, T be operators onH such thatST =T S. Show that ifST is invertible, then so areS andT.
(2) From this deduce that if c, µ1, . . . , µn ∈ Care such that c(S−µ1I)· · ·(S−µdI)is invertible thenµ1, . . . , µn∈/Sp(S)
(3) LetP ∈C[X]be a polynomial, show that Sp P(S)
=P Sp(S)
:={P(λ) :λ∈Sp(S)}.
Indication : write(P(z)−λ=cQn
j=1(z−µj) and distinguish the cases λ /∈P Sp(S) and λ∈P Sp(S)
.
(4) LetP be a polynomial andS, T two operators such thatST =T S. Show thatP(S)T =T P(S).
Conclude that ifS is normal (SS∗=S∗S) so is P(S).
From now onS isnormal.
(5) LeP be a polynomial. Show that
kP(S)k= sup{|P(λ)| :λ∈Sp(S)}.
(6) Let(Pn)be a sequence of polynomials that is uniformly convergent onSp(S). Show thatPn(S) converge.
(7) Letf be a continuous function onSp(S). How would you definef(S)? (What would you have to do to show that this definition is correct ?)
(8) Make sure that the 2 following properties hold :
— ifT commutes withS thenT commutes withf(S);
— ifS is hermitian (S∗=S) andf is real valued, thenf(S)is hermitian.
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