CM 2 : H-principes en pagaille

CM 2 : H -principes en pagaille

Vincent Borrelli 22 octobre 2012

Une relation différentielleRsatisfait auh-principe(ou auprincipe homotopique) si l’inclusion naturelle J : Sol(R) −→ Γ(R) est induit une surjection sur les composantes connexes. Si cette inclusion induit une bijection au niveau de tous les groupes d’homotopies, on parle alors deh-principe paramétrique.

Dans ce cours, on donne quelques exemples de relations différentielles célèbres qui satisfont au h-principe, on présente ensuite différentes méthodes permettant démontrer l’existence d’unh-principe. Deux de ces méthodes seront détaillées dans la suite du cours.

1 Exemples de h-principes

On peut trouver un condensé d’exemples divers sur la page de John Francis [1].

Voici mon propre choix, évidemment bien subjectif.

1.1 Théorèmes de Smale et Hirsch

Théorème (Smale-Hirsch 58-59, Gromov 71). –SoientM^metNⁿdeux variétés.

On suppose quem < nou, sim =n, queM est ouverte. Alors, la relation dif- férentielle des immersionsIsatisfait auh-principe paramétrique.

Rappel.– Une variété est diteferméesi elle est compacte sans bord, elle est dite ouvertesi aucune de ses composantes connexes n’est fermée. Une variété connexe dont le bord est non vide est ouverte.

Corollaire.–L’espaceI(S²,R³)est connexe. En particulier, on peut retourner la sphère rondeS² ⊂R³parmi les immersions.

Démonstration du corollaire.– PuisqueIsatisfait auh-principe, J :I(S²,R³)−→Γ(I) =M ono(TS², TR³)

induit une bijection au niveau duπ0.On montre ensuite que π0M ono(TS², TR³)≈π2Gl+(3,R)

au moyen d’un calcul homotopique qui est techniquement un peu délicat car l’es- pace tangentTS²n’est pas trivial. On ne le fera donc pas ici. Le groupeGl₊(3,R) se rétracte sur SO(3)(Gram-Schmidt) donc π2Gl+(3,R) = π2SO(3).Puisque S³ est le revêtement universel de SO(3) on en déduit π₂SO(3) = {0}. Ainsi, l’espace I(S²,R³) ne possède qu’une composante connexe et deux immersions quelconques sont donc toujours régulièrement homotopes.

On peut contourner l’obstacle que constitue la non trivialité de l’espace tangent TS² au moyen d’une astuce appelée microfexibilité. Elle consiste à épaissir la sphère et à considérer les immersions de cette sphère épaissieS dansR³.La re- lation différentielle des immersions deSdansR³ satisfait au h-principe (c’est le cas équidimensionnel dans le théorème de Smale-Hirsch) mais cette foisTSest un fibré trivial... Voyons ceci plus en détails.

Le retournement de la sphère.– NotonsSla sphère épaissie

S:={(x, y, z)∈R³ |1−²< x²₁+x²₂+x²₃<1 +²}

où0< <1est fixé. On munitSde l’orientation induite parR³. On note ensuite

•i:S−→R³,l’inclusion naturelle

•inv:R³\ {O} −→R³\ {O},l’inversion,x7−→ _kx^x_2k

•s:R³ −→R³,la réflexions(x₁, x₂, x₃) = (x₁, x₂,−x₃).

On note enfinI+(S,R³)(resp.I−(S,R³)) l’espace des immersions directes (resp.

indirectes) de la variété orientéeSdansR³.Le caractère directe ou indirecte d’une immersion se conservant par homotopie régulière, il en découle que le nombre de composantes connexes deI(S,R³)est au moins deux. Précisément, la flèche

χ:I(S,R³) =I+(S,R³)∪I−(S,R³)−→Z/2Z

qui envoie l’immersionf sur 0 sif ∈I₊(S,R³)et sur 1 sinon, induit une surjec- tion au niveau des composantes connexes :

π₀(χ) :π₀(I(S,R³))Z/2Z.

Démontrer le retournement de la sphère revient à montrer que l’immersion s◦inv◦i:S−→R³

est dans la même composante deI₊(S,R³) quei. Pour cela on va montrer que π0(χ)est une bijection ce qui suffira puisqueχ(s◦inv◦i) =χ(i).

Notons queinv◦ietine peuvent être dans la même composante deI(S,R³)car ils n’induisent pas la même orientation surS. Puisque la variétéSest trivialement parallélisée dansR³, on a

J¹(S,R³) =S×R³×Hom(R³,R³) =S×R³× M_3×3 et

I =I₊∪ I₋ où

I_±=S×R³×Gl±(3,R) sont les deux composantes connexes deI.En particulier

Γ(I) = Γ(I₊)∪Γ(I₋) avec

Γ(I_±) =C⁰(S,R³×Gl±(3,R)).

Or,Sse rétracte surS²etGl₊(3,R)surSO(3)(Gram-Schmidt), et par conséquent π0(Γ(I₊)) =π2(SO(3)) = 0.

De même

π₀(Γ(I₋)) = 0.

Il s’en suit que Γ(I₊) et Γ(I₋) sont deux composantes connexes de Γ(I), et puisque Γ(I) = Γ(I₊) ∪Γ(I₋), ce sont les seules. Puisque I satisfait au h- principe paramétrique, on a

I(S,R³) =Sol(I)^e.h.f∼ Γ(I) et donc

π0(I(S,R³)) =π0(Sol(I)) =π0(Γ(I)).

Ainsi le nombre de composantes connexes deI(S,R³)est deux et par conséquent

π0(χ)est nécessairement bijective.

1.2 Théorèmes de Nash et Kuiper Une applicationf : (M^m, g) ^C

1

−→E^q= (R^q,h., .i)est diteisométriquesi f^∗h., .i=g.

Pour une telle application

Long(f ◦γ) =Long(γ) pour toutγ : I ^C

1

−→ M^m.On noteI_iso la relation différentielle des immersions isométriques deM^mdansE^q:

I_iso ={(x, y, L_x,y)∈J¹(M^m,E^q)|Lx,y ∈M onoiso((TxM, gx);E^q)}.

Théorème (Nash-Kuiper 54-55, Gromov 86). –Soient(M^m, g)une variété rie- mannienne quelconque et E^q = (R^q,h., .i) un espace euclidien tel que q > m.

Alors, la relation différentielle des immersions isométriquesI_iso deM^mdansE^q satisfait auh-principe paramétrique.

Observation.– Le théorème de Nash-Kuiper « historique » comporte également un résultat deC⁰-densité qui s’énonce comme suit : Sif₀ : (Mⁿ, g)−→E^qest un plongementstrictement court(i. e.f^∗h., .i< g) alors pour tout:M^m −→R^∗₊il existe un plongementC¹ isométriquef : (Mⁿ, g)−→E^qtel que

∀x∈M^m, kf(x)−f₀(x)k ≤(x).

Notons au passage que toute immersion est régulièrement homotope à une immer- sion courte...

Corollaire 1.–SoitΛun réseau deE². Il existe un plongement isométriqueC¹du tore platE²/ΛdansE³.

Rappelons qu’unréseauΛdeRⁿest un sous-groupe discret deRⁿpour l’addition, tel que le sous-espace vectoriel engendré parΛsoit égal àRⁿ. Il existe alors une famille de vecteurs(e₁, ..., e_n)deRⁿtel queΛ =Ze₁+...+Ze_n.On appelletore plattout quotientE²/ΛoùΛest un réseau deR².

Démonstration du corollaire 1.– Notons T² = E²/Λ.PuisqueI_iso satisfait au h-principe paramétrique, l’inclusion

J :Iiso(T²,E³)−→Γ(I_iso) =M onoiso(TT², TE³)

induit une bijection au niveau duπ₀.Il suffit donc de montrer queΓ(I_iso)n’est pas vide. Le toreT²est évidemment parallélisable et donc

I_iso =T²×R³×M onoiso(E²,E³) =T²×R³×V_2,3^o.n.

oùV_2,3^o.n.≈SO(3)est la variété de Stiefel des 2-repères orthonormésE³.En effet, si(v₁, v₂)est une base orthonormée globale deTT²alors la flèche

M onoiso(E²,E³) −→ V_2,3^o.n.

L 7−→ (L(v1), L(v2)) permet d’identifier les deux espaces. En particulier

Γ(I_iso) =C⁰(T²,R³×SO(3))

est évidemment non vide.

Corollaire 2.–On peut retourner la sphèreS²parmi les immersions isométriquesC¹. Démonstration du corollaire 2.– PuisqueI_isosatisfait auh-principe paramétrique, l’inclusion

J :I_iso(S²,E³)−→Γ(I_iso) =M ono_iso(TS², TE³)

induit une bijection au niveau duπ₀.Un calcul homotopique analogue à celui des immersions de la sphère montre que

π₀M ono_iso(TS², TE³)≈π₂SO(3) ={0}.

Ainsi l’espace I_iso(S²,E³) ne possède qu’une composante connexe et deux im- mersions isométriques quelconques sont donc toujours régulièrement homotopes

parmi les immersions isométriques.

Corollaire 3.–Il existe un plongement C¹-isométrique de la sphère unité deR³ dans une boule de rayon arbitrairement petit.

Démonstration du corollaire 3.– Il s’agit d’une application du résultat deC⁰- densité du théorème de Nash-Kuiper. Soit0 < r < 1 le rayon de la boule à l’ar- rivée, l’application

f₀ : S²(1) −→ B³(r)

p 7−→ r

3p

est un plongement court. Donc, il existe un plongementC¹isométriquef :S²(1)−→

E³tel quekf −f0k ≤ ^r₃ ce qui implique quef(S²(1))⊂B³(r).

1.3 Existence d’une forme symplectique

Définition.– Une 2-formeβ ∈Ω²(M²ⁿ)est ditenon dégénéréesi, en tout point x∈M²ⁿ,on aβ_xⁿ6= 0.Elle est ditesymplectiquesi de plusdβ= 0.

SoientE =T^∗M etR₀la relation différentielle définie sur l’espace des 1-jets du fibréE:

R₀={κ∈E⁽¹⁾ |(dκ)ⁿ6= 0}.

Ainsi, toute solutionα ∈Ω¹(M) = Γ(T^∗M)deR₀ fournit une 2-formeω =dα qui est non dégénérée et qui vérifiedω= 0par construction, c’est donc une forme symplectique.

Théorème (Gromov 1969).–SiM²ⁿest une variété ouverte, alors la relation dif- férentielleR₀ ⊂E⁽¹⁾satisfait auh-principe paramétrique.

Corollaire. –SoitM²ⁿune variété ouverte. Alors, elle admet une forme symplec- tique si et seulement si elle admet une 2-forme non dégénérée.

Démonstration du corollaire.Ici, il serait naturel de choisir X={(x, β)∈Λ²T^∗M |β∈Λ²T_x^∗M βⁿ6= 0}

le fibré des formes bilinéaires antisymétriques non dégénérées, et R={κ∈X⁽¹⁾ |dκ= 0}.

Pourtant leh-principe porte sur la relationR₀ = {κ ∈ E⁽¹⁾ | (dκ)ⁿ 6= 0}...Le lien entreE⁽¹⁾etΛ²T^∗M est le suivant. Siα :=Pm

k=1a_idx_i est une 1-forme, ici écrite en coordonnées, alors son 1-jet en un pointx ∈M²ⁿs’identifie à la donnée du pointxet dem²+mnombres :

j¹α(x) = (x, a1, ..., am, a11, ..., amm) où aij = _∂a^∂ai

j et m = 2n. La différentielle extérieure de α est une application linéaire sur ces nombres :

dα_x=X

i<j

(a_ij−a_ji)dx_i∧dx_j.

Par conséquent, la différentielle extérieure induit une application d: E⁽¹⁾ −→ Λ²T^∗M

κ 7−→ dκ

et qui s’écrit en coordonnées

κ= (x, κ₁, ..., κ_m, κ₁₁, ..., κ_mm)−→dκ= (x,X

i<j

(κ_ij −κ_ji)dx_i∧dx_j).

Cette application est surjective, c’est en fait une fibration (affine) avec d⁻¹(x,X

i<j

b_ijdx_i∧dx_j) ={(x, κ_i, κ_ij)|κ_ij −κ_ji=b_ij}.

En particulier, les espacesE⁽¹⁾etΛ²T^∗Msont homotopiquement équivalents. No- tons queR₀ =d⁻¹(X)et qued:S₀ −→Xet la restriction au dessus deXde la fibrationd:E⁽¹⁾−→Λ²T^∗M.AinsiR₀etXsont homotopiquement équivalents et il en est de même deΓ(R₀) et Γ(X). Or Γ(X) est non vide si et seulement si M²ⁿ admet une 2-forme non dégénérée. Puisque R₀ satisfait au h-principe, Sol(R₀)est non vide si et seulement siM²ⁿadmet une 2-forme non dégénérée.

Observations.– 1) Il existe des versions plus élaborées où l’on impose la classe de cohomologie de la forme symplectique.

2) Il existe aussi des versions en géométrie de contact.

1.4 Théorème de Lohkamp (pour la culture)

Soient α ∈ R et Mⁿ est une variété compacte C^∞. On M(Mⁿ) l’espace des métriques sur Mⁿ, puis Ricci^<α(Mⁿ) (resp. Scal^<α(Mⁿ)) le sous-espace des

métriques dont la courbure de RicciRicci(g)(resp. la courbure scalaireScal(g)) est en tout point plus strictement petite queα.

Théorème de Lohkamp (1995).–Soientα ∈ R,(Mⁿ, g0)une variété riemanni- enne compacte de dimensionn≥3, alorsg₀est homotope à une métriquegtelle queRicci(g)< α.En fait, les relations différentielles

Ricci(g)< α et Scal(g)< α

sur l’espace des 2-jets des métriques satisfont au h-principe paramétrique. De plus,Ricci^<α(Mⁿ)etScal^<α(Mⁿ)sontC⁰-denses dansM(Mⁿ).

•En particulier, si n ≥ 3, la contrainteRicci(g) < 0n’imposerien sur la topologie de la variété...

•La dernière phrase du théorème signifie que toute métrique surMⁿ com- pacte,n≥3,peut être approchéeC⁰ (mais pasC¹) par des métriques à courbure de Ricci négative ; par exemple la métrique usuelle deSⁿ...

2 Deux théorèmes de Gromov assurant un h-principe

Dans ce paragraphe on énonce deux théorèmes fondamentaux permettant de dé- tecter un h-principe. La démonstration de ces deux théorèmes va occuper une grande partie du cours. Le premier théorème s’obtiendra comme une conséquence d’un théorème plus fondamental, le théorème d’approximation holonome ; le sec- ond théorème lui découlera d’une technique inspirée des travaux de Nash et de Kuiper, l’intégration convexe.

2.1 Leh-principe pour les relationsDiff(M)-invariantes

Définition.– SoitX −→ M un fibré. On suppose que le groupe Diff(M)agit de façon naturelle surX⁽¹⁾.On dira qu’une relation différentielleR ⊂ X⁽¹⁾ est Diff(M)-invariantesi pour toutϕ∈Diff(M), ϕ∗(R) =R.

Action de Diff(M) sur J¹(M, N). – Soit ϕ ∈ Diff(M), alors ϕ agit sur J¹(M, N)par :

ϕ∗(x, y, L) = (ϕ(x), y, L◦dϕ⁻¹_ϕ(x)).

Sif est telle quej¹f(x) = (x, y, L)alors :

ϕ∗(j¹f(x)) = (ϕ(x), f(x), dfx◦dϕ⁻¹_ϕ(x)) =j¹(f ◦ϕ⁻¹)(ϕ(x)).

Action deDiff(M)surX⁽¹⁾ oùX = T^∗M.– L’action deϕ ∈ Diff(M) sur X⁽¹⁾est induite par la formule

ϕ^∗(j¹α(x)) :=j¹(ϕ^∗α)(ϕ⁻¹(x))

oùα∈Ω¹(M) = Γ(T^∗M).Cette action est moins aisée à décrire en coordonnées que la précédente car le jet d’ordre 2 deϕintervient. Par exemple, siM =Ret si α ∈ Ω¹(R)alors il existea: R−→ Rtelle queα_x =a(x)dxet le 1-jetj¹α(x) s’identifie au triplet(x, a(x), a⁰(x)).On a alors(ϕ^∗α)x =ϕ⁰(x).a◦ϕ(x)dxet

(j¹ϕ^∗α)(x) = (x, ϕ⁰.a◦ϕ(x), ϕ⁰⁰(x).a◦ϕ(x) +ϕ⁰²(x).a⁰◦ϕ(x)),

d’où l’action deϕsurX⁽¹⁾ ≈ {(x, a, A)∈R×R×R}:

ϕ^∗(x, a, A) = (ϕ⁻¹(x), ϕ⁰◦ϕ⁻¹(x).a, ϕ⁰⁰◦ϕ⁻¹(x).a+ϕ⁰²◦ϕ⁻¹(x).A).

Exemples.– La relationIdes immersions estDiff(M)-invariante mais pasI_iso. La relationR₀des 1-formes dont la différentielle est non dégénérée estDiff(M)- invariante.

Théorème duh-principe pour les relationsDiff(M)-invariantes (Gromov 69).

–SoitM une variété ouverte etRune relation différentielle ouverte etDiff(M)- invariante, alorsRsatisfait au h-principe paramétrique i.e.

J :Sol(R)−→Γ(R) est une équivalence d’homotopie faible.

Observation.– Ce théorème implique le théorème de classification des immer- sions de Smale et Hirsch dans le cas équidimensionnel ainsi que le théorème d’ex- istence de structures symplectiques sur les variétés ouvertes.

2.2 Leh-principe pour les relations amples

Amplitude d’une partie deRⁿ.– SoitA ⊂ Rⁿ,on noteIntConv(A, α) l’in- térieur de l’enveloppe convexe de la composante connexe deAqui contientα.

Définition. – Une partieA⊂Rⁿestamplesi pour toutα∈Aon a :IntConv(A, α) = Rⁿ.En particulierA=∅est ample.

Aest non ample Aest ample Aest non ample.

Exemple.– Un sous-espace vectorielFdeRⁿest ample si et seulement si CodimF ≥ 2.

Amplitude d’une relationR ⊂ J¹(M, N).– LocalementJ¹(M, N)s’identifie à :

J¹(U,V) =U × V × L(R^m,Rⁿ) =U × V ×

m

Y

i=1

Rⁿ,

où U et V sont des cartes de M et N. On note (x, y, v1, ..., vm) un élément de J¹(U,V)et on pose :

J¹(U,V)^⊥={(x, y, v₁, ..., vm−1)},

ainsiJ¹(U,V) = J¹(U,V)^⊥×Rⁿ.On notep^⊥ la projection sur le premier fac- teur etR_U,V ⊂ J¹(U,V) l’image deR ⊂ J¹(M, N) par l’identification locale.

Schématiquement, on a :

R_U,V −→ J¹(U,V)

↓p^⊥ J¹(U,V)^⊥.

Enfin, siz∈J¹(U,V)^⊥,on pose :R_z = (p^⊥)⁻¹(z)∩ R_U,V.

Définition. – Une relation différentielleR ⊂ J¹(M, N)estamplesi pour toute identification locale J¹(U,V),et pour tout z ∈ J¹(U,V)^⊥, R_z est ample dans (p^⊥)⁻¹(z)'Rⁿ.

Remarque. – Evidemment, cette définition ne dépend pas de la carte choisie puisqu’on les prend toutes...

Proposition. –La relation différentielle I des immersions de M^m dansNⁿ est ample sin > m.

Démonstration. – SoitJ¹(U,V) =U × V ×Qm

i=1Rⁿune représentation locale.

Alors

(x, y, v1, ..., vm)∈ R_U,V ⇐⇒ (v1, ..., vm)est libre dansRⁿ. Soitz= (x, y, v1, ..., vm−1)∈J¹(U,V)^⊥.

1) Si(v1, ..., vm−1)sont linéairement indépendants alors :

v_m∈(p^⊥)⁻¹(z)est dansR_U,V ⇐⇒ v_m6∈V ect(v₁, ..., vm−1) =: Π

⇐⇒ vm∈Rⁿ\Π.

Ainsi :R_z =R_U,V∩(p^⊥)⁻¹(z) =Rⁿ\Π.Or la codimension deΠestn−(m− 1)≥2,doncR_zest ample.

2) Si(v₁, ..., vm−1)sont liés alorsR_z =∅et doncR_zest ample.

Théorème du h-principe pour les relations amples (Gromov 69). – Si Rest ouverte et ample, alorsRsatisfait auh-principe paramétrique i.e.

J :Sol(R)−→Γ(R) est une équivalence d’homotopie faible.

Remarque. – Ici, pas d’hypothèse sur la variétéM.

Observation.– Ce théorème implique le théorème de classification des immer- sions de Smale et Hirsch dans le cas de la codimension strictement positive.

Références

[1] J. FRANCIS, The h-principle, lectures 1 and 2 : overview, http ://math.northwestern.edu/ jnkf/classes/hprin/