Échanges de trois d'intervalles et suites sturmiennes

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

ILLES

D

IDIER

Échanges de trois d’intervalles et suites sturmiennes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

9, n

o

_{2 (1997),}

p. 463-478

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1997__9_2_463_0>

© Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés.

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Échanges

de trois d’intervalles et suites sturmiennes

par GILLES DIDIER

RÉSUMÉ. On appelle échange d’intervalles _{l’application qui} consiste à réor-donner les intervalles d’une _partition de

_[0,1[

suivant une _permutation

donnée. Dans le cas des _partitions en trois intervalles, nous donnons une

caractérisation combinatoire des suites _{codant, d’après} la _partition définis-sant _{l’échange,} l’orbite d’un _point de _{[0,1[ sous} l’action de cette

transfor-mation.

ABSTRACT. An interval _exchange is an _application which _rearrange,

accord-ing to a _{given permutation,} a set of intervals _partitioning

[0,1[ .

In the case

of _partitions into three _intervals, we _give a combinatorial caracterisation of

sequences coding, according to the partition defining an intervals exchange,

the orbit under this transformation, of a _point in

[0,1

[ .

INTRODUCTION

Soient s un entier

_supérieur

ou

_égal

à

_{deux, o,}

une

_permutation

de

{1, ... ,

s}

et A =

_{~~1, ... , As)}

un élément de à coordonnées stricte-s

ment

_positives

et telles _que

_E

_Ài

= 1 . Posons alors

80 = 0

_{et pour tout}

1 - 1

i=l

. r, "’"

L’échange

d’intervalles associé à

_{(a, À) ,}

noté

_{E ,}

est l’isométrie _par morceaux

_qui

consiste à

_{permuter, suivant u ,}

les intervalles

_{h , ... , ,18 .}

Plus

_{formellement,}

E est la

_bijection

de

_{[0, 1[ [}

vers

[0, 1[

[

_{qui associe,}

à tout

_{point x}

E

_Ik

avec k e

{ 1, ... ,

s} ,

le

point

E(x)

= x

_{+ ak ,}

où :

On

_peut

_également

considérer des

_échanges

_portant

sur un intervalle

s

[0, q[

avec q

#

1 que l’on définit de la même

façon

(on

a

¿

Àj

_{= Î} au lieu de

i= i

s

£ À;

=

1 ) .

Nous

parlerons

alors

d’échanges

d’intervalles non-normalisés.

1=1

On

_peut,

sans

perdre

de

généralité,

limiter l’étude aux

échanges

d’inter-valles associés aux

_permutations

sur

{ 1, ... , s}

ne laissant invariant aucun

ensemble

_{{1~... t}}

avec t s

_qui

sont dites irréductibles.

En

_effet,

si la

_permutation

associée à un

échange

d’intervalles n’est _pas

irréductible,

celui-ci

_peut

alors être

_décomposé,

_quitte

à effectuer

_quelques

renormalisations,

en

_échanges

d’intervalles irréductibles.

Avec les notations

_{précédentes,}

un

_échange

d’ intervalle est dit

_régulier

si

_{l’égalité :}

implique k

= 0 _et i

_{= j .}

Les

_{propriétés ergodiques}

des

_{systèmes dynamiques}

associés aux

_échanges

d’intervalles

_(i.e.

de la forme

_([0,1[,~))

ont été étudiées par M. S. Keane

et G.

_Rauzy

dans

_{[KEAN,KEAN-RAU,RAU] .}

Étant

donné un

_{système dynamique}

de ce

_type,

il

_peut

être utile de

considérer les suites

_symboliques

_(i.e.

à valeur sur un

alphabet

fini)

con-struites à

_partir

d’une

_partition

finie du

_système.

En associant une lettre ak à

chaque

classe

Ck

de la

partition,

le

_codage

de l’orbite d’un

_{point x}

du

système dynamique

est alors la suite u définie _pour tout entier naturel n

par un = ak si

En (x)

E

_{Ck .}

Dans le cas des

_{échanges d’intervalles,}

le

_codage

le

_plus

naturel consiste

à associer une lettre différente à

_chaque

intervalle de

_{l’échange.}

On

ap-pellera

codage d’échange

d’intervalles toute suite u sur un

alphabet

,~4 =

~c~l, ... ,

définie

pour tout entier naturel n _{par un = al} si E

Il

où x E

_{[0,1[ [ et}

E est un

échange

de s intervalles

Il, 12, -, Is .

Pour étudier une suite

symbolique

_{u ,} on considère souvent l’ensemble

des mots finis admettant au moins une occurrence dans cette

_suite,

_appelés

facteurs de u .

En

_particulier

_l’alphabet

d’une suite est l’ensemble des lettres _y

ap-paraissant

(i.e.

dire _{que u} est une suite sur un

alphabet

.~4. sous-entend

implicitement

que toute lettre de A est un facteur de

~c) .

qui,

à tout entier naturel n non

_nul,

fait

_correspondre

le nombre de facteurs

différents de

_{longueur n}

de u .

Une suite u est dite uniformément récurrente si tout facteur de u y

apparaît

une infinité de fois à lacunes bornées.

Dans

_[SAN],

M. L. Santini étudie un certain nombre de

_propriétés

des

codages

d’échange

de trois intervalles. En

_particulier

elle montre que, si

E est un

échange

régulier

de trois

intervalles,

la fonction de

complexité

du

codage

de

_l’orbite,

sous l’action de

E ,

de tout

_point

de

_{[0,1 [ est}

_égale

à 2n + 1 pour tout entier naturel non nul n . Toutefois cette

_propriété

ne suffit pas à caractériser ce

_type

de

codages :

il existe des suites de

complexité

2n + 1

qui

ne sont _pas des

_{codages d’échanges}

de trois d’intervalles

_(voir

par

exemple

[ARN-RAU]).

Nous donnons à la fin de ce travail une caractérisation combinatoire

des

_codages

non

périodiques

d’échanges

de trois intervalles. Nous utilisons pour ce faire les résultats sur les

_codages

de rotations que nous avons établis

dans

_[DID].

Nous

_rappelons

dans la section 1

_{quelques propriétés}

de ces

codages

en

commençant

par les

plus remarquables

d’entre eux : les suites sturmiennes.

Nous

_présentons

ensuite les caractérisations des

_codages

de _{rotation que}

nous avons obtenus dans

[DID].

Nous terminons cette section en montrant

le lien entre les

_codages

de rotation et ceux

d’échanges

d’intervalles associés

à une

_permutation

circulaire.

La section 2 est consacrée à l’étude des

_{codages d’échanges}

de trois

inter-valles. Nous y

distinguons

tout d’abord le cas où la

_permutation

associée à

l’échange

est circulaire. Nous montrons ensuite comment se ramener à ce

dernier cas si la

_permutation

n’est _pas circulaire. Enfin nous

énonçons

la

caractérisation.

1 PRÉLIMINAIRES - CODAGES DE ROTATIONS

Les rotations

_{(modulo 1)}

sont une autre classe - mieux connue - de

transformations de

_{[0,1 [ .}

Pour tout réel a E

_{[0,1 [ ,}

on

_appelle

rotation

d’angle

a et on note

_Ra

_{l’application}

_qui

associe à tout

_{point x}

E

_[0,1

_[

le

_{point x}

+ a mod 1 . En

particulier,

un

_échange

de deux intervalles

(~, (Ai, ~2))

avec a irréductible est une rotation

(modulo 1) d’angle

À2

(i.e.

égal

à la

_longueur

du second

_intervalle).

Les

_codages

que l’on

peut

obtenir

sont bien connus. Si

À2

est

_rationnel,

le

_codage

de tout

_point

de

_[0,1

_[

est

_périodique,

_sinon,

on obtient des suites dont la fonction de

complexité

est

_égale

à n _{+ 1 pour} tout entier naturel non nul n et

_qui

sont

_appelées

suites sturmiennes.

1.1 Suites sturmiennes.

THÉORÈME

1.1

_(HEDLUND

&#x26; MORSE

_{~HED-MOR 1&#x26;2]).}

Une suite u sur

{0,1}

est sturmiennes si et seulement si il existe un nombre irrationnel a E

_{[0, 1[ (}

et un nombre réel x E

_[0,1

₍

tels que pour tout entier naturel n ,

on ait :

-où I est l’intervalle

_{[0, a[}

ou

]0, a] .

Le

_langage

d’une suite sturmienne ne

_dépend

_que de

_l’angle

de la

rota-tion

_qui

lui est associée

_(voir

par

exemple

[ARN-RAU]).

Deux suites

stur-miennes ont le même

_langage

si et seulement si elles codent une rotation

de même

_angle.

L’angle

a associé à une suite sturmienne u

_apparaît

sous diverses formes

dans u . En

_particulier,

une

_conséquence

de

_{l’équirépartition}

de l’ensemble

~na

mod

_{1 1 n}

e

~1}

est que la

fréquence

de la lettre 1 dans cette suite existe et est

_égale

à a

_(voir

[BER] ) .

1.2 Caractérisation des

_codages

de rotations.

Nous avons étudié

_{plus généralement}

dans

_[DID]

les

_codages

de l’orbite

d’un

_point

de

_[o,1

sous l’action d’une rotation

_d’angle

irrationnel associés à une

_partition

en un nombre fini d’intervalles.

DÉFINITION

1.l

_{~DID~ .}

Une suite sur un

_alphabet

.A. =

a2, ... , est un

codage

de rotation s’il existe deux nombres réels a E

_{[0, 1[}

et x E

[0,1[

[

et une

_partitions

de

[0, 1[ [

en

#A

intervalles de

langueurs

strictement

positives

I2, ... ,

I~,~} ,

tels que, pour tout entier naturel

J~ ,

on ait :

Nous avons donné une caractérisation combinatoire de ces suites _que nous allons

_préciser.

Son

_expression

nécessite l’introduction de

quelques

définitions.

Elle fait tout d’abord intervenir deux automates cellulaires

particuliers

que nous notons

_fo

et

_{f, ,}

et

_qui,

à tout mot u de

10, 1 l’ ,

associent

respectivement

les mots

_{fo (u)}

et tels que pour tout entier naturel

k ,

on ait :

où

_{fo et f 1}

sont les fonctions de

_{0,1}2

dans

_{0,1}

définies par :

Ces deux automates nous ont

_permis

de caractériser une

large

classe de

codages

de rotations associés à une

_partition

en deux intervalles.

THÉORÈME

1.2

_[DID~.

Une suite u sur

l’alphabet

{0,1}

est un

codage

de rotations

_d’angle

a irrationnel associé à une

_partition

en deux intervalles contenant tous deux un intervalle semi-ouvert de

_longueurs

a si et seulement

si les suites

_fo(u)

et

_fl(u)

sont sturmiennes.

Les suites sturmiennes

_fo(u)

et

_fl(u)

_apparaissant

dans le théorème

précédent

sont alors toutes deux associées à a ,

l’angle

de rotation du

codage

initial u

-Pour tout entier naturel i strictement inférieur à

_{#,A ,}

nous

_{notons Oi}

l’application

qui

à toute suite u sur

_l’alphabet

A associe la suite sur

l’alphabet

{0,1 }

définie,

pour tout entier naturel

k ,

par :

Enfin nous définissons la

_propriété

(j-)

sur les suites.

DÉFINITION 1.2

_{(DID~ .}

Une suite u sur un

alphabet A

=

la,,

a2, ... ,

a#A}

possède

la

_propriété

_(t)

_si,

_quitte

à renuméroter les lettres de

_{A ,}

l’inclusion

suivante est

_{vérifiée :}

THÉORÈME

1.3

_{[DID] .}

Soit u une suite sur

l’alphabet

.A . La suite u est un

codage

de rotation

_d’angle

irrationnel si et seulement si il existe

pour tout entier naturel i p et tout entier

naturel j

q , les assertions

suivantes soient

_{vérifiées :}

Les résultats

_précédents

_(théorèmes

1.2 et

_{1.3 )}

caractérisent les

_codages

de rotations au sens de la définition 1.1 . La

_partition

associée à un tel

codage

peut

éventuellement contenir un ou

plusieurs

intervalles fermés. Par contre dans le cas des

codages

d’échanges d’intervalles,

la

_partition

_que l’on

considère est

_uniquement

constituée de semi-ouverts. Ceci

_pourrait

poser

problème

pour

appliquer

les résultats

présentés

dans cette section. En fait on montre que si un

codage

de rotation est uniformément

_récurrent,

on

_peut

supposer que la

partition qui

lui est associée ne _{contient que} des intervalles semi-ouverts.

PROPOSITION 1.1

_{[DID] .}

Un

_codage

de rotation n’est _pas

_{uniformément}

récurrent si et seulement si deux intervalles I et J de la

_partition,

avec

I

_fermé

à

_gauche

et J

_fermé

à droite ou I ouvert à

_gauche

et J ouvert

à

_droite,

sont tels _que la borne

_inférieure

de I et la borne

_supérieure

de J

_{appartiennent}

à

_l’orbite,

sous l’action de la

_rotation,

du

_point

de

_départ

associé au

codage.

Autrement dit si un

_codage

de rotation est uniformément récurrent

toutes les bornes d’intervalles

_appartenant

à l’orbite du

_point

de

_départ

associé à ce

_codage

sont orientées dans le même sens

"ouvert/fermé"

et

l’on

_peut

considérer que la

partition

est

_uniquement

constituée d’intervalles

semi-ouverts

_(tous

les choix

_{"ouvert/fermé"}

des bornes

_qui

_{n’appartiennent}

pas à l’orbite du

point

de

départ

sont

_compatibles

avec le

_codage).

1.3

Échanges

d’intervalles associés à une

permutation

circulaire.

Le lien entre rotations et

_échanges

d’intervalles s’établit facilement

_lorsque

la

_permutation

associée à

_l’échange

est circulaire. Nous

_parlerons

alors

d’échange

circulaire d’intervalles. Notons que, mis à

part

l’identité,

toute

permutation

circulaire est irréductible.

LEMME l.l. Si une suite non

périodique u

sur un

_alphabet

.A code l’orbite

d’un

_point

de

_{[0, 1[}

sous l’action d’un

_échange

circulaires d’intervalles alors u est le

_codage

_{de l’orbite du même}

_point

associé à la même

_partition

sous

il existe un sous-ensemble B de ,A tel _que la suite obtenue à

_partir

de u en

projetant

toutes les lettres

_appartenant

à B sur 1 et les autres sur 0 soit

sturmienne.

Preuve.

_Supposons

que u soit circulaire et notons d =

u(l) .

On a alors pour tout k E

_{{l, ... ,}

_{s} ,}

= k + d - 1 mod _s et

La transformation E =

(a~,

À)

est alors _une rotation

d’angle

_{a , et} si

la suite u est le

_codage

de l’orbite d’un

_{point x}

de

_[0,1[

_[

sous l’action de

E ,

elle

_peut

_également

se définir _pour tout entier naturel n par un

-1 si x + na mod -1 E Ii .

On en déduit

qu’une

condition nécessaire pour

qu’une

suite code un

échange

circulaire d’intervalles est _que cette suite soit

_engendrée

par

rota-tion. De

_plus,

comme tous les intervalles de la

_partition

associée à ce

_codage

sont

_{semi-ouverts,}

la

_proposition

1.1 nous assure du caractère uniformément

récurrent de u .

Toutefois un

codage

de rotation n’est pas nécessairement un

codage

(na-turel) d’échange

circulaire d’intervalles. En

_effet,

dans ce dernier _cas,

_l’angle

de rotation est

_égal

à la somme des

longueurs

d’un certain nombre

(compris

entre 1

_{et s -1)}

d’intervalles successifs de la

_partition,

condition

qui

n’est

pas, en

_général,

vérifiée _par les

_codages

de rotations.

Cette condition sur la

_{partition s’exprime}

de

façon

combinatoire : la suite obtenue à

_partir

du

_codage

en

_projetant

un certain sous-ensemble de

_l’alphabet

sur 1 et son

_{complémentaire}

sur

_0,

est sturmienne

(théorè-me 1.1 ).

0

2

ÉCHANGES

DE TROIS INTERVALLES

Nous allons nous intéresser dans cette section aux

_codages

_{d’échanges}

de trois intervalles. Dans ce cas il _y a trois

_permutations

irréductibles :

2.1

Échanges

circulaires de trois intervalles.

En fait dans le cas des

_échanges

circulaires de trois

_intervalles,

nous allons _{voir que} la

_conjonction

des deux conditions nécessaires du lemme 1.1

est suffisante .

Commençons

par remarquer

qu’un

codage d’échange

circulaire d’intervalles

code indifféremment un

_échange

d’intervalles associé à la

_permutation

~2 ou à la

_permutation

~3 .

LEMME 2.1. Une suite u code l’orbite du

_point

x sous l’action de

l’échange

d’intervalles E =

(u2, (À1,

À2,

À3))

si _et seulement si elle code l’orbite du

point

1- x sous l’action de

l’échange

d’intervalles E’ =

(3, (À3,

_À2,

1B1»

-Preuve.

_Supposons

_{que u} code l’orbite du

_{point x}

sous l’action de

_l’échange

E =

(~2, (~1, ~2, ~3))

et notons

_f

la

_bijection

de

_{[o,1 [ qui}

associe à tout

réel x E

_{[0, I[ [ le}

réel

_{f (x)}

= 1- x . On a _pour tout entier naturel n :

avec

E(x)

= x +

As

mod 1 .

Comme

_f

est une

bijection

on a

_{également :}

et

_(f

Considérons

_l’échange

E’ =

_{(~3~ (a3, a2, ~ 1 ) ) .}

On vérifie

_{que E’ =}

f

o E o et

_qu’en

notant

_{Il , I2}

et

_I3

les intervalles de la

_partition

associée à

_{E’ ,}

on a :

La suite u

_peut

_également

être définie par :

Le

_codage

de l’orbite du

_point

x sous l’action de E code

_également

l’orbite du

_point

_{f (x)}

sous l’action de

E’ .

D

LEMME 2.2. Une suite non

périodique

u sur

l’alphabet

la,,

_a2,

a3 ~

code

si et seulement si u est un

codage

de rotation

_{uniformément}

récurrent tel que

~1 (u) , 02(U) ou §3(u)

soit sturmienne.

Preuve. L’un des sens de

l’équivalence

étant donné _par le lemme

1.1 ,

il reste à montrer

_{qu’un codage}

de rotation sur trois lettres uniformément

récurrent code un

_échange

circulaire d’intervalles si l’une de ses

_images

_par

les fonctions indicatrices des lettres est sturmienne.

Supposons

donc _que u code l’orbite d’un

_{point x}

sous l’action d’une rotation

_d’angle

_{a ,} le cercle unité étant

_partitionné

en trois intervalles

Ji ,

J2

et

J3 .

Comme u est uniformément

_récurrente,

on

_peut

_{supposer que} les

in-tervalles de la

_partition

sont semi-ouverts.

_Quitte

à renverser le sens de rotation et à

_remplacer

a _{par 1 - a , supposons que} les intervalles sont

semi-ouverts à droite.

On a

_donc,

_pour tout entier

_{naturel n ,}

Supposons

par

exemple

que

01(u)

est sturmienne. Cette suite

_peut

être définie par :

On déduit des remarques suivant le théorème 1.1 que la

longueur

de

l’intervalle

JI

est

_égale

soit à _{a , soit} à 1 - a .

On étudie ces deux cas

séparément :

- Si ₌

a , on

_{note y}

la borne

_supérieure

de

_{JI .}

Considérons alors

13

= _et x’ = Si la borne inférieure de

est

_nulle,

on _pose

Il

=

12

= sinon _on

pose

Il =

I2

=

- Si =

1-a ,

_on

note y

la borne inférieure de

_{JI .}

Considérons alors

Il

=

Rl-y(Jl)

et x’ = Si la borne

supérieure

de

est

_égale

à

_{1 ,}

on _pose

13

=

I2

= _{sinon on}

pose

13

=

Ri-y(J3) ,

12

=

Dans les deux cas la suite u est

_alors,

à une

_{bijection d’alphabets près,}

le

codage

de l’orbite du

_{point x’}

sous l’action de

_l’échange

n

Le lemme

_précédent

nous

_permet

en utilisant le théorème 1.3 de

car-actériser les

_{codages d’échanges}

circulaires de trois intervalles.

Toute-fois cette caractérisation fait intervenir des suites extraites en

_progressions

arithmétiques.

Nous allons voir

_qu’il

est

_possible,

dans ce cas

_précis,

de

donner un critère

plus

direct.

Notons ₉₂

_{l’application}

_qui,

à toute suite u de

_{{~1,~2~3}~ ?}

associe la

suite

_{g2 {u)}

de définie _pour tout entier naturel k par :

où

₉₂

est la fonction définie pour tout bc E a2,

a3}2

par :

THÉORÈME 2.1. Une suite u non

_périodique

sur un

alphabet

,A à trois

lettres code un

_échange

circulaire de trois intervalles si et seulement si elle

vérifiée

les trois conditions :

- la suite u est

_{uniformément}

_{récurrente ;}

- il existe une numérotation _a2,

a3}

des lettres de A telle _que les mots _{a3 a2 et} ne sont _pas

_facteurs

de _{u ;}

-

pour cette

numérotation,

les suites

~1 (u) ,

fo

0

92 (u) ,

f 1

0

g2 (u)

_sont

sturmiennes.

Preuve.

_Supposons

tout d’abord que u code un

_échange

circulaire de trois

intervalles.

_D’après

le lemme

_{2.2 ,}

la suite u est alors un

codage

de rotation

d’angle

a irrationnel associé à une

_partition

en trois intervalles semi-ouverts

{~2~3}~

·

Sans

_perdre

de

_{généralité,}

nous _supposons a

2 .

En

effet,

si cette

inégalité

n’est _pas

_vérifiée,

il suffit d’inverser le sens de rotation et de

rem-placer

a _{par 1 -} a _pour l’obtenir.

Le lemme 2.2 nous assure

_qu’un

des intervalles de la

_partition

_h

_pour

fixer les idées - est de

_{longueur égale}

à a ou 1 - a . La suite

1Jl

(u)

est

sturmienne

_{(théorème 1.1 ).}

Quitte

à renuméroter ces intervalles et les lettres de ,A leur

correspon-dant,

nous _{supposerons que} les intervalles

h ,

12

et

_{13 apparaissent}

dans

cet ordre

_lorsqu’on

suit le sens de rotation.

Ainsi,

comme on a

supposé

a

2 ,

le _{mot a2a1 a3}

n’apparaît

_pas dans u.

Lorsqu’on

suit le sens de

_rotation,

l’intervalle

₁₂

est directement consécutif à l’intervalle

h

de

_{longueur supérieure}

ou

_égale

à a . Ceci

_implique

_que le mot ct3a2 ne

_peut

être facteur de la suite u .

Nous allons à

_présent

montrer _que la suite

_{g2 (u)}

est un

_codage

de rotation

associé à une

_partition

en deux intervalles contenant tous deux un intervalle semi-ouvert de

_longueur

cx .

Remarquons

que, comme

_h

et son

complémentaire

(constitué

de l’union

de

₁₂

et

_I3)

sont deux intervalles

_{semi-ouverts,}

l’un de

_longueur

a et l’autre de

_longueur

1 - _{a ,} ils contiennent tous deux un intervalle semi-ouvert de

longueur

a .

En on a _pour tout n E N :

Et,

en notant K =

12

U J ,

_{on a :}

Si

_{~2) ~}

a alors on a

_Il

(~

R-o:(I3)

=

0

et K =

I2 .

De

plus,

le

complémentaire

de

12

contenant

_{Il ,}

il contient nécessairement un semi-ouvert de

_longueur

a .

Si

_{1121 [}

_{a ,} l’ensemble

_Il

_n

est un intervalle de

_longueur

_égale

à a -

(I2~

_contigu

à l’intervalle

_{12 .}

En

_effet,

on déduit du fait _que

_Il

et

_{I2 U I3}

sont de

_{longueurs supérieures}

à a _que la borne inférieure de

appartient

à

_Il

alors que sa borne

supérieure

_appartient

à

12

U

I3 .

L’ensemble K est donc un intervalle semi-ouvert de

longueur

a .

Dans les deux cas l’ensemble K est un intervalle tel _que lui-même et son

complémentaire

contiennent un intervalle semi-ouvert de

longueur

a . Le

théorème 1.2 nous

_permet

de conclure que les suites

/0

o g2(u) ,

fi

0

sont sturmiennes.

Réciproquement,

supposons que u est uniformément récurrente et telle

que les mots a3a2 et a2ala3 ne sont _pas facteurs de u et _que les suites

0 1 (U) ,

fl 0

92 (U)

sont sturmiennes.

On déduit des théorèmes 1.1 et _{1.2 que} les suites

_01(u)

et

_g2(u)

sont

, .

où x e

_{[0,1 [ ,}

al et a2 sont deux réels irrationnels dans

[0, 2

et

Ji

et

_J2

deux intervalles inclus dans

_{[0, 1[ .}

Notons _{que supposer que} les suites

_{01 (u)}

et

_{g2 (u)}

sont associées à un

même

_point

de

_{départ x}

n’enlève aucune

_{généralité}

car il est

_toujours

pos-sible de translater le

_découpage

associé à l’une de ces suites.

Nous allons tout d’abord établir que ai = _{a2 .}

Pour cela considérons la

_fréquence

de la lettre 1

_{respectivement}

dans

10 0

et

_fi

o

_{92 (U)}

Par

_définition,

on a :

Par

_hypothèse

les _{mots a3 a2 et}

_{n’apparaissent}

_pas dans u et on

_peut

simplifier

cette dernière

_expression

_pour obtenir :

On en déduit _que la

fréquence

de la lettre 1 est la même dans

_fo

o

01(u)

et

Or la

_fréquence

de la lettre 1 dans la suite

_fo

o est

_égale

à

_l’angle

al de la rotation associée à ce

codage.

De même la

fréquence

de cette lettre dans

_{f 1}

o

92(u)

est

_égale

à

_l’angle

_a2 associé à cette suite.

On en conclut _que al = _{a2 = a et} la suite u

_peut

être

définie,

_{pour tout}

entier

_{naturel n ,}

_{par :}

Il reste à montrer _que les ensembles

_(J2

_U

J1)0

sont des intervalles

_(ces

deux ensembles

_pouvant

éventuellement être des unions

Si le mot al a3

n’ apparaît

pas dans u alors on a

J2 .

De

plus

l’intervalle

J2

contient un semi-ouvert de

_longueur

a . Comme _par

hypothèse

le mot a3 a2 n’est pas facteur

de u ,

l’ensemble

contient pas d’intervalle situé entre

_Ji

et

_J2

_lorsqu’on

suit le sens de

rota-tion. La borne inférieure de

_J2

coïncide donc avec la borne

_supérieure

de

Ji

et l’ensemble

_{(J2 U}

est

_également

un intervalle.

Si le mot aia3 est facteur de _{u ,} on a

_JI

n J2 =F 0 .

Nous allons tout

d’abord montrer _que l’on ne

_peut

_{pas avoir}

_JI

En effet cette inclusion

implique

que la lettre ai est

_toujours

suivie de la lettre a3 dans u et le mot aia

n’ apparaît

pas dans u . Comme on _suppose de

plus

_que le _{mot a3a2}

n’est pas facteur

de u ,

la lettre ac2 ne

_peut

donc être

_précédée

_{que par} elle

même dans la suite ~c

_qui

_est,

_par

_hypothèse,

uniformément récurrente. Il

n’y

a alors _que deux

possibilités :

soit u

_{= ai ,}

soit la lettre _a2 n’admet pas d’occurrence dans u . Dans les deux cas il _y a contradiction avec le fait que u est une suite sur

_l’alphabet

.~4 =

la,, a2, a3} .

On a nécessairement

_J2

et l’ensemble est un intervalle

ayant

une borne commune avec l’intervalle

_{JI ;}

l’ensemble est

donc

_également

un intervalle.

Dans tous les cas l’ensemble constitue une

partition

de

_{[0, 1}

_{[ en}

trois intervalles et u est un

_codage

de rotation associé à ce

découpage.

De

_plus

et par

hypothèse,

la suite u est uniformément récurrente avec

01(u)

sturmienne. Le lemme 2.2 nous

_permet

de conclure _{que u} est un

codage

d’échange

circulaire d’intervalles. D

2.2

_Échanges

associés à la

_permutation

cri.

Nous allons voir que l’on

_peut

se ramener à un

échange

circulaire

d’inter-valles par une méthode directement issue de l’induction de

_Rauzy

_(voir

_[RAU]

ou

[SAN]).

Notons T

l’application

de

la,,

_c~2,

ac3}

dans

la,,

_a2,

a3}*

définie _{par :}

Cette

_application

se

_prolonge

_par concaténation en une

_application

de a2 , a2 , que nous noterons

_également

T .

LEMME 2.3. Soit une suite u non

périodique

sur

_l’alphabet

(11 si

et seulement

_{si, quitte}

à renuméroter les lettres de

A ,

T(u)

est un

codage d’échange

circulaire d’intervalles.

Preuve. Nous allons en fait montrer

_qu’une

suite u est un

_codage

_d’échange

d’intervalles associé à la

permutation

7i si et seulement si

T(u)

est un

codage

d’échange

d’intervalles associé à la

permutation

o~2 . Le lemme 2.1 nous

_permet

alors de conclure.

Soit E

_l’échange

d’intervalles

_{(Àl, À2,}

_{À3 ) ) .}

Considérons l’intervalle

_{[0, 1 + À2 [ partitionné}

en

_quatre

intervalles

consé-cutifs

_{h , 12 ,}

_I3

et

_{14 ,}

de

_longueurs

_respectives

_{À2 ,}

_As

et

À2 .

Notons alors a’ la

_permutation

_{1 /2/3 /4 -+ 3/4/1/2}

et E’

_l’échange

non normalisé

(~’, (Ai,

~2, ~3,

~2))

{E’

est dit non-normalisé

car Ai

+

À2

+

~3

+

_{À2 #}

_1).

Pour

_{tout y}

e

_[0,1[,

on a :

E’(y)

=

E(y)

si y

E

h

U I3

et

E’2 ( y)

=

E(y)

si y

E

_{12 .}

De

_{plus l’image}

de tout

_point

de

_{I2 par}

E’

_appartient

à

_{14 .}

Soit x E

_{[o,1 [ .}

Notons u

_(resp.

_u’)

le

_codage

de l’orbite de x sous

l’action de E

_(resp.

_E’).

_D’après

les remarques

précédentes,

la suite u’

peut

être obtenue en insérant une occurrence de la lettre a4

après chaque

occurrence de la lettre _a2 dans la suite u .

_{Réciproquement,}

on obtient u en

_supprimant

toutes les occurrences de la lettre

a4 dans

u’ .

Autrement

dit,

on a u’ =

-r(u)

où T’ est

l’application

de _a2,

a3 }

a3 , a4 } *

définie par :

Une suite u code donc l’orbite d’un

_{point x}

sous l’action de E si et

seulement si

_7/(U)

code l’orbite de x sous l’action de E’ .

Il reste à montrer _que

_T’(u)

code l’orbite d’un

_{point x}

sous l’action de E’ si et seulement si

_T(u)

est un

codage

de rotation associé à la

_permutation

72 ’

Supposons

tout d’abord que

T’(u)

est un

_codage

de l’orbite de x sous

on a T

= 0

o T’ . On en

_déduit,

la transformation E’ ne

séparant

_pas les

intervalles

_~3

et

_{14 ,}

que la suite

T(u)

code l’orbite du

point x

sous l’action

de

_{l’échange (U2,}

_(Àl,

_À2,

_À3

+

_{À2)) .}

En

_{renormalisant,}

elle code

_également

Forbite de sous Inaction de

_l’échange

_{(2, ( 1‘+ , 1-+ -, À3+À2))}

°

l’orbite

_{de ’ 1+1B2}

sous l’action de

l’échange (U2,

_1+À2’

1+À2’ 1+À2

»

.

Réciproquement

supposons que u est une suite non

périodique

sur

l’alpha-bet

_{acl,

_a2,

_a3)

et que

T(u)

code l’orbite d’un

point

x’ sous l’action de

l’échange

d’intervalle E" -

_{(~2, (À~, ~2, ~3)) .}

Pour obtenir

_-r(u)

à

_partir

de

_{T(u) ,}

il suffit de

_remplacer

toute

occur-rence de la lettre c~3 suivant une occurrence de la lettre _{c~2 par} a4 .

D’après

la définition de _{T ,}

_chaque

occurrence de la lettre _{a2 est} suivie d’au moins une occurrence de la lettre a3 dans

T(u) .

Comme u n’est pas

périodique,

T(u)

ne l’est _pas non

plus

et E" est une rotation

d’angle

a irrationnel. La

densité de

_Ina

mod

_{11 n}

E

_N}

_implique

alors _que

_E"(I2)

De

_plus,

par

définition,

la borne

_supérieure

de

_E"(I2)

est

_égale

à 1. Il existe donc

un intervalle J tel

_qu’on

ait

_I3

= J _U

On

_peut

alors obtenir

_-r(u)

par

pour tout entier naturel n . Notons _que l’intervalle J ne

_peut

_pas être vide car la lettre a3 n’admettrait alors aucune occurrence dans u .

La suite

_T’(u)

code donc l’orbite du

_point

x’ sous l’action de

_l’échange

d’intervalles

_(o-,

_{(À[ , ~2, B/ - ~2, ~2)) -}

0

2.3 Une caractérisation

_générale.

On obtient finalement le théorème suivant en combinant le théorème 2.1

et le lemme 2.3 . Pour

_alléger

son

_énoncé,

nous introduisons la

_propriété

(o) .

DÉFINITION 2.1. Une suite u sur

_l’alphabet

A à trois lettres

_possède

la

propriété

(o)

si elle

_vérifie

les trois conditions :

- la suite

u est

_{uniformément}

_{récurrente ;}

- il existe

une numérotation

_{{ al ,}

_a2, des lettres de ,A tell e _que les

mots a3a2 et a2ala3 ne sont _pas

_facteurs

de _{u ;}

-

pour cette

numérotation,

les suites

~1 (u) ,

100

92 (U) ,

Il

o g2 (u)

sont

THÉORÈME

2.3. Soit u une suite non

périodique

sur un

alphabet

A à trois

lettres. La suite u est un

_{codage d’échange}

de trois intervalles si et

seule-ment si elle

_vérifie

l’une des conditions suivantes :

-

soit u

possède

la

propriété’

(o)

--

soit, quitte

à renuméroter les lettres de

.A ,

-r(u)

possède

la

_propriété

(0).

BIBLIOGRAPHIE

[ARN-RAU]

P. Arnoux et G. _{Rauzy, Représentation géométrique} de suites de

com-plexité 2n + 1, Bull. Soc. math. France 119 _(1991), 199-215.

[BER]

V. _{Berthé, Fréquences} des _facteurs des suites sturmiennes, Theoretical

Computer Science 165 _(1996), 295-309.

[DID]

G. _{Didier, Codages} de rotations, accepté pour publication dans Acta

Arithmetica.

[KEA]

M.S. Keane, Intervalle exchange transformations, Math. Z. 141 _(1975), 25-31.

[KEA-RAU]

M.S. Keane et G. _Rauzy, Stricte _ergodicité des _{échanges d’intervalles,} Math. Z. 174 _(1980), 203-212.

[HED-MOR1]

G.A. Hedlund and M. _{Morse, Symbolic Dynamics,} Amer. J. Math. 60

(1938), 815-866.

[HED-MOR2] G A. Hedlund et M. Morse, Symbolic Dynamics II. Sturmian trajectories, Amer. J. Math. 62 _(1940), 287-306.

[RAU]

G. _Rauzy,

_Échanges

d’intervalles et _{transformations induites,} Acta Arith-metica XXXIV

_{(1979), 315-328.}

[SAN]

M.L. Santini-Bouchard,

Échanges

de trois intervalles et suites mini-males, Theoretical Computer Science 174 _(1997), 171-191.

Gilles DIDIER

Institut de _{Mathématiques} de _Luminy CNRS-UPR 9016 Case 907

163, avenue de _Lunminy

13288 Marseille Cedex 9 email : didier~iml.univ-mrs.fr