Activit´e de math´ematiques
Th´eor`eme de Napol´eon
On consid`ere un triangle ABC quelconque et on construit ext´erieurement les triangles
´equilat´erauxA′BC,AB′C etABC′.
On appelle respectivement G1, G2 et G3 les centres de gravit´e de ces triangles.
Le but de l’activit´e est de d´emontrer que le triangle G1G2G3 est ´equilat´eral.
On se place d´esormais dans le rep`ere du plan orthonorm´e direct (B,−→u ,−→v).
A
B C
A′
B′
C′
G1
G2
G3
−
→u
−
→v
1. D´eterminer l’affixe des points B etC.
2. D´eterminer l’affixe du point A′ sous forme trigonom´etrique.
3. On posezA=reiθ l’affixe du point A sous forme trigonom´etrique.
(a) Que repr´esentent g´eom´etriquement les r´eelsr etθ ?
(b) D´eterminer l’affixe du point C′ sous forme trigonom´etrique.
4. Prouver quez−−→CB′ =z−→CA×e−iπ3. En d´eduire que zB′ = 1−e−iπ3 +rei(θ−π3). 5. D´eterminer les affixes des points G1,G2 etG3.
6. En d´eduire les affixes des vecteurs−−−→
G1G2 et−−−→
G1G3. 7. Prouver quez−−−→G1G3 =z−−−→G1G2 ×eiπ3.
8. Conclure.
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