ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN.

(1)

ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN.

VoN

EDUARD BA.TSCHELET

in BASEL.

1. In einer Arbeit unter dem Titel ~Recherches sur la mdthode de Graeffe et les ~dros des polyn~mes et des s&ies de Laurent~ h a t Herr A. OSTROWSXI den folgenden Satz bewiesenl:

Se/

A o x ~ 4 A l x ~ - 1 + . . . + A ~ - t x + A~, A o # o ,

ein Polynom n-ten Grades mit beliebigen reellen oder komplexen Koeffizienten, dessen Wurzeln x l , . . . , x,, naeh steigenden absoluten Betrdgen geordnet sein mb'gen. Es gelte also

I~,l_-< I~,1__<. =< Iz.l:

Variiert man die Argumente der Koeffieienten Ao, 9 .., A,~, hiilt abet ihre ab- soluten Betriige lest, so bleibt [xkl fiir festes k in einem lntervall, dessen relative B r d t e hSehstens gleieh einer mtr yon n abhdngigen Schranke C,, ist~ fiir die

(I) Vn = 0,73" ( " + I) z

gesetzt werden darfi

Unter tier relativen Breite eines Intervalls (a,b~, o < a ~_ b, is~ dabei das Verhiiltnis b zu vers~ehen.

a

I m Folgenden bezeichnen wir mit c~ die (offenbar vorhandene) kleinste Schranke, fiir welche die Bedingungen des Satzes zutreffen. Dafiir gilt I ~ c~ _--< C..

t A c t s m a t h . , Bd. 72 (194o), P. I45.

7-632047 Aeta mo2hematica. 76:3-4

(2)

254 Eduard Batschelet.

Herr Ostrowski hat weiterhin gezeigt, dass e. fiir wachsende n beHebig gross wird, indem er die Beziehung

lira -en => - = 4 1,273 ^. ⁹ ⁹

- - ? / ,

herleitete 1. In meiner Dissertation ~ babe ich die etwas sch~rfere Beziehung lim ~-' > ]--- .~ = l g 2 = I ~ 4 4 2 9 9 9

bewiesen.

I n der vorliegenden Mitteilung leiten wir die Ungleiehung

(z) > I_

4

her, woraus sieh wegen (1) ergibt, dass e~ die Gr~ssenordnung ~;on n s besitzt.

Dieses Ergebnis ist insofern bemerkenswert, als H e r r O s t r o w s k i b e i der Herleitung der oberen Sehranke (I) fiir e~ seheinbar sehr starke Vernaehl~tssigungen ge- macht hat s.

2. Dem Beweis yon (2) schieken wir zwei ttilfss~tze voraus.

Hilfssatz I. Es set k eine positive ganze Zahl und F ( ~ I , . . . , ~k) ein multi- lineares Polynom tier Variabeln ~ 1 , . . . , gk, das also in Bezug auJ'jede Variable linear ist. 1)as konstante Glied sei gleieh o, die iibrigen Koeffizienten aber irgend- welehe reelle Zahlen, die nieht sffmtlieh versehwinden.

Dann kann man jeder der Variabeln ~ 1 , . . . , ~ die Werte + I oder - - I so beilegen, dass

F . . . , < o

gilt.

a 1. e., p. 146, Ungleiehung (26, l).

2 ~ Untersuchun.qen abet die absoluten Belriige der Wurzeln algebraischer, insbesondere k~ebiseher Gleichungen,, Verh. d. Naturf. Ges. in Basel, Bd. LV (I944).

Es m~ge c~ ) fiir festes k, I =< k =< n , die kleinste, n u r yon n u n d k abhlLngige S c h r a n k e fiir die relative Breite des I n t e r v a l l s bezeichnen, in dem I x~l variiert. Aus den U n t e r s u c h u n g e n yon Herrn Ostrowski, I. c. Formel (25, 3) auf p. I45, folgt c(nk)<=2,92.k(n--kq-l).

I n einer Arbeit, die an anderer Stelle verSffentlicht wird, e r h a l t e n wir dureh Abschlitzung nach u n t e n c~)>k(n--k q-I). Die H e r l e i t u n g dieses Ergebnisses, yon dem die obige U n g l e i c h u n g (2) ein Spezialfa]l ist, gesehieht auf einem /ihnlichen Wege wie in der vorliegenden Arbeit, erfordert aber eine m e h r in das Einzelne gehende Diskussion.

(3)

Bew'eis. Die Behauptung ist fiir k ~ I offenbar richtig, da sich dann F auf /~. ~ reduziert, wo B irgend eine reelle Zahl ~ o ist. Fiir k > I fiihren wit den Beweis dutch vollstiindige Induktion. W i t kSnnen F ( ~ I , . . . , gt) in der Gestalt

~ . F , (~,, . . ., ~ - 1 ) + F , (~,, . . ., ~ k - 1 )

sehreiben, wo F 1 und Fm multillneaxe Polynome der Variabeln ~ 1 , . . . , ~--1 sind, die nieht beide identisch versehwinden. Bei F t fehlt ausserdem das konst~nte Glied.

Der Hilfssatz m6ge bereits flit den Index k - - I bewiesen sein. W e n n F 2 ~ o ist, so erfiillt Fs die Bedingungen des Hilfssatzes, und wir kSnnen daher den Variablen ~ 1 , . . . , f~--1 die W e r t e + I so beilegen, dass F m < o wird. Setzen wit da~an ~ t = + I, wenn bei der getroffenen Wahl der Vaxiabeln F1 ~ o ist, oder

~t = - x, wenn F l > o ist, so fo]gt unmittelbar F(~I, 9 9 ~k) < o.

I s t abet F 2 ~ o , so legen wir den Variabeln ~1 . . . . , ~ - 1 die W e r t e _+ l derart bei, dass F l ~ o wird, und geben ~ wiederum das zu demjenigen yon F I ent- gegengesetzte Vorzeichen. Dann folgt die Behauptung auch flit diesen Fall unmittelbar.

n + 1 3. Hilfssatz II. E s sei n > o eine ungerade Zahl und m - - - - g e s e t e t .

2

Dann gibt es stets eine alyebraisehe Gleiehun 9 n-ten Grades (3) Ao x~ + A~ x"-~ + "'" + A . = o , deren Koeffizienten reell sind und den Bedingungen

(4) d . _ . = + A . , , ~ = o , . . . , m - - I,

geniigen, und die eine m-faehe Wurzel x - - - t besitet, welche positiv ist und die Un- gleiehung

(5) t > m

erfiillt.

Beweis. Eine Gleiehung n-ten Grades mit einer m-faehen Wurzel t kann wegen n - ~ 2 m - I in der Gestalt

(~ - t ) ' . ( a ~ ' ~ - I + a , x'~-~ + . - - + , ~ ) = o angesetzt werden. Der Abkiirzung halber setze man

(6) T~,=(--I)~' P , /~ = o , I . . . . ,m.

(4)

So erhiilt die G l e i c h u n g die G e s t a l t

(ro x" + 91~'-~

+...

+ r~).

(~, ~ - ,

+ ~,x --~ +... +

~)-=

" T o a , X ~ ' - 1 + ( r l a l + T o a , ) x ~ " - ~ + " " + T , . a . ~ = o , D e r K o e f f i z i e n t der P o t e n z x " - - ' - - - - x (2m-1)-" l a u t e t

wi

A , = ~-a T'-t" + at"*

t ~ = l

wobei T , - ~ + I - - - - o zu setzen ist, w e n n der I n d e x n e g a t i v odor ga'Ssser als m i s t . Mit den so d a r g e s t e l l t e n K o e f f i z i e n t e u effiille m a n j e t z t die B e d i n g u u g e n (4) d u r c h den A n s a t z

(7) A n _ . + ~ . A . ~ . ~ T . _ . _ t , + , a ~ , + ~.. ~ T . _ ~ , + ~ a ~ , = o ,

. = o , . . . , m - - I,

~=1 ~=1

wo ~0, ~ 1 , . . . , ~,a--, Griissen bezeiohnen, die n u t der W e r t e + I odor - - i fiihig sind. D e r t t i l f s s a t z I I i s t bewiesen, w e n n es gelingt, fiir al . . . . , a , reelle Z a h l e n zu finden d e r a r t , dass die G l e i e h u n g e n (7) fiir g e e i g n e t e ~ ~ _ + I, ~ = o , . . . , m - - I , u n d fiir e i n e n g e e i g n e t e n Wex4 t > m erfiillt sin&

N u n l a u t e n die G l e i c h u n g e n (7), n a c h den U n b e k a n n t e n a 1 .. . . , am g e o r d n e t ,

~ ( r . - . - . + , + ~. r . _ ~ + ~ ) ~ = o, ~ = o . . . . , ~ - ~,

~ = 1

oder, w e n n m a n sie, m i t u = m - - I b e g i n n e n d , ausfiihrlich ~schreibt:

( T . + ~m-1 Tm-.-,) a, + ("T,n-l + ~,.-~ T.-2) a, + ' "

+ (T, + ~._, I'1) am-, + (T1 + ~.-1 To) a,n = o

~m-~ T,~_~ a, + ( T , + ~,~_~ T,~_~) a, + . . . + (T~ + ~,~_~ To) a,~-~ + T , . a,~ = o

~ . - 3 T , ~ - 3 a , + ~,~-3 T . _ , a , + . . . + T , a ~ _ ~ + T s "

am --

o

. . . . o o o . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . o . . , o 9

~, 9 T , 9 a~ + ~ 9 To . . a , . + T,~ a , - - + T , , - ~ . a ~ , = o

~o

" To " al + T , . . a,. = o

Dies sind m h o m o g e n e l i n e a r e G l e i c h u n g e n fiir die rn U n b e k a n n t e n a I . . . . , a~

N o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d fiir die E x i s t e n z einer n i c h t t r i v i a l e n L 6 s u n g ist das V e r s e h w i n d e n d e r D e ~ r m i n a n t e d e s Systems. W e n n diese m i t D(t) b e z e i e h n e t wird, so h a t m a n d e m n a c h

(5)

(8)

T., + ~.,_, I ' , . _ ~ T~_~ + ~ ~.,-, 1 . , - . _ . . . . 1 ,_, + ~.,-1 TI T, + ~,,,-x To ' 1' ~ ']'

~,,,_~T.,_~ T , . + ~ . , - ~ _ T . , , . . . 3+s,,,--2 o T~

D ( t ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~ o T o o . . o T,,,

Die Matrix der D e t e r m i n a n t e (8) ist die S u m m e der beiden Matrizen

~'m, T i l t - 1 T i n - 2 9 9 . -~T, 2 r 1

o T,, T , , - ~ . . . T ~ I ' ~ _

o o T,,, . . . T , T ,

. . . . , . . . . . . ,

0 0 0 . 9 T r o T , , - - 1

o o o . . . o I " . ,

u n d

~ 0 .

~,,,_, T,,_, ~,,_, 1',,,_~ . . . ~ , , _ , I ' , ' ~ , , , _ , T o "

~,,,_._, I',,_~ ~,,_._, T , , _ : , . . . 5,-,-, To o

~ . , - 3 I ' , , , - 3 ~,,,_:, T , , , _ , . . . o o

9 . , . . . . . . . . . . . . . . .

F,, T, ~, To . . . o o

~oTo

ô ^{, .} ô ô

Von o verschiedene Elemente k o m m e n n u r auf einer Seite der Haupt-, resp. der Nebendiagonalen vor.

W e g e n (6) ist D ( t ) ein P o l y n o m yore Grade m 2 in t. Die E n t w i c k l u n g nach fallenden Poteuzen yon t b e g i n n t m i t zwei Gliedern, die sich aus den E l e m e n t e n der f t a u p t d i a g o n a l e n ergeben:

D (t) ~ T " + ~,._~ I . . . . ~ T , . - ~ + . . . . o ,

woraus sieh

D * ( t ) - - (-- I ) " 9 D ( t ) ~ t " ' - - m E . . _ ~ t " ' - ~ + . . . . o

ergibt. Man w~hle yon vornherein ~,,_~----I, w o m i t (8) in die G l e i c h u n g (9) D* (t) ---- t "r" - - m t " ' - ' + R (t) := o

iibergeht. R ( t ) fasst hier die Glieder yore Grade ~m-~--2 zusammen. Offenbar gilt

(io) D* (m) = ~ (.,).

(6)

Man beachte weiter, dass bei der B e r e c h n u n g der D e t e r m i n a n t e durch Bildung yon P r o d u k t e n aus m Elementen, yon denen keine zwei in der gleichen Zeile oder in der gleichen Kolonne vorkommen, n u r ein einziges P r o d u k t entsteht, das keinen der F a k t o r e n g,, e n t h ~ t , n~imlich T ~ u n d ebenso n u r ein einziges, welches bloss den F a k t o r

~m--1 enth~tlt,.~nitmlich

~ - t T ~ - I T~-x. Das sind gerade die beiden A n f a n g s g l i e d e r der Entwickl~ng, die zu (9) gefiihrt hat. Alle iibrigen P r o d u k t e u n d d a h e r auch s~mtliche Glieder yon R(t) sind m i t einem oder m i t mehreren der F a k t o r e n vo, ~ ~1, . . . , ~,_o. behaftet.

D a ~,~ fiir jedes feste /~ n u r in einer Zeile der D e t e r m i n a n t e (8) a u f t r i t t , so ist R(t) somit ein multilineares Polynom der GrSssen ~o, - -., ~.,-2 ohne k o n s t a n t e s Glied. Anderseits kSnnen nicht s~mtliche Glieder verschwinden, da das P r o d u k t

~ 0 ~ , . . . ~,,-1 offenbar den (yon t lunabh~ngigen) Koeffizienten I'~'---- I besitzt.

R(t) ~erfiillt d a m i t die B e d i n g u n g e n des Hilfssatzes I. Es gelingt folglich, fiir jedes einzelne ~,,, p-~o, . . . , ~n--2 die W e r t e + I oder - - I so zu bestimmen, dass R ( m ) ~ . o , oder dass vermSge (Io)

D * (,,) < o

wird. Bei dieser W a h l der ~t, folgt, dass ])*(t) ei~e positive W~lrzel t > m besitzt, da in (9) das Glied hSchsten Grades in t einen positiven Koeffizienten besitzt.

Die Existenz der G l e i c h u n g (3) mit den B e d i n g u n g e n (4) u n d (5) ist d a m i t gesichert, womit der Hilfssatz I1 bewiesen ist.

4. W i r kSnnen n u n m e h r die Ungleichung (2) beweisen. Es mSge .~2.~ o zu- n:.ichst uT~gerade sein. Die Gleichung

(12)

Aox" + A l x "-I + "'" + A,, ~ o

geniige den B e d i n g u n g e n des Hilfssatzes I I . Sie besitzt also eine m-fache Wurzel

n + I

t > ~ , w o m = - - gesetzt ist.

2

Die W u r z e l n x ~ , . . . , xn seien wie in A b s e h n i t t x. n a c h steigenden absoluten Betriigen ~eordnet. W e g e n )1) -~ kSnnen wir x,, die mittlere Wurzel von (I2)

2

nennen. Die Oleichung kann hSchstens n~--I W u r z e l n besitzen, deren absolut.er Betrag • ] x= ], und ebenso n u r m - - I Wurzeln, deren absoluter B e t r a g < ]xm ] ist.

D a n u n t m-fache Wurzel ist, so muss gelten.

X m ~ t

(7)

Die aus (12) d u r c h die T r a n s f o r m a t i o n x - - - I h e r v o r g e h e n d e G l e i c h u n g Y

(13) A . x " + A,,__l x " - I + " " + A o - - O

besitzt o f f e n b a r die m-fache W u r z e l x ~ l < m - I . Zugleich ist x ~ ~ der W e r t der m i t t l e r e n W u r z e l der G l e i c h u n g (13).

W e g e n (4) g e h S r t die G l e i c h u n g (13) zu der S c h a r der G l e i c h u n g e n , die aus (12) e n t s t e h e n , wenn m a n die A r g u m e n t e der K o e f f i z i e n t e n beliebig variiert. D e r absolute B e t r a g der m i t t l e r e n W u r z e l s c h w a n k t s o m i t in einem I n t e r v a l l , dessen

: m 2

r e l a t i v e B r e i t e > ~ - ~ . ist.

N a c h Definition yon c , g e w i n n e n wir d a r a u s die U n g l e i c h u n g (. § I)'-

(14) c n > 'l~ '~ = ' ,

4 woraus (2) fiir u n g e r a d e , u n m i t t e l b a r folgt.

Es sei endlich n g e r a d e und gleich ~ • gesetzt. B e z e i c h n e n wir mit e o, e~ . . . . , e,,, k o m p l e x e Variable yore absoluten B e t r a g e I, so e x i s t i e r t nach dem eben Bewiesenen eine S c h a r yon G l e i c h u n g e n

% A o x " ' + e~ A j x " , - ~ + . . . . )- e , , ~ A , , = o

m i t f e s t e n A,., welche die f o l g e n d e E i g e n s c h a f t besitzt: U n t e r den nach s t e i g e n d e n a b s o l u t e n Betriigen g e o r d n e t e n W u r z e ] n gibt es wenigstens eine, deren a b s o l u t e r B e t r a g in e i n e m I n t e r v a l l s c h w a n k t , das eine relative B r e i t e > (.n~ + I) "~ ^_ ^_ ^-^- I ^{j l ~}

4 4

hat. Dasselbe muss offenbar yon d e r S c h a r der G l e i c h u n g e n n-ten G r a d e s gelten, die m a n aus der vorigen d u r c h M u l t i p l i k a t i o n m i t x erhs niimlich yon der G l e i c h u n g s s c h a r e o A o x " + e l A ~ x " - ~ + . . + ~,,,,A,,, x = o. D a m i t ist (2) a u c h fiir g e r a d e n bewiesen.

5. Zum Schluss mSge n o c h das Beispiel n = 3 b e t r a c h t e t werden. Die G l e i c h u n g (9) l a u t e t hier fiir die in A b s c h n i t t 3. erkliirte W a h l yon ~0 u n d ~

t 4 - - 2 t s - 2 t + I : O .

Sie ist reziprok und besitzt die positive W u r z e l

t o "-- 2 ~ 2 ~ 6 . . . .

(8)

Es existiert also eine Schar yon kubischen Gleichungen, die sich n u r in den A r g u m e n t e n der Koeffizienten unterscheiden, fiir welche der absolute Be- t r a g der mittleren Wurzel in einem I n t e r v a l l vaxiiert, dessen relative Breite

~-- t-A-~ tO ist. Es folgt daraus c 8 > t:. A n a n d e r e r Stelle t habe ich gezeigt, dass

-- t,?-t

auch ~'.~ ~ t,~ und somit

~ ' . j - - - t : = 5 , 2 7 4 . . .

gilt.

S. m e i n e i n F u s s n o t e 2 a u t S e i t e 2 5 4 z i t i e r t e A r b e i t .

T

ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN.