S´ equents classiques
D´edou
Janvier 2012
On repart ` a z´ ero
On a vu d’o`u sortent les s´equents
et ce qu’on gagne `a les voir d’un seul cˆot´e.
Maintenant on d´eroule
la pr´esentation correspondante.
Que prouve-t-on ?
Un s´equent, c’est une suite finie de formules classiques
dans un environnement d’atomes logiques et de variables objet.
Pour prouver un s´equent
on dispose d’un jeu de r`egles dites d’inf´erence, qu’on va revisiter.
La r` egle structurelle d’´ echange
Echange
`Γ,A,B,∆
`Γ,B,A,∆
On peut changer l’ordre des formules. Cette r´egle permet surtout de formuler les autres r`egles en mettant la formule active au bout.
Exo
Formaliser la r`egle d’´echange.
La r` egle structurelle d’affaiblissement
Affaiblissement
(W) `Γ
`Γ,A
On peut oublier une hypoth`ese. Cette r´egle permet surtout de simplifier la r`egle d’identit´e.
La r` egle structurelle de contraction
Contraction
(C)`Γ,A,A
`Γ,A
On peut dupliquer une hypoth`ese. Cette r`egle permet surtout de simplifier la r`egle d’introduction de ∃.
Les r`egles W et C sont celles que LL revisite le plus.
La r` egle logique de conjonction
Conjonction
(∧)`Γ,A `Γ,B
`Γ,A∧B
Pour d´emontrerA∧B, on d´emontreA et on d´emontreB (dans le mˆeme contexte).
Autrement dit : si sous certaines hypoth`eses on sait d´emontrer A et on sait d´emontrer B alors, sous les mˆemes hypoth`eses, on sait d´emontrer A∧B.
La r` egle logique de conjonction : variante
Conjonction
(∧0)`Γ,A `∆,B
`Γ,∆,A∧B
Si on sait d´emontrer Asous certaines hypoth`eses et B sous d’autres, alors on sait d´emontrerA∧B avec les hypoth`eses qu’il faut pour prouverAet celles qu’il faut pour prouverB.
Exo
En quel sens les deux r`egles sont-elles ´equivalentes ?
Les r` egles logiques de disjonction
Disjonction
(∨g) `Γ,A
`Γ,A∨B (∨d) `Γ,B
`Γ,A∨B
Pour d´emontrerA∨B, on d´emontreA ou on d´emontre B (dans le mˆeme contexte).
Les r` egles logiques de disjonction : variante
Disjonction : variante
(∨0) `Γ,A,B
`Γ,A∨B
Pour d´emontrerA∧B, on d´emontreA en supposantB (ou l’inverse ce qui revient au mˆeme).
Exo
En quel sens les deux r`egles sont-elles ´equivalentes ?
Les r` egles logiques de quantification
Quantification universelle
(∀) `Γ,A(x)
`Γ,∀x A(x) La variablex n’apparaˆıt pas dans Γ.
Quantification existentielle
(∃) `Γ,A(t)
`Γ,∃x A(x) La variablex n’apparaˆıt pas dans Γ.
La r` egle logique d’identit´ e
Identit´e
(Id) `A,A
Identit´e : variante
(Id0)
`Γ,A,A
Identit´e : variante (Id00)
`a,a (aest un atome)
Immersion
Exo
Peut-on faire l’´economie de la r`egle d’´echange, en “laissant la formule active au milieu du s´equent, comme dans :
( `Γ,A,∆
`Γ,A∨B,∆
S´ equents bilat` eres
Maintenant qu’on a compris ce qu’on peut gagner `a mettre toutes les formules `a droite des s´equents, essayons de regagner un peu de ce qu’on a perdu (en termes de lisibilit´e).
On convient de repr´esenter le s´equent monolat`ere
`Γ,∆ par le s´equent bilat`ere
Γ`∆.
Les r`egles ´ecrites pour les s´equents monolat`eres se transcrivent pour les s´equents bilat`eres.
Exo
Ecrire les transcriptions de la r`egle (Conj).
Focussing
Les s´equents bilat`eres permettent de mettre en exergue (seule de son cˆot´e) la formule active.
A gauche, elle apparaˆıt comme une hypoth`ese comme dans : A,B `Γ
A∧B`Γ
qui s’exprime en disant “ dans une preuve, on peut remplacer une hypoth`ese de la forme A∧B par les deux hypoth`eses Aet B”.
A droite, elle apparaˆıt comme une conclusion comme dans : Γ`A
Γ`A∨B
qui s’exprime en disant “ dans une preuve, on peut remplacer la conclusionA∨B par A(par exemple)”.
la r` egle cut
La r`egle cut se voit bien du point de vue bilat`ere :
(Cut) Γ`A A`∆ Γ`∆
