10 - PROBABILITES - Sujet 1

CB n

10 - PROBABILITES - Sujet 1

EXERCICE 1

On lance un dé équilibré jusqu’à l’obtention d’un 6.

Quelle est la probabilité que tous les chiffres obtenus soient pairs ? Soitk∈N^∗. On note :

♦ Pk : "Obtenir 2 ou 4 lors duk-ème lancer" ;

♦ S_k : "Obtenir 6 au k-ème lancer" ;

♦ A_k : "Obtenir 2 ou 4 jusqu’auk-ème lancer et 6 auk+ 1-ème" ;

♦ A : "Tous les chiffres obtenus sont pairs".

On a : Ak=

k

\

i=1

Pi

!

∩Sk+1. La formule des probabilités composées donne : P(Ak) = 2

6 k

1 6. De plus,A=S1∪

+∞

[

k=1

A_k

!

, et cette union est disjointe. Par σ-additivité, on a :

P(A) =P(S₁) +

+∞

X

k=1

P(A_k) =

+∞

X

k=0

1 3

k

1 6 = 1

6 1 1−¹₃ = 1

4. EXERCICE 2

Un concierge dispose de n clés. Pour ouvrir une porte, il les essaie une à une, sans jamais essayer la même, jusqu’à obtenir la bonne.

Pour k∈[|1, n|], on noteA_k l’événement : "la porte s’ouvre auk-ème essai".

En remarquant que, pour k ∈[|1, n|],P(A_k) =P(A_k∩Ak−1∩ · · · ∩A₁), déterminer P(A_k) à l’aide de la formule des probabilités composées, que l’on énoncera clairement.

Soitk∈[|1, n|]. D’après la formule des probabilités composées, on a : P(A_k) = P(A_k∩Ak−1∩ · · · ∩A1)

= P(A1)P(A2|A₁)P(A3|A₂∩A1)· · ·P(Ak−1|A_k−2∩ · · · ∩A1)P(Ak|A_k−1∩ · · · ∩A1)

= n−1 n

n−2

n−1· · ·n−(k−1) n−(k−2)

1

n−(k−1)= 1 n

EXERCICE 3

Une boîteA contient deux jetons portant le numéro 0, et une boîteB contient deux jetons portant le numéro 1.

On tire au hasard un jeton dans chaque boîte et on les échange. On recommence cette opérationnfois.

On s’intéresse à la somme des numéros des jetons contenus dans la boîte Aaprès ntirages.

On introduit les événements :

A_n : "la somme des numéros des jetons de la boîte A aprèsn tirages est0".

B_n : "la somme des numéros des jetons de la boîte A après ntirages est1".

Cn : "la somme des numéros des jetons de la boîte Aaprès ntirages est2".

On notean=P(An), bn=P(Bn) etcn=P(Cn).

1. Déterminer a₀, b₀, c₀, a₁, b₁ etc₁.

a0= 1;b0 = 0;c0= 0;a1= 0;b1 = 1, c1 = 0.

2. Exprimera_n+1, b_n+1 etc_n+1 en fonction de a_n, b_n etc_n, à l’aide de la formule des probabilités totales, que l’on énoncera clairement.

Soitn∈N^∗. La famille {A_n, Bn, Cn} forme une partition de l’univers.

La formule des probabilités totales donne :

• P(A_n+1) =P(A_n+1|A_n)P(A_n) +P(A_n+1|B_n)P(B_n) +P(A_n+1|C_n)P(C_n) donc an+1=an×0 +bn×1

4 +cn×0 = 1 4bn

• P(Bn+1) =P(Bn+1|A_n)P(An) +P(Bn+1|B_n)P(Bn) +P(Bn+1|C_n)P(Cn) donc b_n+1 =a_n×1 +b_n×1

2 +c_n×1

• P(C_n+1) =P(C_n+1|A_n)P(A_n) +P(C_n+1|B_n)P(B_n) +P(C_n+1|C_n)P(C_n)donc c_n+1 =a_n×0 +b_n×1

4 +c_n×0 = 1 4b_n 3. Vérifier que bn+2 = 1

2bn+1+1 2bn.

En déduire les valeurs de b_npuis de a_n etc_n, ainsi que leurs limites quandntend vers +∞.

D’après la question précédente, on a : bn+2=an+1+1

2bn+1+cn+1 = 1 4bn+1

2bn+1+1 4bn= 1

2bn+1+1 2bn.

(bn)n est une suite linéaire récurrente d’ordre 2, d’équation caractéristique 2r²−r−1 = 0.

Avec les valeurs de b0 etb1, on obtient pour n∈N:bn= 2 3

1−

−1 2

n . Par suite, on obtient :a₀= 1, c₀ = 0 et pourn∈N^∗, a_n=c_n= 1

6 1−

−1 2

n−1!

Enfin, on a : lim

n→+∞an= lim

n→+∞cn= 1

6 et lim

n→+∞bn= 2 3. EXERCICE 4

La probabilité qu’une personne soit allergique au vaccin Pfizer est de10⁻³. On s’intéresse à un échan- tillon de 1000 de personnes. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombres de personnes allergiques dans l’échantillon.

1. Déterminer la loi deX (en justifiant).

Si on considère comme "succès" d’être allergique, X compte le nombre de succès dans une échantillon de 1000 personnes, la probabilité du succès étant de 10⁻³.

X suit donc une loi binomiale de paramètres(1000,10⁻³).

2. En utilisant une approximation que l’on justifiera, calculer la probabilité qu’au moins 2 personnes soient allergiques dans l’échantillon.

On peut ici utiliser une approximation de loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ= 1000×10⁻³ = 1. On a alors P(X =k) = e⁻¹

k! .

Ainsi, P(X≥2) = 1−P(X= 0)−P(X = 1) = 1−2e⁻¹'0,264.

EXERCICE 5

La police contrôle la circulation en période de confinement suivant une loi de Poisson de paramètreλ.

Chaque individu a une probabilité pde ne pas être en règle avec la réglementation, indépendamment des autres personnes.

Déterminer la loi de la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes reconnues en infraction.

On noteX la variable aléatoire qui compte le nombre de contrôles effectués.

D’après l’énoncé,X ∼P(λ).

On noteN la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes reconnues en infraction.

On a N(Ω) =N. De plus, pourn∈N, on a : P(N =n) =P((N =n)∩(X≥n)) =P

+∞

[

k=n

((N =n)∩(X=k)

!

σ−additivité=

+∞

X

k=n

P((N =n)∩(X=k))

=

+∞

X

k=n

P(N =n|X=k)P(X =k) =

+∞

X

k=n

k n

pⁿ(1−p)^k−ne^−λλ^k

k! =e^−λ(λp)ⁿ n!

+∞

X

k=n

(λ(1−p))^k−n (k−n)!

=e^−λ(λp)ⁿ n!

+∞

X

k=0

(λ(1−p))^k

(k)! =e^−λ(λp)ⁿ

n! e^λ(1−p)=e^−λp(λp)ⁿ n! . N suit une loi de Poisson de paramètre λp.

CB n

10 - PROBABILITES - Sujet 2

EXERCICE 1

On lance un dé équilibré jusqu’à l’obtention d’un 1.

Quelle est la probabilité que tous les chiffres obtenus soient impairs ? Soitk∈N^∗. On note :

♦ Ik : "Obtenir 3 ou 5 lors du k-ème lancer" ;

♦ U_k : "Obtenir 1 au k-ème lancer" ;

♦ A_k : "Obtenir 3 ou 5 jusqu’auk-ème lancer et 1 auk+ 1-ème" ;

♦ A : "Tous les chiffres obtenus sont impairs".

On a : Ak=

k

\

i=1

Ii

!

∩Uk+1. La formule des probabilités composées donne : P(Ak) = 2

6 k

1 6. De plus,A=U1∪

+∞

[

k=1

A_k

!

, et cette union est disjointe. Par σ-additivité, on a :

P(A) =P(U₁) +

+∞

X

k=1

P(A_k) =

+∞

X

k=0

1 3

k

1 6 = 1

6 1 1−¹₃ = 1

4 EXERCICE 2

Une urne contientnboules rouges, etnboules blanches numérotées. On tire les boules 2 par 2 (simul- tanément) jusqu’à vider l’urne.

Pour k∈[|1, n|], on noteA_k l’événement : "on obtient une boule de chaque couleur auk-ème tirage".

1. Expliciter P(A1), et pourk∈[|1, n−1|],P(A_k+1|A₁∩ · · · ∩A_k)

On a : P(A1) = n

1 n 1 2n

2

= 2n² 2n(2n−1).

Le conditionnement signifie que jusqu’au k-ème tirage on a enlevé autant de boules rouges que de boules blanches. Lors duk+ 1-ème tirage, il reste donc(n−k)boules de chaque couleur.

On en déduit que :P(A_k+1|A₁∩· · ·∩A_k) =

n−k 1

n−k 1

2n−2k

2

= (n−k)² 2n−2k

2

= 2(n−k)²

(2n−2k)(2n−2k−1).

2. A l’aide de la formule des probabilités composées, que l’on énoncera clairement, déterminer la proba- bilité que l’on tire une boule de chaque couleur à chaque tirage.

On noteA : "on tire une boule de chaque couleur à chaque tirage". On a :A=

n

\

k=1

Ak. La formule des probabilités composées donne :

P(A) =P(A1)P(A2|A₁)· · ·P(An|A₁∩A2∩ · · · ∩An−1) = 2ⁿ(n!)² (2n)!

EXERCICE 3

Une urneA contient deux boules rouges et une urneB contient deux boules noires.

On tire au hasard une boule dans chaque urne et on les échange. On recommence cette opération n fois.

On s’intéresse à la couleur des boules contenues dans la boîteA après ntirages.

On introduit les événements :

A_n : "Après ntirages, les deux boules de l’urneA sont rouges".

Bn : "Après ntirages, les deux boules de l’urneA sont noires".

Cn : "Aprèsn tirages, l’urneAcontient une boule de chaque couleur".

On notea_n=P(A_n), b_n=P(B_n) etc_n=P(C_n).

1. Déterminer a₀, b₀, c₀, a₁, b₁ etc₁.

a₀= 1;b₀ = 0;c₀= 0;a₁= 0;b₁ = 0, c₁ = 1.

2. Exprimera_n+1, b_n+1 etc_n+1 en fonction de a_n, b_n etc_n, à l’aide de la formule des probabilités totale, que l’on énoncera clairement.

Soitn∈N^∗. La famille {A_n, B_n, C_n} forme une partition de l’univers.

La formule des probabilités totales donne :

• P(An+1) =P(An+1|A_n)P(An) +P(An+1|B_n)P(Bn) +P(An+1|C_n)P(Cn) donc an+1=an×0 +bn×0 +cn×1

4 = 1 4cn

• P(Bn+1) =P(Bn+1|A_n)P(An) +P(Bn+1|B_n)P(Bn) +P(Bn+1|C_n)P(Cn) donc b_n+1 =a_n×0 +b_n×0 +c_n×1

4 = 1 4c_n

• P(C_n+1) =P(C_n+1|A_n)P(A_n) +P(C_n+1|B_n)P(B_n) +P(C_n+1|C_n)P(C_n)donc c_n+1 =a_n×1 +b_n×1 +c_n×1

2 3. Vérifier que cn+2 = 1

2cn+1+ 1 2cn.

En déduire les valeurs de cnpuis de an etbn, ainsi que leurs limites quandntend vers +∞.

D’après la question précédente, on a : c_n+2=a_n+1+b_n+1+1

2c_n+1 = 1 4c_n+1

4c_n+1

2c_n+1 = 1

2c_n+1+1 2c_n.

(c_n)_n est une suite linéaire récurrente d’ordre 2, d’équation caractéristique 2r²−r−1 = 0.

Avec les valeurs de c₀ etc₁, on obtient pour n∈N:c_n= 2 3

1−

−1 2

n . Par suite, on obtient :a0= 1, b0 = 0 et pourn∈N^∗, an=bn= 1

6 1−

−1 2

n−1!

Enfin, on a : lim

n→+∞a_n= lim

n→+∞b_n= 1

6 et lim

n→+∞c_n= 2 3. EXERCICE 4

La probabilité qu’une personne soit allergique au vaccin Astra Zeneca est de 2·10⁻³. On s’intéresse à un échantillon de 1000 de personnes. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombres de personnes allergiques dans l’échantillon.

1. Déterminer la loi deX (en justifiant).

Si on considère comme "succès" d’être allergique, X compte le nombre de succès dans une échantillon de 1000 personnes, la probabilité du succès étant de 2·10⁻³.

X suit donc une loi binomiale de paramètres(1000,10⁻³).

2. En utilisant une approximation que l’on justifiera, calculer la probabilité qu’au moins 2 personnes soient allergiques dans l’échantillon.

On peut ici utiliser une approximation de loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ= 1000×2·10⁻³ = 2. On a alors P(X =k) =e⁻²2^k

k!.

Ainsi, P(X≥2) = 1−P(X= 0)−P(X = 1) = 1−3e⁻²'0,593.

EXERCICE 5

La police contrôle la circulation en période de confinement suivant une loi de Poisson de paramètreλ.

Chaque individu a une probabilité pde ne pas être en règle avec la réglementation, indépendamment des autres personnes.

Déterminer la loi de la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes reconnues en infraction.

On noteX la variable aléatoire qui compte le nombre de contrôles effectués.

D’après l’énoncé,X ∼P(λ).

On noteN la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes reconnues en infraction.

On a N(Ω) =N. De plus, pourn∈N, on a : P(N =n) =P((N =n)∩(X≥n)) =P

+∞

[

k=n

((N =n)∩(X=k)

!

σ−additivité=

+∞

X

k=n

P((N =n)∩(X=k))

=

+∞

X

k=n

P(N =n|X=k)P(X =k) =

+∞

X

k=n

k n

pⁿ(1−p)^k−ne^−λλ^k

k! =e^−λ(λp)ⁿ n!

+∞

X

k=n

(λ(1−p))^k−n (k−n)!

=e^−λ(λp)ⁿ n!

+∞

X

k=0

(λ(1−p))^k

(k)! =e^−λ(λp)ⁿ

n! e^λ(1−p)=e^−λp(λp)ⁿ n! . N suit une loi de Poisson de paramètre λp.