A NNALI DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA Classe di Scienze
B ÉLA V . S Z . N AGY
Bedingungen für die Multiplikationstabelle eines in sich abgeschlossenen orthogonalen Funktionensystems
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 2
esérie, tome 6, n
o3-4 (1937), p. 211-224
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IN SICH ABGESCHLOSSENEN ORTHOGONALEN FUNKTIONEN- SYSTEMS
von BÉLA v. Sz. NAGY in
Szeged.
Einleitung.
~
Es sei ein endliches oder unendliches Intervall auf der s-Achse und es sei auf M ein LEBESGUE-STIELTJEssehes Maß- und
Integralbegriff
durch einemonoton
wachsende Funktiona(s) erzeugt.
Wir nehmen an, daß die auf M definierten
endlich,
oder unendlich vielenkomplexwertigen
Funktionen"Pi (s), "P2(S), ~3(s),....
eininbezug
auf diesenIntegral- begriff
in sichabgeschlossenes System
bilden. Darunter verstehenwir,
daß
jede
Funktion beschränkt und meßbarist,
daß ihrAbsolutwertquadrat integrierbar
ist und daß die Produktezu
jener abgeschlossenen Linearmannigfaltigkeit % gehören,
welche durch die Funktionen desSystems ] aufgespannt
wird.Man kann leicht
einsehen,
daß dann mit zwei zu% gehörigen
Funktionen undh2(s)
auch ihr Produkt zu% gehört, vorausgesetzt,
daß mindestens einevon ihnen beschränkt ist
(1).
Die Gesamtheit%*
derzu % gehörigen
beschränkten Funktionen enthält also mitirgend
zwei Funktionen auch das Produkt derselben.%*
ist offenbar eine in%
überall dichteLinearmannigfaltigkeit
und enthält alle Funktioneny,(s)yq(s), 1jJp(s)1jJq(s) (p, q=1, 2, 3,....).
Nehmen wir außerdem an, daß das
Funktionensystem (normiert) orthogonal ist,
also daß dieGleichungen
gelten.
,Da die
folgenden Operationen :
Addition undMultiplikation
der Funktionen (1) Vgl. SZÖKEFALVI NAGY BELA : Izomorf függvenyrendszerekrol, Matematikai es Terme- szettudomänyiPrtesitö,
54 (1936), S. 712-734, insbesondere S. 730. Dort wird dies nur für reellwertige Funktionen bewiesen, für komplexwertige geht der Beweis analog.N
miteinander,
sowieMultiplikation
mit einerkomplexen
Zahl nicht über1,*
hin- ausführen und da fernerjede
Funktion aus%* eindeutig
in eine im Mittel gegen siekonvergente
Reiheentwickelbar
ist,
so kann man%*
für einhyperkomplexes System
mit den Ein-heiten
y~3 (s),....
ansehen. Diesealgebraische Interpretation
erklärt diefolgende Benennung:
Wir nennen die kubische Matrix11 Cpqr 11,
die durch dieEntwicklungskoeffizienten
der Produkte
inbezug
auf dasSystem ] gebildet ist,
die Multi-plikationstabelle
desSystems
Die
Aufgabe
dieser Arbeit istdiejenigen
kubischenMatrizen,
welche Multi-plikationstabellen
von in sichabgeschlossenen orthogonalen Funktionensystemen sind,
durch innereEigenschaften
zu charakterisieren.Mit diesem Problem hat sich schon A. HAAR
beschäftigt.
Er beschränkte sich aber auf denSpezialfall,
wo auch die Funktion 1zu % gehört,
also dashyper- komplexe System L*
ein Einselement besitzt.(Er
hat nochvorausgesetzt,
daßdie Produkte
zu
1 gehören,
dieseVoraussetzung
hat er aber nichtausgenutzt).
DieErgebnisse
von HAAR lauten für diesen
speziellen
Fall(in
etwas veränderterAusdrucksweise),
wie
folgt (2):
Eine endliche oder unendliche kubische
Matrix ||cpqr|| ist
dieMultiplikations-
tabelle
eines
solchenOrthogonalsystems,
wenn diequadratischen
MatrizenCp
und
Cp* (~ro =1, 2, 3,....),
definiert durch undden
folgenden Bedingungen genügen:
2)
alle MatrizenCp
undCp*
sind beschränkt(im
HILBERTschenSinne)
und miteinander
vertauschbar,
0)
esgibt
eineFolge
ei, e2, e3,.... vonkomplexen
Zahlen mit(2)
Vgl. A. HAAR: Über die Multiplikationstabelle der unitär-orthogonalen Funktionen- systeme, Annali di Pisa, 2 (1933), S. 21-40,so daß
p
(für q, r z:-- 1, 2, 3,....) gilt.
Die
Bedingung 0)
steht in wesentlicherVerbindung
mit der erwähnten Vor-aussetzung
über die Funktion 1. Die Zahlen ei , e2, e3,.... sind nämlich die Fourier- koeffizienten dieser Funktioninbezug
auf dasSystem
Wir werden nun die
allgemeinere Fragestellung untersuchen,
ohneirgendwas
über die Funktion 1 vorauszusetzen.
§
1. -Notwendige Bedingungen.
Die auf definierten
N,
oder unendlich vielenkomplexwertigen
Funktionensollen
inbezug
auf einen LEBESGUE-STIELTJEssehenIntegralbegriff
ein in sich ab-geschlossenes orthogonales Funktionensystem
bilden. Die Funktionen sind also beschränkt undmeßbar,
ihre absolutenBeträge
sindquadratisch
inte-grierbar
und esgehören
.endlich die Produktezur
abgeschlossenen Linearmannigfaltigkeit 1 derjenigen Funktionen,
welche durch Linearausdrücke der1Jlp(s)
imIntegralmittel
desAbsolutwertquadrats beliebig
genau
approximierbar
sind.Die
Multiplikationstabelle ||cpqr||
diesesFunktionensystems
hatnotwendig
diefolgenden Eigenschaften:
"-
Für die aus den c.., mittels der
Gleichungen
gebildeten quadratischen
MatrizenCp
undC,* (p=1, 2, 3,....) gelten
dieBedingungen :
’I).
Atle MatrizenCp
undCq*
sind beschränkt(im
HilbertschenSinne)
und miteinander
vertanschbar ;
,II).
Esgilt (Op)qr=(Oq)pr,
für p, q,r 1, 2, 3e....
III).
Die Matrizen01, C2, C3,....
sindlinear unabhängig.
Besteht alsodie
Folge
al, a2, a3,...., ap,.... von N bzw. unendlich vielenkomplexen
Zahlenmit endichem
a "12
nicht aus lauterNullen,
so können dieGleichungen
P.
nicht für
beliebige
q und r statthaben.Beweis. - Es seien ~3~..., x~,.... und y2, ~3~..~ 9 y~,..., zwei
Folgen
von N bzw. unendlich vielen
komplexen Zahlen,
so daßund
gelten.
Die Limites im Mittel der Reihen und
seien mit
f(s)
bzw. mitg(s)
bezeichnet. Da mitf(s)
auch das Produkt(für jedes p)
zu% gehört (vgl.
a. a. 0.(~)),
können wir die ParsevalscheFormel,
auch für diese Funktion anwenden. So
gewinnen
wir:Die Matrizen
C,
undfolglich
auch ihreAdjungierten C,*
sind also beschränkt.Betrachten wir nun die
Matrizenprodukte.
Esgilt
-
woraus die Vertauschbarkeit von
Ca
undCb folgt.
Ebenso kann man dieGleichungen
,- und
und somit die Vertauschbarkeit von
Ca
undCb*,
bzw. die von undCb*
rechtfertigen.
Esfolgt
aus diesenGleichungen
auch dieGültigkeit
der Bezie-hungen (CpOp*)qr=(OqOp*)pr
für p, q,r=l, 2, 3,....
DieBeziehung (Op)qr=(Oq)pr folgt
unmittelbar aus der Definition.Wir haben noch die
Gültigkeit
der drittenBedingung
zu beweisen. Sei x3) .... y xp,.... eineFolge
von N bzw. unendlich vielenkomplexen’
Zahlen mitund es sei der Limes im Mittel der Reihe
~ Xp1jJp(S)
mitf(s)
bezeichnet. Dann istaber p
Wäre dieser Ausdruck für
jede q
und rgleich 0,
so wären die Produktef(s) y~3 (s),....
auf alle Funktionen desSystems
also auch auf1
orthogonal.
Da sie selbst zu% gehören,
müßten sie und mit ihnen auch die Funktionenf(s) y~3 (s),....
alleverschwinden,
was aber wegenunmöglich
ist.In den
bisherigen Betrachtungen
haben wir nur solcheEigenschaften
der°
Grundmenge
M bzw. des auf ihreingeführten LEBESGUE-STIELTJESschen
Maß- undIntegralbegriffs ausgenutzt,
welche auch imallgemeinsten
Falle des auf einer abstraktenMenge
definierten Maß- undIntegralbegriffs
bestehen. DieBegriffe
der
Abgeschlossenheit
in sich und derMultiplikationstabelle
sind offenbar auch in diesem abstrakten Falleerklärbar,
dienotwendigen Bedingungen
1.111 blei- ben also auch dann bestehen.’
’
§
2. - Ein Hilfssatz.Nehmen wir an, daß die aus einer
gegebenen endlichen,
bzw. unendlichen kubischen Matrix11 Cpqr 11 gebildeten quadratischen
MatrizenCi, C2, C3,....
denBedingungen
I-IIIgenügen.
Wir werdenbeweisen,
daß dann dieMultiplika-
tionstabelle eines in sich
abgeschlossenen orthogonalen Funktionensystems
ist. DieErgebnisse
der ersten Hälfte des Beweises werden wir in einem Hilfssatze zusam- menstellen.(Von
nun an soll diefolgende Vereinbarung gelten:
lateinische Indizes laufen die erstenN,
bzw. allepositive
ganze Zahlenhindurch, je
nachdem11
Cpqr11
N3,
bzw. unendlich viele Elementehat.)
Die Matrix
CpCp*
ist offenbarpositiv
definit undHermitesch,
ihre obereSchranke sei mit
Mp
bezeichnet. Es ist wohlbekannt(3),
daß man zugewissen
auf dem Intervall definierten beschränkten
reellwertigen
Funktionengewisse
beschränkte Hermitesche
Matrizen eindeutig
zuordnenkann,
so daß diese Zu-ordnung
linear undmultiplikativ
ist und der Funktion xp die MatrixCpCp*
zuordnet.Eine solche
zugeordnete
Matrix ist mit allen mitCp Cp*
vertauschbaren Matrizen vertauschbar. DieseZuordnung
ist z. B. für alle auf[0, Mp]
von untenhalbstetige
beschränkte Funktionen und für aus solchen
gebildeten
Differenzen definiert. Solche Funktionen sind z. B. diefolgenden :
und
Die
zugeordneten
Matrizen seien mitf(CpCp*; n)
undg(CpCp*; n)
bezeichnet.Es
gelten
dann offenbar diefolgenden
Matrixrelationen :und
Die Matrix
n)
ist also einesogenannte
Einzelmatrix. Wir ordnen nundie zu allen
OpOp*
und zu allenpositiven
ganzen Zahlen ngehörigen
Einzel-matrizen
f(CpCp*; n)
in eineFolge
Da die Matrizen
CpCp*
lautBedingung
I vertauschbarsind,
so sind es auchdie
Pv .
Man kann daraus leichterkennen,
daß die Matrizendie durch die rekursiven
Gleichungen
definiert
sind,
ebenfalls Einzelmatrizen undpaarweise orthogonal
sind.(Es gilt
also
Rx R,=0 für x # 03B2.)
(3)
Vgl. F. RIESZ: Über die linearen Transformationen des komplexen Hilbertschen Raumes, Acta Szeged, 6(1930),
S. 23-54., insbesondere S. 31-36.Die Differenz
wo E die Einheitsmatrix
bedeutet,
ist auch eineEinzelmatrix,
wir bezeichnen sie mitQv .
Esgelten
also die Matrixrelationen(4):
und
Die rechte Seite der letzteren
Gleichung
ist abergleich
Es ist nämlich erstens
Qv gleich
ihremQuadrat;
dieGleichung
aber
folgt daraus,
dass diese Matrizen den Funktionenzugeordnet,
und dieseFunktionen
offenbar einandergleich
sind.Wenn wir die Matrix ·
Qy
kurz mitGy bezeichnen,
dann lauten die oben bewiesenen Matrixrelationen :
Die so gewonnenen Matrizen
Rv
undGv
sind offenbar mitjeder
MatrixCp
und
Cp* vertauschbar,
da diese mitCp Cy
vertauschbar sind.Aus der
Gleichung folgt
mitBerücksichtigung
der Bedin- gungII,
daßgilt.
Aus der beiderseits mit
multiplizierten Gleichung RvGy= Gv folgt
(4) Wir bezeichnen mit Pl’
und iz"
diejenigenIndizesr
für welcheMit der
Einführung
derBezeichnung
nehmen die
jetzt
gewonnenenGleichungen
diefolgende
Gestalt an :und
Die Reihen
sind
wegen der Beschränktheit der MatrizenCpyGv (v=1, 2, 3,....)
offenbar kon-vergent.
Wir
behaupten noch,
daß die Summe der EinzelmatrizenRi, R2, B3,.... /
gleich
der Einheitsmatrix ist. Imentgegengesetzten
Fallegäbe
esnämlich
eineFolge
al, a2, a3,.... vonkomplexen
Zahlen mitso daß für
jede
r und vwäre.
Es
folgte
daraus fürjede
r und v dieGleichung
woraus sich für
jede q
und roder auch
ergäbe, entgegen
derBedingung
III.Wir haben also den
folgenden
Hilfssatz bewiesen :Genügen die quadratischen
MatrizenC,
undCp*
denBedingungen IIII,
so
gibt
es eine solcheFolge
vonpaarweise orthogonalen
EinzelmatrizenRl’
und solche
komplexen
Zahlenek~~,
für welche die Relationen’
§
3. - DieBedingungen
sind auch hinreichend.Betrachten
wir die MatrizenOP1 Cp*
undRv
alsOperatoren
deskomplexen N-dimensionalen,
bzw. HILBERTschen Vektorraumes(je
nachdem die Zahl ihrer Elementengleich N2,
oder ooist}.
Da dieAbsolutwertquadratsumme
der im Hilfs-satze auftretenden
Folge
sokönnen
wir für die k-teKomponente
eines Vektors ansehen. Die k-teKomponente
eines Vektors vwird mit
(")k’
das innere Produkt zweierVektoren "1
und ~2 wird mit der üblichenEinklammerung (b1 ~ V2)
bezeichnet werden.Aus der
Bedingung
II und aus dem Punktec)
des Hilfssatzes erhält manund daraus
Man bekommt so die
Gleichungen
,und
Mit
Berücksichtigung
des Punktesb)
des Hilfssatzes bekommt man aus(1)
bzw.
(2)
diefolgenden Beziehungen:
und
Bedeute nun A eine mit
jeder
MatrixCp
undCp*
vertauschbare beschränkte HERMITEsche Matrix. Sie ist dann auch mitjeder
MatrixRv
vertauschbar und esgilt
Da aber nach dem Punkte
d)
des Hilfssatzesgilt,
haben wir dieGleichung
Die Hermiteschen Matrizen
und seien bzw. mit
C.,
undC.,
bezeichnet.Bedeute
lk
dieMenge
aller solchen(aus
2N bzw. 00 Gliederbestehenden)
reellen
Zahlenfolgen
welche den
Ungleichungen
genügen.
Dabei ist unter dieuntere,
unter~p~
die obere Schranke vonCP.
verstanden.
,
Unter einem Intervall
11
von1ft
wird dieMenge
aller solchenFolgen verstanden,
welche den
Bedingungen
. I -" - - -" -"
genügen, wo ipx
für endlich viele Indizes pje
einabgeschlossenes, halbabge- schlossenes,
oder offenes Teilintervall des linearen Intervalles für dieübrigen
Indizes p aber das ganze Intervall[mpx, lVlpx]
bedeutet.Ist
ipx)
die charakteristische Funktion des linearen Intervallesipx,
sowird das Intervall
’Q
die charakteristische Funktionbesitzen,
Wir werden unendlich viele
Exemplare
von
lk
nehmen und ihreVereinigungsmenge
mit1R
bezeichnen.Auf
lkv
werden wirfolgenderweise
einenMaßbegriff
einführen:Es sei dem Intervall
1,
alsTeilmenge
von1ft" betrachtet,
das Maßzugeschrieben.
Es ist leicht
einzusehen, daß,
von dieserVereinbarung ausgehend,
ein äußeresMaß auf
lkv
in der üblichen Weiseeingeführt
werdenkann;
mittels dessen läßt sich dann auch ein Maß- undIntegralbegriff
auf1kv
definieren. Die auf den ein- zelnen1kv
soeingeführten Integralbegriffe
induzieren dann auch auf1R
einenIntegralbegriff. ~
°Die Funktionen (p" q~3,...., cpp,.... seien auf
’I~ folgenderweise
definiert : In einem « Punkte ~(xsl,
x12, x21, x22,...., Xpl,Xp2’’’’’)
von1kv
seigleich
Xpl+ i
· xp2 . Die Funktion gp ist offenbar beschränkt und meßbar. Das auf1kv
genommeneQuadratintegral
ihres absolutenBetrages ergibt
sich leicht alsAus
(3) folgt
dannDa also die
integrierbar sind,
sind es auch die Produkte und Wir bekommen für ihreIntegrale :
und ebenso
.
Vergleichend
dieseErgebnisse
mit(3)
und(4),
bekommen wir endlich dieGleichungen
r’
,
und
Wir haben also ein solches aus beschränkten Funktionen bestehendes ortho-
gonales Funktionensystem gefunden,
welches dieMultiplikationstabelle ||cpqr|| I
besitzt. Wir werden noch beweisen
können, daß i
einvollständiges System
auf
1R
ist..Zu diesem Zweckegenügt
es offenbar zuzeigen,
daß für die charak- teristischeFunktion x
einesbeliebigen
Intervalles1 von lk.,
die Parsevalsche Formelgilt.
Ist
1
durch die linearen Intervallei~x -’(p =1, 2, 3,.... ; x=1, 2) bestimmt,
sobedeute A die Matrix
A ist offenbar eine mit
jeder
MatrixCp
undCp*
vertauschbareEinzelmatrix,
sodaß wir
(5)
für sie anwenden können.Das
Integral von
auf1R
istgleich
dem Maße von’~,
alsogleich
Es ist ferner leicht
einzusehen, daß
gilt.
,Aus
(5) folgt
also diebehauptete Gleichung (6).
Sind also für die aus einer
gegebenen
kubischenMatrix || Cpqr 11 gebildeten
qua-dratischen Matrizen die
Bedingungen
I-IIIerfüllt,
sogibt
es ein aus beschränktenFunktionen
bestehendes vollständiges (also
a fortiori in sichabgeschlossenes) orthogonales Funktionensystem,
dessenMultiplikationstabelle gleich ||cpqr||
ist.Dieses auf der abstrakten
Menge 1R
definierteFunktionensystem
können wirauch mit einem auf der Geraden definierten
Funktionensystem ersetzen,
welches
inbezug
auf einen LEBESGUE-STIELTJEssehenIntegralbegriff orthogonal
und
vollständig
ist und ebenfalls dieMultiplikationstabelle I cpqr I
hat.Zu diesem Zwecke bilden wir
1ft
und das lineare IntervallBt= [0,1]
aufeinander ab. DieseAbbildung
soll durchje
einentsprechend aufgebautes
Netzwerk(5)
von
1ft
undT erzeugt
werden. Bei derZuordnung
der Intervalle dieser beiden Netzwerke soll noch darauf beachtetwerden,
daß zu zwei Intervallenvon
mit einem
gemeinsamen Endpunkte
zwei solche Intervalle von1ft zugeordnet seien,
die eine
gemeinsame «
Seitenebene » besitzen. Dieseentsprechenden
Netzwerkeerzeugen dann eine
eindeutige stetige Abbildung von C
auf1t;
dem Punkte tvon
C
wird der Punkt’
.
von
lk zugeordnet,
dielspx(1)
sind dabei in tstetig.
DieUmkehrung
dieser Ab-bildung ist
aucheindeutig,
mit der Ausnahme der Punkte der inneren Netzebenenvon 1ft,
wo siemehrdeutig
sein kann. Die Funktiong(xii,
xi2,x2~,....),
welche dieAbbildung lk - C erzeugt,
ist also auf’~
überall mit der Ausnahme von auf die inneren Netzebenen fallenden Punkteneindeutig
definiert.Wir nehmen nun
nachträglich
an, daß die inneren Netzebenen von1k
sogewählt sind,
daß sie nicht durch Punkte aus denPunktspektren
der einzelnenCpx gehen.
Darunter soll es verstandenwerden,
daß wennxp.,
die«
Gleichung »
einer inneren Netzebeneist, .dann 8
keinEigenwert
vonCpx
seindarf. Dies ist
ja
immer erreichbar. Eine solche Ebene hatdann,
alsTeilmenge
eines
beliebigen 1ft-Exemplars 1ft" betrachtet,
offenbar das Maß Null. Da es nurabzählbar unendlich viele innere Netzebenen in den einzelnen
gibt,
ist ihreVereinigungsmenge
ebenfalls vom Maße Null.Die Funktion x12,
X219 .... )
ist also auf1ft"
fast überalleindeutig definiert,
sie ist dort offenbar auch meßbar und es
gilt
auflkv
fast überall dieGleichung
Die monoton wachsende Funktion
a(s)
seifolgenderweise
auf derHalbgeraden
s?0 definiert: Für
2(~-l)~2y-l (v=1, 2, 3,....) ,sei a(s) gleich ~
gzv
(d.
h. der Summe der Maßederjenigen 1k,u,
für welche~~),
addiert noch dazu(5)
Für die Topologie von 1ft und für den Begriff der entsprechenden Netzwerke von 1ft und G siehe z. B. : B.JESSEN :
TheTheöry
of Integration in a Space of an Infinite Numberof Dimensions, Acta Mathematica, 63 (1934), S. 249-323, sowie die dort zitierte weitere dies- bezügliche Literatur.
das Maß
desjenigen
Teiles von wo der Wert der Funktion in das Intervall[0, s-2(v-1)]
fällt. Für’ ’,Die
stetige
Funktion1pp(s)
seifolgenderweise
definiert: Fürsei
siegleich
Ist dann
f(s)
einebeliebige stetige Funktion,
für welchekonvergiert,
so ist offenbarf(s) inbezug
aufa(s)
absolutintegrierbar
und esgilt
Da auf
1Bv
fast überallgleich
gpist,
so bekommen wir für dieIntegrale
dery-Produkte :
und
Es ist leicht
einzusehen,
daß aus derVollständigkeit
desSystems
auchdie
Vollständigkeit
desfolgt.
Wir haben also
Folgendes gefunden :
Genügen
die aus einergegebenen
kubischen Matrix11 gebildeten quadratischen
MatrizenCp,
denBedingungen IIII,
sogibt
es auf derHalbgeraden
s ~ 0 einenLebesgue-Stieltjessehen Integralbegriff
und ein ausbeschränkten
Funktionen bestehendes Funktionensystem
so daßinbezug
auf diesenIntegralbegriff orthogonal
undvollständig (also
a fortioriin sich
abgeschossen)
ist und dieMultiplikationstabelle
besitzt.Ans der Konstruktion der Funktion
1pp(s) folgt noch,
daß siestetig
undperiodisch
mit einer von punabhängigen Periode gewählt
werden kann und daß sieaußer
dem Index p nur von den Schranken undEigenwerten
der beiden Hermiteschen