Table des matières

Université Paris-Dauphine 2018-2019

Cours de “Intégrale de Lebesgue et probabilités” Novembre 2018

Chapitres 6 - Intégration dans R^d : convolution, densité, transformation de Fourier

Table des matières

1 Convolution dansM₊¹(R^d) etL¹(R^d) 1

2 Densité dansL¹(R^d)etC(K) 4

3 Transformation de Fourier dansM₊¹(R^d)et L¹(R^d) 9

4 Autres transformations 12

Dans ce chapitre, on munit (R^d,B(R^d))de la mesure de Lebesgue, notée dλ ou simplementdx.

Sont écrites en rougeles parties hors programme, envioletles parties traitées en TD (résultats à connaitre pour sa culture) et enbleu les parties modifiées par rapport au cours en amphi.

1 Convolution dans M

( R

) et L

( R

)

Pour deux fonctionsf et gdéfinies surR^d, on définit la convoléef ∗g par (f ∗g)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)g(y)dy, x∈R^d,

lorsque cette dernière expression a un sens. De la même manière, pour une fonctionf définies sur R^d et une mesure positiveµsurR^d, on définit la convolée (ou produit de convolution) f∗µpar

(f ∗µ)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)dµ(y), x∈R^d,

lorsque cette dernière expression a un sens. En observant que gλ définit une mesure sur R^d, on voit que cette deuxième définition est une généralisation de la première définition. Nous don- nons quelques résultats sur cette opération remarquable et la nouvelle fonction obtenue. Beaucoup d’autres résultats peuvent être obtenus en jouant sur les espaces fonctionnels dans lesquels sont prisf d’une part etg(ouµ) d’autres part.

On définit les espaces suivant :

- Cb(R^d)l’espace des fonctions continues et bornées muni de la norme uniform k · k_∞, on a donc Cb(R^d)⊂L^∞(R^d), et de la même manière,C_b^k(R^d), k≥1, l’espace des fonctionsk fois dérivable telles que toutes les dérivées partielles appartiennent àCb(R^d);

-M₊¹(R^d)l’ensemble des mesuresµpositives et bornées, au sens oùµ(R^d)<∞. En particulier, en notantP(R^d)l’ensemble des mesures de probabilité surR^d, on a P(R^d)⊂M₊¹(R^d).

Théorème 1.1 (Cb∗M₊¹ ⊂Cb) Pour f ∈Cb(R^d)et µ une mesure positive et finie de R^d, on a f∗µ∈Cb(R^d)etkf∗µk_∞≤ kfk_∞µ(R^d).

Preuve du Théorème 1.1. Pourx, y ∈R^d, on note Fx(y) :=f(x−y), de sorte que Fx ∈Cb(R^d) pour toutx∈R^d, et on écrit

(f∗µ)(x) :=

Z

R^d

Fx(y)dµ(y), x∈R^d.

Cette expression a bien un sens puisqueFxest borélienne (puisque continue) et doncFx∈L¹(dµ) (puisqueFx est bornée). On observe également que

(i)F_x⁰ →F_xponctuellement six⁰→x, (ii)|Fx| ≤ kfk∞∈L¹(dµ),

de sorte quex7→(f ∗µ)(x) est continue d’après le Théorème de continuité sous le signe somme (Proposition III-2.3 de continuité par rapport au paramètre qui n’est autre que le théorème de convergence dominée). Enfin, on a

|(f∗µ)(x)| ≤ Z

R^d

|F_x(y)|dµ(y)≤ kfk_∞µ(R^d),

pour toutx∈R^d. tu

Corollaire 1.2 (C_b¹∗M₊¹ ⊂C_b¹) Si de plusf ∈C_b¹(R^d), alorsf∗µ∈C_b¹ et∂_i(f∗µ) = (∂_if)∗µ.

Preuve du Corollaire 1.2. On se place en dimensiond= 1pour simplifier. On observe que sous ces conditions supplémentaires, on a

(iii)x7→Fx(y)est dérivable de dérivée∂x(Fx(y)) =f⁰(x−y)pour touty∈R,

de sorte que x 7→ (f ∗µ)(x) est de classe C¹ d’après le Théorème de dérivabilité sous le signe somme (Proposition III-2.4 de dérivabilité par rapport au paramètre). tu Corollaire 1.3 (Cb∗ L¹⊂Cb) Si maintenantf ∈Cb(R^d)etg∈L¹(R^d), on a alorsf∗g∈Cb(R^d) etf ∗g=g∗f.

Preuve du Corollaire 1.3. On observe que l’on peut définir

(f∗g)(x) := (f∗(g+λ))(x)−(f∗(g₋λ))(x),

puisque g_±λ est une mesure (positive) finie. On a donc encoref ∗g ∈Cb(R^d). En effectuant le changement de variablesz:=x−y,dz:=dy, on obtient

(f∗g)(x) = Z

R^d

f(x−y)g(y)dy= Z

R^d

f(z)g(x−z)dz= (g∗f)(x).

Pour être plus précis, on définit y 7→ z=φ_x(y) :=x−y et on calculeDφ_x =−I puis la valeur

absolue du Jacobien |detDφ_x(y)|= 1. tu

Exemple 1 : Poura∈R^d, on se rappelle que la mesure de Diracδ_a est définie parδ_a(A) = 1 si a∈A,δ_a(A) = 0sia /∈A. Pourf ∈C_b(R^d)(ou même justef mesurable positive), on a

(f ∗δa)(x) = Z

R^d

f(x−y)δa(dy) =f(x−a), ∀x∈R^d, et en particulier

f∗δ0=f.

On dit que δ0 est l’identité (ou l’élément neutre) pour le produit de convolution. Justifions la première identité. Pour f :=1A et pour toutx∈R^d, on a

(f∗δa)(x) :=

Z

R^d

1A(x−y)δa(dy) = Z

R^d

1x+A(y)δa(dy) =1x+A(a) =1A(x−a),

ce qui n’est rien d’autre que l’identité souhaitée dans ce cas particulier. On raisonne par approxi- mations successives (fonctions étagées, fonctions mesurables positives, différences de deux fonctions intégrables positives) afin d’obtenir cette même identité dans le cas général. Il est à retenir de ce calcul que

Z

R^d

ϕ(y)δ_a(dy) =ϕ(a), ∀a∈R^d, ∀ϕ∈M+(R^d)∪C_b(R^d).

Théorème 1.4 (L¹∗ L¹⊂L¹) Soient f, g∈ L¹(R^d). Pour presque toutx∈R^d, la fonction y7→

f(x−y)g(y) est intégrable sur R^d, de sorte que (f ∗g)(x) est presque partout définie. De plus, f∗g=g∗f ∈L¹(R^d)et

kf∗gk_L1≤ kfk_L1kgk_L1. (1.1)

Preuve du Théorème 1.4. Pour x, y∈R^d, on note F(x, y) :=f(x−y)g(y). Pour (presque) tout y∈R^d, on a

Z

|F(x, y)|dx= Z

|f(x−y)|dx|g(y)|=kfkL¹|g(y)|<∞

et Z hZ

|F(x, y)|dxi

dy=kfkL¹kgkL¹.

Appliquant le théorème V.3.2 de Tonelli on obtient F ∈ L¹(R^d ×R^d). Appliquant ensuite le théorème V.3.3 de Fubini, on a

Z

|F(x, y)|dy <∞, p.p. x∈R^d, Z

F(x, y)dy∈ L¹(R^d)

et Z

Z

F(x, y)dy

dx≤ kfkL¹kgkL¹,

ce qui est exactement la conclusion recherchée. tu

Corollaire 1.5 (L^∞∗ L¹⊂L^∞) Si maintenant f ∈ L^∞(R^d) etg ∈ L¹(R^d), alors g∗f, f ∗g ∈ L^∞(R^d),f∗g=g∗f etkf∗gk_∞≤ kfk_∞kgk1. Si de plusf ∈Cb(R^d), on retrouvef∗g∈Cb(R^d).

Preuve du Corollaire 1.5.Pourx, y∈R^d, on noteF(x, y) :=f(x−y)g(y),G(x, y) :=f(y)g(x−y), et on observe que

Z

|F(x, y)|dy ≤ Z

|g(y)|dykfk∞=kgk1kfk∞, ∀x∈R^d, Z

|G(x, y)|dy ≤ Z

|g(x−y)|dykfk_∞=kgk1kfk_∞, ∀x∈R^d.

Ainsi F(x,·) et G(x,·) sont intégrables pour tout x ∈ R^d, ce qui permet de définir les produits de convolution f ∗g et g∗f, et les bornes uniformes proviennent des inégalités précédentes. En effectuant le changement de variablesz:=x−y,dz:=dy, on obtient

(f∗g)(x) = Z

R^d

f(x−y)g(y)dy= Z

R^d

f(z)g(x−z)dz= (g∗f)(x).

Pour être plus précis, on définit y 7→ z = φx(y) := x−y et on calcule Dφx = −I puis la valeur absolue du Jacobien |detDφx(y)| = 1. Pour justifier le fait que g∗f est mesurable, et donc appartient à L^∞, on peut par exemple invoquer un argument d’approximation. On note f_R:=f1_B(0,R)∈ L¹∩ L^∞. Le calcul précédent et le Théorème 1.4 impliquent quef_R∗g∈ L¹∩ L^∞

(le caractère mesurable provenant du théorème de Fubini utilisé dans la preuve du Théorème 1.4).

Par ailleurs, pour toutx∈R^d, on calcule

|(f∗g)(x)−(f_R∗g)(x)| ≤ kfk_∞ Z

|x−y|≥R

|g(y)|dy

≤ kfk_∞ Z

|y|≥R−|x|

|g(y)|dy−→0,

lorsqueR→ ∞, grâce au théorème de convergence dominée. Doncf ∗g= limfR∗g (ponctuelle-

ment) est mesurable. tu

Exemple 2 : DansR, on définit les fonctions gaussiennes (centrées) par G_λ(x) := (2πλ)^−1/2exp(−x²/(2λ)).

On appelle gaussienne standardG:=G1. On a alors

Gs∗Gt=Gs+t, ∀s, t >0.

On commence par observer que e^{−(x−y)22s} e^−y

2

2t = expn

−1 2

h x²

s+t + 1 s+1

t ^1/2

y−1 s

1 s+1

t −1/2

x2io ,

de sorte qu’en effectuant successivement deux changements de variables

Z

R

e^{−(x−y)22s} e^−y

2

2t dy = exp

−1 2

x² s+t

Z

R

exp

−1 2

1 s+1

t y²

dy

= exp

−1 2

x² s+t

√ 2π 1

s+1 t

−1/2

.

On conclut alors aisément.

Il existe beaucoup d’autres résultats sur la convolution, et pour n’en citer que quelqu’uns, on peut prouver

(1)L^p∗ L^p0 ⊂L^∞, et plus précisément⊂C0 sip, p⁰ ∈]1,∞[; (2)L¹∗ L^p⊂L^p;

(3)Cc∗Cc⊂Cc, et plus précisément supp(f∗g)⊂suppf+suppg; (4)M₊¹ ∗M₊¹ ⊂M₊¹.

Certains de ces résultats seront explicités dans la suite de ce chapitre et d’autres seront vus en TD ou dans le cours deTopologie et analyse fonctionnelledu 2nd semestre. Dans le point (4) ci-dessus, la définition du produit de convolution doit être adapté. Plus précisément, lorsqueµetν sont deux mesures positives et finies surR^d, on peut définir la convolutionµ∗ν par

(µ∗ν)(A) :=

Z

R^d×R^d

1_x+y∈Ad(µ⊗ν)(x, y),

pour tout borélienA⊂R^d. En d’autres termes, si on notes:R^d×R^d→R^dl’application mesurable (x, y)7→x+y, on aµ∗ν =s](µ⊗ν).

2 Densité dans L

( R

) et C (K)

On accepte le fait suivant de “régularité” de la mesure de Lebesgue : pour toutA∈B(R)etε >0, il existe un compactKet un ouvertO ⊂[a, b] tels queK⊂A⊂ Oetλ(O\K)< ε.

Théorème 2.1 (densité des fonctions en escalier dans L¹(a, b)) Pour toute fonctionf ∈ L¹(a, b),

−∞ ≤a < b≤+∞, il existe une suite(fn) de fonctions en escalier telle quelimkf−fnk1= 0.

Preuve du Théorème 2.1. Etape 1. On supposea, b∈R.SoitA⊂[a, b]. D’après la “régularité” de la mesure de Lebesgue, pour toutε >0, il existe un ouvertO ⊂(a, b)tel que

A⊂ O=

∞

[

n=1

(a_n, b_n), λ(O\A)< ε.

On pose

ON :=

N

[

n=1

(an, bn), λ(O\ON) =

∞

X

n=N+1

(bn−an)< ε.

On a alors

k1A−1_ONk1 ≤ k1A−1_Ok1+k1_O−1_ONk1

≤ Z

1_O\Adx+ Z

1_O\ONdx≤2ε,

ce qui donne une approximation de 1_A dans L¹ à 2εprès par une fonction en escalier. On traite ensuite le cas d’une fonction étagée par additivité et le cas d’une fonction quelconque par approxi- mation par une suite de fonctions étagées.

Etape 2. On suppose a, b ∈ R¯. Quitte à définir la fonction f¯(x) = f(x) si x ∈ (a, b), f¯(x) = 0 si x /∈ (a, b), il suffit de traiter le cas f ∈ L¹(R). D’après le théorème de convergence dominée, il existe R >0 tel que kf −f1_[−R,R]k1 =kf1_[−R,R]ck1 < ε et on peut appliquer l’étape 1 à la

fonctionf1_[−R,R]∈ L¹(−R, R). tu

Définition 2.2 (Approximation de l’identité) On appelle approximation de l’identité une suite (ρ_n)bornée de L¹(R^d)(de borne C) telle que

Z

ρndx= 1, ∀ε >0, Z

B^c_ε

|ρn|dx −→

n→∞0.

En particulier, est une approximation de l’identité toute suite(ρ_n)construite à partir d’une fonction ρ∈ L¹ d’intégrale égale à un en posant ρn(x) =n^dρ(nx).

Une approximation de l’identité typique dansL¹(R)est donc(ρn)définie parρn(x) =nρ(nx), avec par exemple ρ:=1_[−1/2,1/2] ouρ(x) = (2π)^−1/2e^−|x|2/2. L’expressionapproximation de l’identité provient du fait que l’on a (comme nous allons le démontrer ci-dessous)

ρn∗ϕ−→ϕ=ϕ∗δ0, ∀ϕ∈ L¹_loc,

puisque δ0 est l’élément neutre pour le produit de convolution.

Lemme 2.3 Soit (ρn) est une approximation de l’identité. Si f ∈ Cb(R^d) alors f ∗ ρn → f ponctuellement. Si f ∈ L¹(R^d)alorsf∗ρ_n →f dansL¹(R^d).

Preuve du Lemme 2.3. Etape 1. On supposef ∈C_b(R^d). Pour x∈R^d, on écrit f∗ρn(x)−f(x) =

Z

R^d

(f(x−y)−f(x))ρn(y)dy

= Z

B_ε

(f(x−y)−f(x))ρn(y)dy+ Z

B^c_ε

(f(x−y)−f(x))ρn(y)dy=I1+I2.

On a d’une part

|I1| ≤ Z

|ρn(y)|dy sup

|z−x|≤ε

|f(z)−f(x)| ≤C ω_x(ε)−→

ε→00, oùω_x désigne le module de continuité def au pointx. On a d’autre part

|I2| ≤2kfk_∞ Z

B_ε^c

|ρn(y)|dy −→

n→∞0.

Etape 2. On supposef intégrable et en escalier et donc bornée et nulle en dehors d’une boule, et d= 1pour simplifier. L’étape précédente montre quef∗ρ_n(x)→f(x)en tout point de continuité xde la fonctionf, donc presque partout. On observe également que

|(f∗ρn)(x)| ≤ Z

|f(x−y)||ρn(y)|dy≤ kfk_∞C,

et donc(f ∗ρn) est uniformément bornée dansL^∞. Ensemble, cela monter quef ∗ρn →f dans L¹([−R, R])pour toutR >0. D’autre part, en notantA >0tel quef(x) = 0pour toutx /∈[−A, A], pourR > A, on calcule

Z

|x|≥R

|f ∗ρ_n−f|dx = Z

|x|≥R

|f∗ρ_n|dx

≤ Z

|x|≥R

Z

|y|≤A

|ρn(x−y)| |f(y)|dydx

≤ kfk_∞ Z

|x|≥R

Z

|y|≤A

|ρ_n(x−y)|1_{|x−y|≥R−A}dydx

= kfk_∞ Z

R^d

Z

|y|≤A

|ρn(z)|1_|z|≥R−Adydz

≤ kfk∞λ(B(0, A)) Z

|z|≥R−A

|ρn(z)|dz→0, lorsquen→ ∞. Cela termine la preuve delimkf∗ρ_n−fk_L1(R^d)= 0.

Etape 3. On suppose f ∈ L¹. Pour tout ε > 0, il existe une fonction gε en escalier telle que kf−gεk1≤ε. On écrit alors

f−f∗ρn= (f −g) + (g−g∗ρn) + (g−f)∗ρn, de sorte que

kf−f∗ρnk1≤ kf−gk1+kg−g∗ρnk1+kf −gk1kρnk1

et lim supkf −f ∗ρ_nk1 ≤ε(1 +C) d’après l’étape 2. Il suffit alors de faire tendre ε → 0 pour

conclure. tu

- Soit f une fonction mesurable. On appelle support def, on note suppf, le plus petit fermé de R^d tel que f(x) = 0 pour presque tout x /∈ F. Lorsque f est une fonction continue, on a donc suppf :={x∈R^d;f(x)6= 0}. On dit qu’une fonction est à support compact si suppf ⊂B(0, R) pour un certainR >0 (donc suppf est un compact).

- On note Cc(R^d) l’espace des fonctions continues et à support compact. On a donc Cc(R^d) ⊂ Cb(R^d)∩L¹(R^d). De la même manière, on note C_c^k(R^d) =C^k(R^d)∩Cc(R^d), pourk∈ {1, . . . ,∞}.

- On noteC0(R^d)l’espace de fonctionsf ∈C(R^d)telles quef(x)→0lorsque |x| → ∞.

Définition 2.4 (noyau régularisant) On appelle suite régularisante toute suite (ρn) de fonc- tions telle que

0≤ρ_n∈C_c^∞(R^d), suppρ_n ⊂B(0, C/n), Z

ρ_ndx= 1.

En pratique, on prendraρn(x) :=n^dρ(nx)avec 0≤ρ∈C_c^∞(R^d)∩ P(R^d).

Il existe bien des suites régularisantes. En effet, on commence par définir η(y) :=e^−1/y, ∀y >0, η(y) := 0, ∀y≤0,

et l’on vérifie queη∈C^∞(R),0≤η≤1. On pose alorsρ(x) :=η(1− kxk²)etρ_n(x) :=n^dC ρ(nx) avecC:=Z

ρ−1

.

Théorème 2.5 (Densité C_c^∞(R^d)⊂Cc(R^d)) Soit(ρn)une suite régularisante. Pour toute fonc- tionf ∈Cc(R^d), la suite (f∗ρn)satisfaitf ∗ρn∈C_c^∞(R^d)etf∗ρn→f uniformément.

Preuve du Théorème 2.5. D’après le Corollaire 1.2 et un argument de récurrence, on a clairement f∗ρn ∈C^∞(R^d). Si suppf ⊂B(0, R)et suppρn ⊂B(0, C/n), on a suppf∗ρn⊂B(0, R+C/n)et doncf∗ρn∈C_c^∞(R^d). En reprenant la preuve du Lemme 2.3 et en observant qu’il existe un module de continuité uniformeω tel que∀x∈R^d,ωx(δ)≤ω(δ)→0 lorsqueδ→0(en d’autres termesf est uniformément continue, ce qui se démontre classiquement par un argument de compacité) on

obtient quef∗ρn→f uniformément surR^d. tu

Il est à noter que l’argument crucial et nouveau ici est que supp(f∗g)⊂suppf+suppg ou de manière moins précise mais suffisante

suppfi⊂BR_i ⇒ supp(f1∗f2)⊂BR₁+BR₂.

Théorème 2.6 (Densité C_c^∞(R^d)⊂ L¹(R^d)) Pour toute fonctionf ∈ L¹(R^d), il existe une suite (f_n) deC_c^∞(R^d) telle quef_n →f en normeL¹.

Preuve du Théorème 2.6. On considère(ρ_n)une suite régularisante et on poseχ_n:=1_B(0,n)puis f_n := (f χ_n)∗ρ_n. En utilisant les mêmes arguments que dans la preuve du Théorème 2.5, on a fn ∈C_c^∞(R^d). On écrit enfin

fn−f = (f(χn−1))∗ρn+ (f ∗ρn−f),

et on observe que les deux termes tendent vers0dansL¹(en utilisant notamment (1.1) pour borner

le premier terme). tu

Théorème 2.7 (Stokes en dimension d= 1) Pour toute fonction f ∈ C¹(R)telle que f, f⁰ ∈ L¹(R), on a

Z

R

f⁰(x)dx= 0.

Preuve du Théorème 2.7. On fixe χ ∈C¹(R)telle que 1_[−1,1] ≤χ≤1_[−2,2] et on note χ_R(x) :=

χ(x/R). Commef χ_R∈C_c(R), on a Z

R

(f χR)⁰dx= [f χR]^2R_−2R= 0.

En développant, il vient

Z

R

f⁰χRdx+ Z

R

f(χR)⁰dx= 0.

La deuxième intégrale tend vers 0 lorsque R → ∞puisque |(χ_R)⁰| ≤R⁻¹kχ⁰k_∞. On conclut en faisant tendre R → ∞ et en passant à la limite dans la première intégrale grâce au théorème de convergence dominée (on notera que χR→1p.p.,0≤χR≤1). tu

Théorème 2.8 (de Weierstrass de densité des polynômes dans C(K)) Pour tout compact K ⊂R^d, l’ensemble des polynômes est dense dans C(K) au sens de la convergence uniforme, où C(K) désigne l’espace des fonctions continues (bornées) deK dans R.

Preuve du Théorème 2.8. On ne présente la preuve qu’en dimension d= 1 et pour le compact K = [−1/4,1/4], le cas général s’en déduit assez simplement (la preuve complète est donc laissée en exercice). On définit la suite(ηn)par

η_n(x) := (1−x²)ⁿ six∈[−1,1], η_n(x) := 0 six /∈[−1,1].

On considère alors la suite(ρn)définie par

ρn(x) =a⁻¹_n ηn(x), an:=

Z

R

ηn(x)dx.

En observant en particulier quean ≥2/(n+1)et doncρn(x)≤(n+1)(1−ε²)ⁿ/2→0uniformément surB(0, ε)^cpour toutε∈]0,1[, on vérifie sans difficulté que(ρn)est une approximation de l’identité.

A une fonctiong∈C([−1/4,1/4]), on associe la fonction˜g:R→Rdéfinie par







˜

g(x) =g(x), ∀x∈[−1/4,1/4],

˜

g(x) = 0, ∀x /∈[−1/2,1/2]^c,

˜

g affine sur[−1/2,−1/4]∪[1/4,1/2],

de sorte que g˜ ∈ Cc(R), suppg ⊂ [−1/2,1/2]. On définit gn := ˜g∗ρn. La suite (gn) converge uniformément vers la fonction ˜g d’après le Lemme 2.3 (et l’argument d’uniforme continuité déjà utilisé dans la preuve du Théorème 2.5). On observe enfin

˜

g∗ρn(x) = 1 an

Z 1/2

−1/2

[1−(x−y)²]ⁿ1_|x−y|≤1g(y)˜ dy

= 1

an

Z 1/2

−1/2

[1−(x−y)²]ⁿ˜g(y)dy=:p_n(x), ∀x∈[−1/4,1/4].

Or pn est clairement un polynôme, ce qui termine la preuve. tu Corollaire 2.9 (Moments) Soitf ∈L¹([a, b]),a, b∈R. On a

Mk(f) :=

Z

R

x^kf(x)dx= 0, ∀k∈N, implique f = 0.

De la même manière, si µ, ν ∈ M₊¹([a, b]), a, b ∈ R, et M_k(µ) = M_k(ν) pour tout k ≥ 0, alors µ=ν.

Preuve du Corollaire 2.9. On fixeϕ∈Cc(R), de sorte queϕ∈C([a, b]). Pour toutε >0, d’après le Théorème 2.8, il existe un polynômeptel que kϕ−pkL^∞(a,b)≤ε/(b−a). On en déduit

Z b a

f(x)ϕ(x)dx ≤ε+

Z b a

f(x)p(x)dx =ε.

En faisant tendreε→0, on en conclut

Z

R

f¯(x)ϕ(x)dx= Z b

a

f(x)ϕ(x)dx= 0, ∀ϕ∈Cc(R),

oùf¯∈L¹(R)est l’extension def par0 en dehors de[a, b]. On a donc Z

R

|f¯(x)|dx= lim

n→∞

Z

R

f¯(x)((signf¯)∗ρn) = 0,

ce qui prouve bienf = 0. tu

3 Transformation de Fourier dans M

( R

) et L

( R

)

Pourf une fonction intégrable sur R^d, on définit sa transformée de Fourier fˆ(ξ) = (Ff)(ξ) :=

Z

R^d

e^−ix·ξf(x)dx.

Plus généralement, pour µ une mesure positive et bornée sur R^d, on définit sa transformée de Fourier

µ(ξ) = (Fµ)(ξ) :=ˆ Z

R^d

e^−ix·ξµ(dx).

Proposition 3.1 On aµˆ∈Cb(R^d)etkˆµk_∞≤µ(R^d)siµ∈M₊¹(R^d). On a égalementfˆ∈C0(R^d) etkfˆk∞≤ kfk1 sif ∈ L¹(R^d).

On n’a pas nécessairementµˆ∈C0(R^d)si µ∈M₊¹(R^d). Par exemple,Fδ0= 1∈/ C0(R).

Preuve de la Proposition 3.1. On définit e_ξ(x) := e^{−ix ξ}. La fonction e_ξ ∈ C_b(R^d) et ξ 7→e_ξ(x) est continue pour tout x ∈ R^d, de sorte que ξ 7→ (Fµ)(ξ) est continue d’après le Théorème de continuité sous le signe somme. De plus

|ˆµ(ξ)| ≤ Z

R

|e^{−ix ξ}|µ(dx)≤µ(R^d)

et de la même manière on trouve

kfˆk_∞≤ kfk_L1. (3.1)

En dimensiond= 1, on calcule (F1_[a,b])(ξ) =

Z b

a

e^−ixξdx = e^−ibξ−e^−iaξ

−iξ

= e^{−ia+b2 ξ} e^{ib−a2 ξ}−e^{−ib−a2 ξ}

iξ = 2e^{−ia+b2 ξ}sin(ξ(b−a)/2)

ξ ∈C₀(R).

Ainsi, pour toute fonction en escalier f on a égalementfˆ∈C0(R). Par densité des fonctions en

escalier et (3.1), on obtient fˆ∈C0(R). tu

La transformation de Fourier jouit d’un certain nombre de propriétés simples et remarquables dont nous donnons une liste maintenant.

Propriétés algébriques de la transformation de Fourier :

• (F1) F est linéaire au sense oùF(f+λg) =F(f) +λF(g).

• (F2) F(f⁰)(ξ) =iξfˆ(ξ)pourf ∈C¹(R)tel que f, f⁰ ∈ L¹(R), puisque Z

R

e^{−ix ξ}f⁰(x)dx=− Z

R

[ d

dxe^{−ix ξ}]f(x)dx=iξ Z

R

e^{−ix ξ}f(x)dx,

où on a effectué une intégration par parties grâce au Théorème 2.7 (de Stokes).

• (F3) F(xf)(ξ) =i( ˆf(ξ))⁰ pourf ∈ L¹(R)tel quex7→xf(x)∈ L¹(R), puisque Z

R

e^{−ix ξ}x f(x)dx=i Z

R

[ d

dξe^{−ix ξ}]f(x)dx=id dξ

hZ

R

e^{−ix ξ}f(x)dxi .

• (F4) f[∗g=fbbg pourf, g∈ L¹(R), puisque Z

R

hZ

R

f(x−y)g(y)dyi

e^−ixξdx = Z

R

Z

R

f(x−y)g(y)e^{−i(x−y+y)ξ}dxdy

= Z

R

Z

R

f(z)g(y)e^−izξe^−iyξdzdy.

• (F5)Pour F(fλ) =λ^d(Ff)_λ⁻¹, où on définitgs(x) :=g(x/s).

• (F6) Pour a ∈ R^d et une fonctionf : R^d → R, on note τaf : R^d → Rla fonction translatée définie par(τaf)(x) :=f(x−a). On observe que sif ∈L¹(R^d)alors

(Fτ_af)(ξ) = Z

R

e^{−ix ξ}f(x−a)dx= Z

R

e^−i(y+a)ξf(y)dy=e^−iaξfˆ(x).

• (F7)F(eaf) =τafˆ, pour touta∈R^d, où iciea(x) :=e^iax.

• (F8) En notantg(x) :=ˇ g(−x), on a ( ˇFf)(ξ) := (Ff)(−ξ) = (Ffˇ)(ξ). En particulier, si f est une fonction paire alorsFf est également une fonction paire.

Théorème 3.2 (Gaussienne) PourG la gaussienne standard, on a G(ξ) =ˆ e^−|ξ|2/2.

Preuve du Théorème 3.2. On considère seulement le casd= 1. Par définition, on a G(ξ) =ˆ 1

√2π Z

R

e^−ixξe^−x2/2dx=ϕ(ξ)e^−|ξ|2/2,

avec

ϕ(ξ) := 1

√2π Z

R

e^{−12(x+iξ)2}dx.

On observe queϕ(0) = 1ou de manière équivalente Z

R

e^−x2/2dx=√

2π. (3.2)

En effet, d’après le Théorème de Fubini-Tonelli et le Théorème de changement de variables en coordonnées radiales, on a

Z

R

e^−x2/2dx2

= Z

R²

e^−|z|2/2dz= 2π Z ∞

0

e^−r2/2rdr.

En effectuant le changement de variablesu=r²/2, on a Z

R

e^−x2/2dx²

= 2π Z ∞

0

e^−udu= 2π,

d’où la conclusion (3.2). On calcule maintenant d

dξϕ(ξ) = 1

√ 2π

Z

R

d dξ h

e^{−12(x+iξ)2}i dx

= i

√2π Z

R

d dx

h

e^{−12(x+iξ)2}i dx

= i

√2π h

e^{−12(x+iξ)2}i∞

−∞= 0,

grâce au Théorème 2.7 (de Stokes). On en déduitϕ(ξ) = 1, et la conclusion. tu Théorème 3.3 (Inversion) Soitf ∈L¹(R^d)telle que fˆ∈L¹(R^d). Alorsf =F⁻¹fˆavec

F⁻¹g(ξ) := 1 (2π)^d

Z

R^d

e^iξ·xg(x)dx= 1 (2π)^d

Fg(ξ).ˇ

En d’autres termes, on aF⁻¹Ff =F F⁻¹f =f, pour toute fonctionf “convenable”.

Preuve du Théorème 3.3. On définit Gλ(x) := G(x/λ) et on observe que Gˆλ = (2π)^d/2λ^dG_λ⁻¹ d’après la propriété(F5)et le Théorème 3.2. En utilisant le Théorème de Fubini (comme dans la formule(F4)) et la parité deGλ, on calcule

( ˆGλ∗f)(ξ) = Z

R^d

Gˆλ(y−ξ)f(y)dy

= Z

R^d

Z

R^d

Gλ(x)e^{−i(y−ξ)·x}f(y)dydx

= Z

R^d

Gλ(x)e^iξ·xfˆ(x)dx, soit donc

(λ^dG_λ−1∗f)(x) = 1 (2π)^d/2

Z

R^d

G(ξ/λ)e^iξ·xfˆ(ξ)dξ.

La suite(λ^dG_λ−1)_λ est une approximation de l’identité etG_λ(x)%(2π)^−d/2 lorsqueλ→ ∞. On obtient l’identité souhaitée en passant à la limite λ→ ∞dans cette dernière équation. tu Théorème 3.4 (Unicité) Soitf ∈ L¹(R^d)telle quefˆ= 0. Alorsf = 0.

Preuve du Théorème 3.3. On applique le théorème Théorème 3.3. tu On dit qu’une suite de mesures de probabilités (µn) converge faiblement vers une mesure de probabilitéµ, on noteµn * µ, si

Z

R^d

ϕ(x)dµn(x)−→

n→∞

Z

R^d

ϕ(x)dµ(x), ∀ϕ∈C0(R^d).

Lemme 3.5 Dans les conditions de la définition précédente, on aµn * µsi, et seulement, si Z

R^d

ϕ(x)dµn(x) −→

n→∞

Z

R^d

ϕ(x)dµ(x), ∀ϕ∈ X, (3.3)

pourX :=C_c(R^d)ouX :=C_b(R^d).

Preuve du Lemme 3.5. Il suffit de montrer que si la convergence a lieu pour tout ϕ ∈ Cc(R^d) alors elle a aussi lieu pour tout pour toutϕ∈Cb(R^d), puisque les autres implications sont triviales grâce aux inclusionsCc(R^d)⊂C0(R^d)⊂Cb(R^d). On suppose donc la convergence vraie pour tout ϕ∈Cc(R^d). Fixons une fonctionχ∈Cc(R^d),1B(0,1) ≤χ≤1B(0,2), et posons χR(x) :=χ(x/R), de sorte queχ_R≤1 pour toutR >0 etχ_R→1lorsqueR→ ∞. Par le théorème de convergence dominée, on a

hµ, χRi:=

Z

R^d

χR(x)dµn(x) −→

R→∞1,

et pour tout ε >0, on peut donc fixer Rtel quehµ, χRi ≥1−ε/2. Par hypothèse, il existe N tel que pour toutn≥N, on a

Z

R^d

χR(x)dµn(x)≥ Z

R^d

χRdµ(x)−ε/2≥1−ε.

En particulier, on a Z

R^d

(1−χR(x))dµ(x)≤ε et Z

R^d

(1−χR(x))dµn(x)≤ε, ∀n≥N.

On considère maintenantϕ∈Cb, kϕk_∞≤1, et on écrit Z

R^d

ϕdµn− Z

R^d

ϕdµ= Z

R^d

ϕ(1−χR)dµn+ Z

R^d

ϕχRdµn− Z

R^d

ϕχRdµ+ Z

R^d

ϕ(1−χR)dµ.

CommeϕχR∈Cc(R^d), on peut fixerN⁰≥N de sorte que

Z

R^d

ϕχRdµn− Z

R^d

ϕχRdµ

≤ε, ∀n≥N⁰. On conclut

Z

R^d

ϕdµ_n− Z

R^d

ϕdµ

≤3ε, ∀n≥N⁰,

en combinant les différentes informations précédentes. Cela finit la démonstration de (3.3) pour

X =C_b(R^d). tu

Théorème 3.6 (de Lévy - version faible) Soit (µ_n) une suite de mesures de probabilité et µ une mesure de probabilité. On a µ_n * µ faiblement si, et seulement si,µˆ_n converge (ponctuelle- ment) vers µ.ˆ

Preuve du Théorème 3.6. Le sens direct est clair puisque x7→e^ix·ξ ∈Cb(R^d)pour tout ξ∈R^d. On suppose inversement queµˆ_n→µˆ ponctuellement. Fixonsϕ∈C_c^d+1(R^d)de sorte queD^d+1ϕ∈ C_c(R^d) ⊂ L¹(R^d), (1 +|ξ|)^d+1ϕˆ ∈ C_b et donc ϕˆ ∈ L¹. D’après le Théorème d’inversion de la transformation de Fourier, on aFϕ˜=ϕ, en notantϕ˜:=F⁻¹ϕ. Par Fubini, on en déduit que

Z

R^d

ϕ dµ_n= Z

R^d

Z

R^d

e^−ix·ξϕ(ξ)dξdµ˜ _n(x) = Z

R^d

ˆ µ_nϕ dξ.˜ En utilisant le théorème de convergence dominée dans le dernier terme, on obtient

Z

R^d

ϕ dµn −→

n→∞

Z

R^d

ˆ µϕdξ˜ =

Z

R^d

ϕ dµ.

On conclut en utilisant la densitéC_c^d+1(R^d)⊂C_c(R^d). tu

4 Autres transformations

On rappelle le résultat suivant.

Lemme 4.1 Soientµ, ν deux mesures finies sur(R,B(R)). On aµ=ν si, et seulement

∀x∈R, µ(]− ∞, x]) =ν(]− ∞, x]).

Cela permet de motiver la notion de fonction de répartition qui suit.

Définition 4.2 Soitµ une mesure de probabilité surR. On appelle fonction de répartition de µ, la fonctionF :R→Rdéfinie par

∀x∈R, F(x) =µ(]− ∞, x]).

Plus généralement, on peut associer à une mesureµsurR^dune fonction de répartitionF :R^d→R en posant

∀x= (x1, . . . , xd)∈R^d, F(x) =µ(]− ∞, x1]×. . .×]− ∞, xd]).

De la même manière qu’en dimensiond= 1, la fonction de répartition F caractérise la mesure µ.

Théorème 4.3 (Admis) Une fonctionF :R→Rest la fonction de répartition d’une mesure de probabilité µsur(R,B(R))si, et seulement si,F est continue à droite, croissante, F(−∞) = 0et F(+∞) = 1.De plus, F est absolument continue, au sens où il existe un module de continuitéωF

tel que pour toute suite[a_i, b_i] d’intervalles d’intérieurs disjoints X

i

(bi−ai)< δ implique X

i

(F(bi)−F(ai))≤ωF(δ),

si, et seulement si,µest absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgueλsur R.

Définition 4.4 Soitµune mesure de probabilité surR. On appelle transformation de Laplace de µ, la fonctionM :R→[0,∞] définie par

∀s∈R, M(s) :=

Z

R

e^sxµ(dx).

On appelle domaine deM l’ensemble domM :={s∈R, M(s)<∞}.

Lemme 4.5 (Admis) domM est un intervalle contenant0. La transformation de Laplace carac- térise la mesure de probabilité.

Définition 4.6 Soitµ une mesure de probabilité sur N. On appelle fonction génératrice la série entière

∀s,|s| ≤1, G(s) :=

∞

X

k=0

s^kµ({k}).

Lemme 4.7 (Admis) La fonction génératrice caractérise la mesure de probabilité.