Calculdess´equents,LK LOGIQUE

Universit´e Bordeaux 1

Master d’Informatique 1, 2013/2014

LOGIQUE

Calcul des s´ equents,LK

1-Axiomes

⊥ |−− ⊥ g

A |−− A ax 2-R` egles structurelles

Γ ⊢ ∆

Γ,A ⊢ ∆ aff g Γ ⊢ ∆ Γ ⊢ A,∆ aff _d

Γ,A,A ⊢ ∆

Γ,A ⊢ ∆ contr g Γ ⊢ A,A,∆

Γ ⊢ A,∆ contr _d 3-R` egles des connecteurs

Γ,A,B ⊢ ∆

Γ,A ∧ B ⊢ ∆ ∧ _g ^{Γ ⊢ A,∆} _{Γ ⊢ A ∧ B,∆} ^{Γ ⊢ B,∆} ∧ _d

Γ,A ⊢ ∆ Γ,B ⊢ ∆

Γ,A ∨ B ⊢ ∆ ∨ g Γ ⊢ A,B,∆

Γ ⊢ A ∨ B,∆ ∨ _d

Γ ⊢ A,∆ Γ,B ⊢ ∆

Γ,A → B ⊢ ∆ → _{g Γ} ^{Γ, A} _{⊢ A →} ^{⊢ B,∆} _B,∆ → _d

Γ ⊢ A,∆

Γ, ¬ A ⊢ ∆ ¬ g Γ,A ⊢ ∆ Γ ⊢¬ A,∆ ¬ _d 4-R` egles des quantificateurs

Γ,A[x:=t] ⊢ ∆

Γ,∀x A⊢ ∆ ∀ g Γ ⊢ A,∆

Γ ⊢∀x A,∆ ∀ d ( si x / ∈ VL(Γ, ∆))

Γ,A ⊢ ∆

Γ, ∃ x A ⊢ ∆ ∃ g ( si x / ∈ VL(Γ, ∆)) ^Γ _Γ ^⊢ _⊢∃ ^A[x:=t],∆ _{x A,∆} ∃ _d 5-R` egle de coupure

Γ ⊢ ∆,A A,Γ

⊢ ∆

Γ,Γ

⊢ ∆,∆

coupure

Calcul des s´ equents Intuitionniste,LJ

1-Axiomes

⊥ |−− ⊥ g

A |−− A ax 2-R` egles structurelles

Γ ⊢ [C]

Γ,A ⊢ [C] aff _{g Γ} ^Γ _⊢ ^⊢ _A aff _d

Γ,A,A ⊢ [C]

Γ,A ⊢ [C] contr g

3-R` egles des connecteurs

Γ,A,B⊢ [C]

Γ,A ∧ B ⊢ [C] ∧ g Γ ⊢ A Γ ⊢ B Γ ⊢ A ∧ B ∧ d

Γ,A ⊢ [C] Γ,B ⊢ [C]

Γ,A ∨ B ⊢ [C] ∨ g Γ ⊢A

Γ ⊢A∨B ∨ ¹ _{d Γ} ^Γ _⊢A∨B ^⊢B ∨ ² _d

Γ ⊢ A, Γ,B ⊢ [C]

Γ,A → B ⊢ [C] → g Γ, A⊢B

Γ ⊢A→B → _d

Γ ⊢A

Γ,¬A⊢ ¬ g Γ,A⊢

Γ ⊢¬A ¬ d

4-R` egles des quantificateurs

Γ,A[x:=t] ⊢ [C]

Γ, ∀ x A ⊢ [C] ∀ g Γ ⊢ A

Γ ⊢∀ x A ∀ d ( si x / ∈ VL(Γ))

Γ,A ⊢ [C]

Γ,∃x A⊢ [C] ∃ g ( si x / ∈ VL(Γ, [C])) ^Γ _Γ ^⊢ _⊢∃ ^A[x:=t] _{x A} ∃ d

5-R` egle de coupure

Γ ⊢ A A,Γ

⊢ [C]

Γ,Γ

⊢ [C] coupure

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