RAYONNEMENT QUANTIQUE

RAYONNEMENT QUANTIQUE

A***L***

Universit´e Paris 7

9 mars 

i

Au total, cinquante ann´ees de sp´eculations conscientes ne m’ont pas rapproch´e de la r´eponse `a la question “que sont les quanta de lumi`ere?”regrettait Einstein dans une lettre du 12 d´ecembre`a son vieil ami Besso. Qu’est-ce qu’un photon?

La question fait toujours d´ebat et, `a d´efaut d’en ´eclairer la r´eponse, j’esp`ere dans ce petit livre d´ej`a trop long indiquer au moins ce que le photon n’est pas.

A vrai dire, jusqu’`a ces derni`eres ann´ees la notion mˆeme de photon n’´etait pas r´eellement n´ecessaire pour expliquer le monde physique. Alors pourquoi depuis bientˆot un si`ecle entend-on si souvent parler de ce photon dans les conversations des physicien(ne)s? Dans la plupart des cas les explications de processus physiques fond´ees sur des photons pourraient tout aussi bien se contenter de faire appel `a des ondes ´electromagn´etiques classiques, mais au prix de calculs g´en´eralement plus compliqu´es. De fait,la raison du succ`es populaire du photon tient `a la simplicit´e et

`

a la f´econdit´e de la repr´esentation qu’il propose `a notre imagination; de l’impulsion et de l’´energie, quels ingr´edients pourraient-ˆetre plus commodes pour notre intu- ition, ou nos calculs, g´en´eralement fond´es sur des lois de conservation? Impulsion et

´energie du champ ´electromagn´etique classique existent certes, mais sont des quan- tit´es plus abstraites, variant continˆument, plus complexes `a manipuler qu’impulsion et ´energie du photon qui, en se pr´esentant par “quanta”, conf`erent `a celui-ci certains des attributs d’une particule.

Le photon, tellement pratique — qui ne l’a d´ej`a invoqu´e? — trouve son fonde- ment dans la th´eorie quantique du rayonnement, th´eorie qu’il est tout `a fait, sinon parfaitement, possible d’exposer au niveau de la maˆıtrise de physique. Constru- ire cette th´eorie n’exige rien de plus qu’un peu d’´electrodynamique classique, un soup¸con de relativit´e (g´en´eralement dissimul´ee dans les ´equations de Maxwell), et une connaissance de la mise en œuvre des principes de base de la th´eorie quantique qui ne d´epasse gu`ere les niveaux de l’oscillateur harmonique `a une dimension. La lectrice endurante aura, je le souhaite, acquis `a la fin de ce livre quelque id´ee de ce que l’on peut faire avec des photons et, ainsi, de ce que peut ˆetre une th´eorie quantique d’un champ, en l’occurence le champ ´electromagn´etique — ou encore champ vectoriel de masse nulle —, sans les complications et abstractions inh´erentes

`

a la th´eorie quantique des champs. Ici, tout va ˆetre quantique, mais seul le rayon- nement sera repr´esent´e par un champ, la mati`ere (les charges) non relativiste restant d´ecrite par la fonction-d’onde solution d’une ´equation de Schr¨odinger usuelle. Bien entendu, ma maˆıtresse en physique a toute licence, si tel est son plaisir, de flˆaner au gr´e de ses tentations devant les titres aguicheurs du sommaire.

Une ´evolution relativement r´ecente conduit `a trouver de plus en plus d’ouvrages de physique qui exposent admirablement les r´eponses `a des questions qui ne sont jamais explicitement pos´ees. Le probl`eme de la lectrice est alors la probl´ematique!

Je crois pour ma part m’ˆetre attach´e ici, et plus par inclination que par devoir, `a ces questions. En physique, lorsqu’elles celles-ci finissent par ˆetre clairement formul´ees, une bonne part de l’apprentissage est effectu´ee et leurs solutions, lorsqu’elles ne sont pas ´evidentes, ne r´eservent souvent que des difficult´es techniques. Aussi, le

ii

texte qui suit, ind´ependamment de mes d´efauts de style personnels (entre autres la verbosit´e et une inv´et´er´ee propension au double-sens, voir `a l’ambigu¨ıt´e), est afflig´e d’une proportion de mots par rapport aux formules peut-ˆetre plus ´elev´ee que la moyenne. J’en demande pardon. D´ecidant n´eanmoins de m’adresser `a un lectorat en maˆıtrise de physique et pas n´ecessairement virtuose des calculs, je me suis efforc´e d’exposer ceux-ci de mani`ere d´etaill´ee.

Le fran¸cais n’autorise pas la neutrisalisation des genres. J’ai choisi de me confier

`

a une hypoth´etique lectrice et d’´evoquer plus volontiers observatrices et physici- ennes. Vous pourrez voir l`a bien sˆur une (`a peine) subtile forme de machisme au second degr´e. Mais l’exc`es n’est pas encore `a redouter dans ce registre, et lorsque ce reproche m’a parfois ´et´e formul´e dans l’exercice de mon activit´e stipendi´ee, c’´etait invariablement par des ´el´ements masculins. Et que n’entendrait pas une consœur qui pratiquerait le mˆeme choix? Pourquoi ne pas instaurer une nouvelle coutume ´editoriale qui r´esoudrait ce dilemme le plus ancien du monde en s’inscrivant finalement dans notre traditionnelle, sinon archa¨ıque, litt´erature courtoise: que l’auteur(e) s’adresse tout simplement `a une personne du sexe oppos´e.

J’ai bien peur d’en avoir d´ej`a fini avec l’expos´e de ce qui pourrait ˆetre origi- nal dans ce que vous allez (j’imagine) lire. La th´eorie quantique du rayonnement compte heureusement d’excellents auteurs d’ouvrages parmi lesquels je citerai, des plus ´el´ementaires aux plus complets: P.L. Knight et L. Allen [41], R. Loudon [52], C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc et G. Grynberg [20, 21], et qui permettront

`

a leur lectrice d’´eclaircir mes consid´erations obscures et de corriger mes fautes.

Ayant maintenant personnellement revendiqu´e celles-ci, je peux peux enfin brandir l’arme `a double tranchant des remerciements aux nombreux coll`egues, ami(e)s et

´etudiant(e)s qui m’ont encourag´e, assist´e de leurs remarques, et mˆeme critiqu´e. En particulier, le tas de mots et de formules qui suit est le dernier avatar d’un cours que le responsable du D.E.A. de physique nucl´eaire de l’universit´e de Grenoble n’avait pas h´esit´e `a me confier, il y a quelques ann´ees, dans un climat id´eologique `a vrai dire peu favorable.

Pour ma part, la conscience de mon imp´eritie reste mon seul espoir de me soustraire au jugement d’Einstein qui, apr`es s’ˆetre apitoy´e sur sa propre ignorance quant `a la question primordiale de la nature du photon, retrouvait imm´ediatement sa causticit´e: Il est vrai qu’aujourd’hui n’importe quel abruti croit connaˆıtre cette r´eponse, mais il se trompe.

Bon courage.

Sommaire

I Pr´elude 1

I.1 La th´eorie quantique . . . . 1

I.2 Th´eorie et mod`eles . . . . 3

I.3 Mod`eles quantiques. . . . 4

I.3.1 Quanton `a une dimension . . . . 5

I.3.2 Quanton `a trois dimensions . . . . 6

I.3.3 Spin . . . . 7

I.3.4 Domaines de validit´e . . . . 8

I.3.5 Autres mod`eles quantiques . . . . 9

I.3.6 Champ quantique . . . . 10

II A propos de l’´equation de Schr¨odinger 11 II.1 L’invariance de jauge locale . . . . 13

II.1.1 Grandeurs physiques invariantes . . . . 17

II.1.2 L’interaction ´electromagn´etique . . . . 18

II.2 Quanton de spin 1/2 . . . . 22

II.2.1 L’´equation de Schr¨odinger libre r´eduite au premier ordre. . . 24

II.2.2 Hamiltonien de Pauli et facteur ggg . . . . 25

II.3 Mati`ere quantique et rayonnement classique . . . . 28

II.4 Le bon choix de jauge . . . . 30

II.4.1 Equations des potentiels . . . . 31

II.4.2 La jauge de radiation . . . . 31

II.4.3 Remarques sur le choix de jauge . . . . 33

II.4.4 R´ecapitulation . . . . 33

II.5 Rayonnement classique, quelques caract´eristiques . . . . 35

II.5.1 Les ondes planes . . . . 35

II.5.2 La boˆıte `a modes . . . . 36

II.5.3 D´eveloppement en modes plans . . . . 37

II.5.4 Sommes et int´egrales . . . . 39

II.5.5 Energie du champ ´electromagn´etique . . . . 40 iii

iv SOMMAIRE

II.6 La r`egle d’or de Fermi . . . . 42

II.7 Taux d’excitation . . . . 48

Exercices . . . . 49

III La th´eorie quantique du rayonnement 53 III.1 Insuffisances et contradictions de la th´eorie semi-classique . . . . 54

III.1.1 Le photon entre en sc`ene . . . . 54

III.1.2 Deux sortes de rayonnement? . . . . 55

III.1.3 Les avatars de ¯h . . . . 55

III.2 L’espace de Fock des photons . . . . 56

III.2.1 La correspondance . . . . 56

III.2.2 L’espace de Fock . . . . 57

III.2.3 Excitation de la mati`ere et absorption d’un photon . . . . 57

III.2.4 Op´erateurs de cr´eation et d’annihilation . . . . 58

III.3 L’op´erateur de champ . . . . 60

III.4 L’op´erateur ´energie du rayonnement . . . . 61

III.4.1 Quelques d´efinitions . . . . 62

III.4.2 Nombre de photons . . . . 64

III.5 L’´energie du vide . . . . 65

III.5.1 La soustraction . . . . 67

III.5.2 Estimation de l’effet . . . . 67

III.5.3 Les modes d’une cavit´e r´esonante . . . . 69

III.5.4 L’effet Casimir . . . . 71

III.5.5 Confirmation exp´erimentale . . . . 75

III.6 L’hamiltonien du rayonnement . . . . 76

III.7 L’impulsion du rayonnement. . . . 80

III.8 Le photon n’est pas une particule! . . . . 82

Exercices . . . . 85

IV Propri´et´es des grandeurs physiques du rayonnement quantique 87 IV.1 Valeurs moyennes et dispersions. . . . 88

IV.2 Commutateurs des op´erateurs de champ . . . . 90

IV.3 L’impulsion et le g´en´erateur des translations. . . . 95

IV.3.1 Conservation de l’impulsion . . . . 95

IV.3.2 Invariance et g´en´erateur . . . . 99

IV.3.3 Translations et quanton . . . . 101

IV.3.4 Translations et champ . . . . 103

IV.3.5 Encore quelques consid´erations sur les translations . . . . 105

IV.4 Le moment angulaire et les rotations . . . . 108

IV.4.1 Repr´esentations des rotations . . . . 109

IV.4.2 Polarisation circulaire . . . . 112

Exercices . . . . 115

SOMMAIRE v V Quelques ´etats du rayonnement quantique int´eressants 117

V.1 Op´erateurs amplitude et phase . . . . 119

V.2 Les ´etats de phase . . . . 121

V.3 Propri´et´es des ´etats de nombre de photons. . . . 123

V.4 Propri´et´es des ´etats de phase . . . . 125

V.5 A la recherche d’´etats quasi classiques . . . . 125

V.5.1 Les ´etats coh´erents . . . . 127

V.5.2 Propri´et´es alg´ebriques . . . . 128

V.5.3 Propri´et´es physiques . . . . 129

V.5.4 La fabrication des ´etats coh´erents. . . . 134

V.6 Pour les amateurs de classique . . . . 137

V.7 Ondes et particules, le cr´epuscule des deux . . . . 139

V.8 Photons droits et onde tournante . . . . 146

V.9 Les ´etats comprim´es . . . . 148

Exercices . . . . 152

VI Emission et absorption des photons 159 VI.1 Absorption d’un photon . . . . 160

VI.2 Emission d’un photon . . . . 161

VI.3 L’´emission spontan´ee . . . . 163

VI.4 L’´emission dipolaire ´electrique. . . . 166

VI.4.1 Pourquoi dipolaire ´electrique?. . . . 168

VI.4.2 R`egles de s´election . . . . 170

VI.4.3 Taux de transition . . . . 172

VI.4.4 Ordres de grandeur. . . . 175

VI.5 Largeur naturelle . . . . 176

VI.5.1 Estimation . . . . 177

VI.5.2 Le mod`ele de Weisskopf et Wigner . . . . 180

VI.5.3 Largeurs de raies, largeurs de niveaux . . . . 188

VI.6 D´eplacement de niveau. . . . 191

VI.6.1 Renormalisation de la masse de l’´electron . . . . 193

VI.6.2 D´eplacement Lamb . . . . 195

VI.7 Rayonnement multipolaire . . . . 200

Exercices . . . . 205

VIIHistoires de photons 207 VII.1La d´etection des photons. . . . 207

VII.2L’´equilibre thermodynamique mati`ere-rayonnement . . . . 212

VII.3Diffusion d’un photon par un atome . . . . 218

VII.3.1 La contribution diamagn´etique . . . . 218

VII.3.2 La contribution paramagn´etique . . . . 219

vi SOMMAIRE

VII.3.3 Graphes pr´ehistoriques. . . . 221

VII.3.4 La formule de Kramers et Heisenberg . . . . 225

VII.3.5 Diffusion ´elastique . . . . 228

Exercices . . . . 234

Bibliographie 235