Enfinf ∗g désigne le produit de convolution def et de g f∗g(x

Année universitaire 2018/2019 Université de Bordeaux Master Mathématiques et Applications Collège Sciences et Technologies

M1 Semestre 1 UF Math. et Interactions

Analyse : convergence et dualité Ph. Jaming

Devoir surveillé. Durée 2h.

Les exercices sont indépendants.

On utilisera les notations suivantes : τ_λf(t) = f(t−λ) et δ_αf(t) = f(αt). Enfinf ∗g désigne le produit de convolution def et de g

f∗g(x) = Z

R^d

f(t)g(x−t) dt.

Rappelons que la transformée de Fourier est définie pourf ∈L¹(R^d) fˆ(ξ) =

Z

R^d

f(x)e^{−2iπhx,ξi}dξ, ξ∈R^d oùhx, ξidésigne le produit scalaire usuel.

Exercice 1. Soientp, qtels que 1≤p < q <+∞.

(1) Comparez les espacesL^p([0,1]etL^q([0,1]). (On déterminera si les inclusions sont strictes).

(2) Même question pour`<sup>p</sup> et`^q.

(3) L’espaceL¹_loc(R)est l’espace des (classes de) fonctionsf telles que, pour toutR >0,1_[−R,R]f ∈ L¹(R). Montrez que, pour toutp≥1,L^p(R)⊂L¹_loc(R).

(4) Déterminezkδ_αfk_Lp(R^d)en fonction dekfk_Lp(R^d).

Exercice 2. Soientp, qtels que 1≤p, q <+∞.

SoitT un opérateur linéaire non nul borné deL^p(R)→L^q(R)tel que, pour tout f ∈L^p(R^d) et pour touta >0T(δaf) =a^αδ_1/aT(f).

(1) En vous inspirant de ce qui a été fait pour la convolution, quelle relation existe-t-il entrep, qet α?

(2) Soitf =1_[−1,1] (la fonction indicatrice de l’intervalle[−1,1]).

Pour quels p≥1a-t-onf ∈L^p(R)? Calculezfˆ. Pour quels q≥1a-t-onfˆ∈L^q(R)? (3) Soita >0, en déduire la transformée de Fourier de f_a=1_[−a,a].

Dans la suite, il sera pratique d’utiliser la notation standardsincx=sinx

x (sinus cardinal) et de remarquer que|sincx| ≤min(1,1/|x|).

(4) On note maintenantg=f∗f où∗désigne le produit de convolution.

Pour quels p≥1a-t-ong∈L^p(R)?

Déterminezˆg. Pour quels q≥1a-t-ongˆ∈L^q(R)?

(5) On suppose que p et q sont tels qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout ϕ ∈ L¹(R^d)∩L^p(R^d)

(0.1) kϕkˆ L^q(R)≤CkϕkL^p(R). (a) En considérant ϕ=δ_ag, montrez que nécessairement 1

p+1 q = 1.

(b) Montrez que si on a (0.1) alors la transformée de Fourier se prolonge en un opérateur linéaire continuL^p(R^d)→L^q(R^d).

1

Exercice 3. Fonction Maximale de Hardy-Littlewood

La fonction maximale de Hardy-Littlewood est définie pourf ∈L¹_loc(R)par M[f](x) = sup

R>0

1 2R

Z R

−R

|f(x+y)|dy= sup

R>0

1 2R

Z x+R

x−R

|f(t)|dt= sup

R>0

1

2Rf∗1_[−R,R](x).

(1) Montrez quekM[f]k_∞≤ kfk_∞.

(2) DéterminezM[τλf]etM[δαf]en fonction deM[f].

Soientp, q tels que1≤p, q≤+∞. En vous inspirant de ce qui a été fait pour la convolution (et dans l’exercice 2), déterminez q en fonction de p pour qu’il puisse exister une constante C >0 telle que, pour toutf ∈L^p(R)

(0.2) kM[f]k_Lq(R)≤Ckfk_Lp(R). (3) Montrez que, sif ∈L¹(R)est à support[−1,1]alors

M f(x)≥ kfk_L1(R)

2(1 +|x|). (On pourra distinguer les cas|x| ≥1 et|x| ≤1).

En déduire que (0.2) n’est pas valide sip=q= 1.

(4) SoitK(x) = 1

2(1 +|x|)⁻²et, pourε >0, soitKε(x) =1 εKx

ε

.

(a) Soit1≤p <∞etf ∈L^p(R). Montrez queK_ε∗f ∈L^p(R). Que pouvez vous dire surK_ε∗f lorsqueε→0.

(b) On considère maintenant lafonction maximale M[f](x) = sup

ε>0

K_ε∗ |f| , f ∈ C_c^∞(R).

Montrez qu’il existe une constante C > 0 (qu’on déterminera) telle que pour toute f ∈ C_c^∞(R):

M[f](x)≤CM[f](x).

Indications :

Montrez qu’en remplaçantf parτxf il suffit de montrer que M[f](0)≤CM[f](0).

On introduit ensuiteg(t) =|f(t)|+|f(−t)|et G(x) = Z x

0

g(t)dt. ComparerGàM[f] puis conclure avec une intégration par parties.

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