Calcul du nombre de classes d'un corps quadratique imaginaire ou réel, d'après Shanks, Williams, McCurley, A. K. Lenstra et Schnorr

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

H

ENRI

C

OHEN

Calcul du nombre de classes d’un corps quadratique

imaginaire ou réel, d’après Shanks, Williams,

McCurley, A. K. Lenstra et Schnorr

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 117-135

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Calcul du nombre de classes

d’un

_corps

_quadratique

_imaginaire

ou

réel

d’après

Shanks,

Williams,

McCurley,

A. K. Lenstra et Schnorr

par HENRI COHEN

Résumé - Dans cette note nous décrivons différentes méthodes utilisées en _{pratique pour} calculer le nombre de classes d’un corps _quadratique

ima-ginaire ou réel ainsi que pour calculer le régulateur d’un corps quadratique

réel. En particulier nous décrivons l’infrastructure de Shanks ainsi que la méthode sous-exponentielle de McCurley.

Abstract - In this paper we _briefly describe _practical methods to

com-pute the class number of real and _{imaginary quadratic} fields and of the

regulator of real _quadratic fields. In _particular we describe Shanks’

infra-structure method and _{McCurley’s subexponential algorithm} for _computing class numbers.

Depuis

l’introduction _par Gaufi du _groupe des classes d’un _corps

quadra-tique

(en

langage

moderne),

le calcul de la structure et du cardinal de

ces _groupes a

_toujours

été un

problème

intéressant. Ces dernières

_années,

l’intérêt _pour ce

problème

a été ravivé _par

plusieurs

choses : les

conjec-tures de H. W. Lenstra et de l’auteur

_qui

_prédisent

_{quantitativement}

le

comportement

asymptotique

de ces

_{structures ;}

certaines méthodes de

fac-torisation

_qui

utilisent

_{(parfois implicitement)}

ces _{groupes de}

classes,

aussi

bien de _corps

_{quadratiques imaginaires}

_(Shanks,

H. W.

_{Lenstra-Schnorr)}

que de corps

quadratiques

réels

(méthode

SQUFOF

de

Shanks).

Le but

_principal

de cet

_exposé

est de décrire

_quelques

unes des méthodes

découvertes ces dernières années _pour résoudre le

_problème

du calcul des nombres de classes. Donnons dès à

_présent

les

_principaux

résultats.

On _suppose la validité de

_{l’hypothèse}

de Riemann

_{généralisée}

_(GRH).

On

note

_h(D)

et

_R(D)

le nombre de classes et le

_régulateur

du _corps

quadra-tique

e Si D

_0,

_h(D)

_peut

être calculé en

_temps

probabiliste

O(L(IDI)a+E)

pour tout c &#x3E;

_0,

où a = _et où

L(x~

=

exp( v’log x

_og

_og

x)

. Si D &#x3E;

_0,

_h(D)

et

_R(D)

_peuvent

être calculés en

_temps

pour tout 6 &#x3E; 0

_{(essentiellement}

dû à Shanks

_{([8], ~9~)).}

Notons _que GRH est nécessaire non seulement _pour obtenir des

estima-tions raisonnables du

_temps

d’exécution des

_algorithmes,

mais

_également

pour assurer l’exactitude du calcul de

_h(D).

D’autre

_part

dans le cas D &#x3E;

_0,

on ne sait _pas calculer le

produit

h(D)R(D)

plus

vite

qu’en

calculant

h(D)

et

_R(D)

_{séparément.}

Le résultat _{pour D} 0 semble être la limite des _moyens

_actuels,

en

dehors d’une amélioration de

_l’exposant

a

qui

_pourra

probablement

être

descendu à 1 : en

_effet,

la connaissance de

_h(D)

_permet

de factoriser D

très

_rapidement

_{(voir [8]),}

et tous les

_{algorithmes rapides}

de factorisation

connus ont ce

_type

de

_temps

d’exécution

_(avec

_l’exposant

_1).

Ceci est dû au

théorème de de

_Bruijn,

Canfield-Erdôs-Pomerance sur les nombres "lisses" :

si on _pose

alors oo on a :

Par

_contre,

le résultat _pour D &#x3E; 0 semble

_plutôt

montrer notre

igno-rance des

_phénomènes

liés aux unités. Par

exemple,

il semblerait

plausible

que l’on arrive à calculer

h(D)R(D)

plus

rapidement

que

h(D)

et

R(D)

séparément,

et

_pourquoi

_pas en _temps

_L(D)°.

Le

_plan

de cet article est le suivant : dans les trois

_prochains

para-graphes,

nous _exposons trois méthodes _pour calculer

_h(D).

Bien

qu’il

soit

nécessaire à

_chaque

fois de

_distinguer

le cas D &#x3E; 0 du cas D

_0,

ces

méthodes sont

_analogues

et ont des

_temnps

d’exécution

_comparables

dans les deux situations si on _suppose le

_régulateur

_R(D)

déjà

calculé. Dans le

paragraphe

5,

nous _exposons la méthode de

McCurley

_pour calculer

_h(D)

quand

D 0.

_Enfin,

dans le sixième et dernier

_paragraphe,

nous _exposons

la méthode de

_Shanks,

améliorée

depuis

par Williams et

Lenstra,

pour calculer le

_régulateur

_R(D).

Notons _que le calcul d’une table de

_h(D)

_pose des

_problèmes

un _peu

différents,

et _que dans ce cas l’utilisation de méthodes individuelles comme

celles

_présentées

ici est rarement la meilleure solution.

Signalons

enfin _que la

_plupart

de ces méthodes se

généralisent

à des _corps

de nombres

_quelconques,

au

_prix

de

beaucoup

d’efforts. Voir _par

_exemple

2. Utilisation des formes

_quadratiques

réduites.

2.1.

_{Corps quadratiques}

_imaginaires.

Soit K =

(1(~)

un _corps

quadratique imaginaire,

où D 0 est le discriminant du _corps.

_{Rappelons qu’une}

forme

_quadratique

avec _a,

b,

c E

_Z,

a &#x3E;

_0,

_{(a, b, c)}

= 1 de discriminant D =

b2 - 4ac

_est réduite

si

_{b ~}

a c et si

_quand

_Ibl

= _{a ou a} = _{c on a en}

plus

b &#x3E; 0. Il revient _au

même de dire _que

le domaine fondamental habituel de

_{ij/ SL2(Z).}

Par abus de

_notation,

nous

écrirons

_{(a, b, c)}

_pour la forme

_quadratique

_ayant ces coefficients.

Il est facile de montrer

_qu’à

toute classe d’idéaux de

_correspond

exactement une forme

_réduite,

donc _que

_h(D)

est

_égal

au nombre de formes

réduites. Pour

_compter

ces

formes,

on _{remarque que} les conditions de

réduction

_impliquent

_que

_~D~

=

4ac-b2 &#x3E;

4a2 -a2,

donc

que a

On

_remarque

de

_plus

_que D

_{(mod 2).}

Pour

_chaque

_couple

de valeurs

possibles

de

_{(a, b)}

on calcule alors c =

(b2 -

D)/(4a)

et _on vérifie _{que c E} Z

et _que les autres conditions de réduction sont satisfaites.

Prenons par

exemple

D = -23. On a alors a 2 donc a = 1 _{ou a} = 2.

D’autre

_part

b doit être

_impair.

Les conditions de réduction montrent

immédiatement

_qu’il

y a exactement 3 formes

_réduites,

à savoir

_{(1,1, 6),}

(2,1, 3)

et

_{(2, -l, 3),}

donc

_h(-23)

= 3.

Tel

_qu’il

est décrit

_ci-dessus,

le

_temps

d’exécution de cet

_algorithme

est

O(D),

ce

qui

est assez lent. Toutefois cet

_algorithme

_peut

être utilisé ef-ficacement _pour la construction de

_tables,

et d’autre

_part

il est

_possible

de l’améliorer au

prix

de grosses

complications,

et de faire descendre son

temps

d’exécution à

_O(Dl/2+f.).

Comme nous verrons de meilleurs

algo-rithmes

par la

suite, je

ne donne _pas le détail de ces améliorations.

2.2.

_Corps

_quadratiques

réels.

Nous conservons les notations

_ci-dessus,

sauf _que maintenant le discrim-inant D est

_positif.

La

_{plus grande}

_part

des difficultés que l’on rencontre dans ce cas

_provient

de la non nullité du rang du groupe des unités. Dans

le cas

qui

nous

préoccupe,

nous allons voir _que le

_comptage

des formes

Dand le cas D &#x3E;

_0,

on dit

qu’une

forme

quadratique

avec _a,

b,

c E

_Z,

_{(a, b, c) =}

1 de discriminant D =

b2 -

4ac est réduite si

b &#x3E; 0 et si on a

Si on _pose

il revient au même de dire _que

désigne

le

conjugué

réel de T.

_(Plus

_{généralement,}

on

_peut

définir la notion d’idéal réduit dans

tout _corps de

_nombres).

Dans le cas

quadratique imaginaire,

à toute classe d’idéaux

_correspond

exactement une forme réduite. Ce n’est

plus

le cas ici : à toute classe d’idéaux

_correspond

un

cycle

de formes

quadratiques réduites,

ce

cycle

cor-respondant simplement

à une

période

du

développement

en fraction

con-tinue de

_{1-f 1.}

La

_présence

de ces

cycles correspond

évidemment aux

unités,

et on

_peut

obtenir l’unité fondamentale

_(ou

le

_régulateur)

en même

_temps

si on le désire.

En

_fait,

le

_changemnt

de

_{(a, b, c)}

en

_(-c,

_b,

_-a)

_{correspondant}

à l’unité

triviale -1,

il ne faut

prendre

_que les

cycles

modulo cette

_{équivalence.}

Le nombre de tels

_(classes

_{d’équivalence}

_de)

_cycles

est alors

_égal

au nombre de

classes

_h(D).

Notons

_qu’il

est facile de _{montrer que} la définition de la réduction

im-plique

que a, b et c sont inférieurs à

_VD.

Ceci contraste avec le cas

imaginaire

où c

_peut

être

beaucoup plus

grand.

Cette _remarque a des

conséquences algorithmiques importantes :

dans

_{beaucoup d’algorithmes}

ayant

trait de

_près

ou de loin avec les _corps

_{quadratiques réels,}

on

_peut

en

_général

_s’arranger

_{pour que} les calculs soient effectués avec des nombres

inférieurs à

_VD.

Ceci

_représente

un

_gain

de

_temps

considérable,

au

min-imum d’un.facteur

_4,

et

_{beaucoup plus quand}

le _passage de

_VD

à D fait

passer de la

simple précision

à la

multiprécision.

Un

exemple

notable est

l’algorithme

de factorisation

_SQUFOF

de Shanks

_qui

est d’une

_remarquable

efficacité

_quand

D

1016

sur une calculette.

Donnons un

_exemple

très

_simple

de calcul de

_h(D).

Prenons D =

60,

donc K = On _a

[B/DJ =

7 _et b doit être

_pair,

donc les valeurs

possibles

de b sont

_{0, 2, 4,}

6. Ceci donne

_{respectivement}

ac =

_{-15, -14,}

après

élimination des formes trivialement

_{équivalentes.}

Parmi ces 8

_formes,

les 4

_premières

ne vérifient _pas

l’inégalité

v’Ï5 -

2inf(lal, Ici)

b donc sont

,

’1.. fi 1 d, 1 t f

t8’

t8 d

6-+

à

_{éliminer ; enfin,}

les

_{développements}

en fraction continue

de 4

et

de 2

montrent que l’on a les deux

cycles

1(l, 6, -6), (-6, 6,1)}

et

f (2, 6, -3),

(-3, 6, 2)},

donc

_h(60)

= 2.

Comme dans le cas

imaginaire,

on

_peut

améliorer cet

_algorithme

_pour

obtenir un _temps d’exécution en

O(D1/2+e)

_pour tout E &#x3E; 0. Vu _que le nombre de formes réduites a aussi cet ordre de

grandeur,

il est clair _que

l’on ne

_peut

_pas

_espérer

faire mieux _par

_simple

_comptage.

3. Utilisation de la formule

_analytique

de Dirichlet. Nous poserons

, - ,

et

_{prolongée analytiquement.}

3.1.

_Corps

_quadratiques

_imaginaires.

Nous supposerons D -4

_(on

a bien sûr

_h(-3)

=

h(-4)

=

1).

Dans ce cas on a la formule de Dirichlet :

Une sommation convenable fournit la formule

_équivalente

Toutefois l’utilisation de cette formule ou de formules similàires donne un

algorithme

en donc très _peu efficace.

Une amélioration considérable

_peut

être obtenue en utilisant

l’équation

fonctionnelle de

_{LD(s) :}

si l’on _pose

Cette

_équation

est essentiellement

_équivalente

au fait _que

AD(s - 1)

est la transformée de Mellin d’une fonction

_theta,

à savoir

Ceci conduit à la formule suivante. Posons

(fonction

d’erreur

_{complémentaire).}

Alors _pour D -4 on a :

Remarquons

que la fonction

erfc(x)

est très facile à calculer à l’aide des formules suivantes :

Si x est

_petit

_(par

_{exemple x}

₂₎

et si x est

_grand

_(par

_{exemple x &#x3E;}

₂₎

et _que

La _convergence de la série

₍₁₎

étant

_{exponentielle}

et

_h(D)

étant un

_entier,

il est clair _que le

_temps

de calcul de

_h(D)

_{par cette} série est

O(IDll/2+e)

pour tout l &#x3E; 0. Par

_exemple,

il est facile de montrer _que

_h(D)

est

l’entier le

_{plus proche}

de la somme

partielle

de la série

tronquée

à n =

Ceci est donc un deuxième

_algorithme

_pour calculer

h(D)

en

_temps

O(IDll/2+e),

mais nettement

_{plus simple}

_que le

_précédent.

Toutefois nous sommes encore bien loin de ce

qu’on

_peut

faire de mieux.

3.2.

_Corps

_quadratiques

réels.

Dans le cas où D &#x3E;

_0,

on a des formules

analogues.

Tout

d’abord,

la

formule de Dirichlet s’écrit

où

_R(D)

=

log e

_est le

régulateur, -

_&#x3E; 1 étant l’unité fondamentale.

Mettons de côté

_{provisoirement}

le

_problème

du calcul de

_{R(D) :}

on sait

que l’utilisation du

développement

en fraction continue de

B/D/2

si D - 0

(mod 4),

ou de

(1

+ B/D)/2

si D = 1

(mod 4)

fournit aisément

R(D)

en un

temps

O(Dl/2+E).

Nous verrons une meilleure méthode au

_paragraphe

6.

Une sommation convenable fournit la formule

_équivalente

Comme dans le cas

_imaginaire,

l’utilisation de

_{l’équation}

fonctionnelle de

LD(s)

conduit à une amélioration considérable. Si l’on _pose

alors on a à nouveau

et nous conduit à la formule suivante. Posons

(intégrale

exponentielle).

Alors on a _:,

Nous avons vu ci-dessus comment calculer

erfc(x)

efficacement. On

_peut

faire de même _pour

_{El (x)}

à l’aide des formules suivantes : Si x est

_petit

_(par

_{exemple x}

₄₎

où 1

= 0.57721566490153286 ... est la constante

d’Euler,

et si x est

grand

(par

exemple x &#x3E;

4)

Ceci

_implique

en

particulier

_que

et que

La convergence de la série étant

exponentielle

et

_h(D)

étant un

entier,

il

est clair _que le

_temps

de calcul de

_h(D)

_quand

_R(D)

est connu est encore en

O(Dl/2+E).

Comme dans le cas

imaginaire,

on

_pourrait

très facilement

expliciter

le nombre de termes _que l’on doit

_prendre

dans la série avant de

tronquer.

3.3.

_Remarque.

Il est à _{noter que} les méthodes décrites dans ce

_paragraphe,

_qui

sont

connues

depuis

fort

longtemps, s’appliquent

en

_principe

dans tous les cas

où l’on a une série de Dirichlet avec

équation

fonctionnelle. Par

exemple

Friedman

_[4]

utilise cette méthode _pour trouver les

_plus

_petits

_régulateurs

de tous les _corps de nombres. Comme autre

_exemple,

citons le cas des

valeurs aux entiers

_critiques

des fonctions L attachées à des formes

modu-laires

_(les

cas ci-dessus

correspondant

aux fonctions Dans le cas où

la fonction est de

_poids

_entier,

il

_n’y

a même _pas de fonction

spéciale

du

type

erfc ou

El.

Par

exemple

_pour une courbe

elliptique

de Weil E de

conducteur N dont

_{l’équation}

fonctionnelle a le

signe

_+,

on a :

où 2: a( n )qn

est la forme modulaire de

_poids

2

_{correspondant}

à E

_(i.e.

LE(S) = 2:a(n)n-S).

Notons _que

_d’après

la

_conjecture

de Birch et

_{Swinnerton-Dyer,}

ceci

per-met de calculer Fordre du _groupe de Tate-Shafarevitch III

_quand

le _rang

est

_nul,

ce _groupe

_jouant

ici un rôle

analogue

au rôle

joué

_par le groupe de

classes dans le cas des _corps de nombres.

4. Utilisation de la structure de _groupe.

L’idée

_{supplémentaire}

nécessaire _pour aller

_plus

vite _que les

_algorithmes

précédents

est d’utiliser aussi la structure de _groupe sur les classes

d’idéaux,

ou ce

_qui

revient au

_même,

sur les classes de formes

quadratiques.

Aussi

sur-prenant

que cela

puisse paraître,

il a fallu attendre 1969 _{pour que cette} idée

naturelle

_apparaisse.

Ceci est dû à Shanks

_[8].

C’est d’autant

_plus

étonnant que la loi de groupe est connue, sous une forme

légèrement

différente, depuis

1800.

La

_première

idée de Shanks est de trouver une valeur

_approchée

de

grâce

à l’utilisation de la formule

_analytique

de Dirichlet et du

_produit

Eulerien de la fonction

_LD.

La deuxième

_{idée, beaucoup plus novatrice}

et

utilisable dans de nombreux autres

_contextes,

est sa méthode dite

_"baby

step

giant step" .

Il est

_préférable

de

_{regarder séparément}

les cas D 0 et

D &#x3E; 0 bien _que les

_principes

soient

_quasiment

_identiques.

4.1.

_Corps

_{quadratiques imaginaires.}

Pour un P convenable à choisir

ultérieurement,

on _pose

On

_approche

ainsi le

_produit

Eulerien et non la série de

Dirichlet,

ce

_qui

donne un

_gain

assez faible mais

_qui

n’est _pas à

négliger.

Soit maintenant _p &#x3E; 2 un nombre

_{premier petit}

(p

JiDi74

_par

exem-ple)

tel _que

(D/P) =

--1. Il existe alors une forme réduite

Fi

=

(p,b,c)

de

p

discriminant D. L’idée fondamentale _pour trouver h =

h(D)

est _que l’on

doit avoir

où I est la forme identité

_(qui

est la seule forme réduite du

_type

_{(1, b, c)).}

L’opération

de

_{multiplication}

sur les formes

quadratiques,

due à

GauB,

_peut

être effectuée

_{rapidement grâce}

aux

_algorithmes

COMPOS

[8]

ou NUCOMP

[10]

de Shanks.

donc G =

Ff.

Réciproquement,

si l’on

trouve un 0 tel _que G = _{on en} déduit _que =

I,

donc _que l’ordre de

_Fl

divise É +

6. Si l’ordre de

_Fl

_(qu’il

est maintenant facile de

_calculer)

n’est _pas

_trop

_petit,

cela

_{implique que h}

= h ~

b.

_Sinon,

on

_peut

recommencer avec une deuxième forme

F2

obtenue à

partir

d’un

nouveau nombre

_premier

_p.

Reste à

_expliquer

comment trouver des coïncidences du _type

Notons tout d’abord _{que si} G =

(a, b, c)

alors =

(a, -b, c)

ce

_qui

divise

par 2 le travail. Mais d’autre

part

pour D 0 on doit s’attendre à ce _que

h(D)

soit de l’ordre de

_grandeur

de

_JiÏ5Ï,

donc b aussi à moins d’avoir

poussé

le

_produit

Eulerien vraiment loin. L’idée consistant à calculer les

puissances

successives ...

jusqu’à

l’obtention d’une coïncidence est

donc raisonnable

_{puisqu’elle}

fournit à nouveau un

algorithme

en

Mais

_l’apport

fondamentalement novateur de Shanks est l’introduction de la méthode

_"baby

_step

_{giant step".}

L’idée est la suivante. On suppose que l’on sait déterminer une borne

supérieure

A _pour la valeur b cherchée

_(on

aura A =

O(IDll/2».

On

pose

on ordonne ces formes d’une

façon

où d’une autre. Si ~b =

kq

_{+ r est} la

division euclidienne de ~b par

k,

on a 0 r k et

lql

k. La coïncidence

G =

_peut

donc _se réécrire

. Elle

peut

donc se tester en calculant les k formes GF-’’ pour 0 r k et

en les

_comparant

aux formes

_{précalculées}

et surtout triées

_Fq

_(Noter

_que si les formes n’avaient _pas été

_{triées, chaque comparaison}

aurait

_pris

un

temps

en

_O(k),

alors _que

_triées,

une recherche

_dichotomique

ne

prend

_que

O(log k)).

Un certain nombre de détails doivent bien sûr être

_précisés,

mais il est

clair _que cet

_algorithme

necessite un

_temps

en

O(Al/2+e) =

ce

qui

est bien mieux _que tous les

_{précédents.}

De

_plus,

si l’on _suppose

GRH,

on

_peut

obtenir un

_temps

en en choisissant la borne P

du

_produit

Eulerien

_égale

à

4.2.

_Corps

_quadratiques

réels.

Sans entrer dans les

_détails,

disons brièvement ce

_qui

se _passe dans le cas des _corps

_quadratiques

réels. Tout

_d’abord,

il faut noter _que si l’on ne

fait aucune

hypothèse

de

type

GRH,

les méthodes en

O(D1/2+e)

décrites

aux

_{paragraphes précédents}

sont les

_{plus rapides}

connues. Désormais nous

supposerons donc GRH.

L’idée est maintenant la suivante. Le

_produit

_h(D)R(D)

est de l’ordre de

_O(~),

mais ici en _moyenne

h(D)

est très

_petit

_(voir

_par

_exemple

les

heuristiques

de

_[2]).

L’idée initiale de Shanks est donc à nouveau d’utiliser

la formule de

_Dirichlet,

ici

mais d’utiliser aussi le fait _que

_h(D)

est un

_petit

entier. On calcule _par

exemple

le

_{produit partiel}

_par bloc de 500 nombres

_premiers,

et on s’arrête

lorsque

6 valeurs successives donnent un résultat

proche

du même entier à

moins de 0.1

_près.

Cette méthode et ces valeurs

(500,

_6,

0.1)

sont a

priori

totalement

em-piriques.

Toutefois on doit noter les faits suivants :

~ La méthode est très

_rapide

et en

pratique

donne

toujours

le bon

e On

_peut

obtenir une version

_rigoureuse

de cette méthode en utilisant

GRH

_(voir

_[llJ).

-e Cette dernière

_version,

couplée

avec la méthode

"baby

_step

giant

step"

de Shanks donne un

_algorithme

_qui

_permet

de calculer

h(D)

en _temps

à

_partir

de la connaissances de

_R(D),

_qui

lui aussi

_peut

être calculé en

_temps

d’où le résultat annoncé dans l’introduction.

Je renvoie à

_[11]

_pour tous les détails.

4.3.

_Remarque.

La méthode

_"baby

_step

_{giant step"}

de Shanks

_peut

être utilisée dans tout

contexte où l’on désire calculer l’ordre d’un _groupe, et _que l’on a seulement une borne

supérieure

ou une

_{approximation}

de cet ordre. Par

_exemple,

dès

que le nombre

premier

p n’est pas

trop

petit,

cette méthode est très efficace

pour calculer le nombre de

points

d’une courbe

elliptique

modulo p. En

effet,

dans ce cas on sait _que ce nombre

_Np

vérifie

_{~p -f-1-}

_Np

₁

_2yP,

ce

_qui

fournit un

algorithme

en bien meilleur _que

_{l’algorithme}

banal

consistant à

_compter

les

_points

en

_ajoutant

des

_symboles

de

_Legendre.

5.

_{L’algorithme}

de

_McCurley.

Nous allons maintenant décrire un

algorithme,

dû initialement à

McCur-ley,

pour calculer le nombre de classes d’un corps

quadratique imaginaire

en

_temps

donc

beaucoup plus rapide

_que les

précédents.

On ne

connait _pas

_d’analogue

de cet

_algorithme

_pour les _corps

_{quadratiques réels,}

même en

_supposant

le

régulateur

calculé.

Dans

_{l’algorithme}

de

_Shanks,

ce

qui

nous a

_permis

d’avancer a été

l’uti-lisation de la relation fondamentale

Fh

= I.

L’idée de

_McCurley

est _que l’obtention de

_plusieurs

relations entre

_plusieurs

formes est

_{plus facile,}

et d’autre

_part

_que cela

_peut

conduire aussi au

cal-cul de

_tt(D).

Donnons maintenant un _aperçu de la méthode. Pour une

description plus

détaillée voir Hafner et

_McCurley

_[5].

Tout

_d’abord,

il est

_{indispensable}

de faire

_appel

à la méthode ECM des courbes

_elliptiques

de

_Lenstra,

et

_{plus précisément}

au "résultat" suivant :

Si tous les facteurs

_premiers

d’un nombre n sont inférieurs ou

_égaux

à

P,

n _peur être factorisé en

_temps

Nous avons mis résultat entre

_guillemets

car d’une

_part

ceci n’est _que

probabiliste,

et d’autre

_part

_l’analyse

du

_temps

d’exécution nécessite l’utili-sation d’une

_hypothèse

très

_plausible

mais non démontrée de théorie

L’algorithme

se déroule de la

façon

suivante. Tout d’abord on choisit une

borne P de l’ordre de où a est à

_optimiser.

Pour _{tout p}

_premier

tel

_{que p P et}

(D/P)

=

1,

il existe une forme réduite

_{Fp =}

(p, bp, cp).

On

-

(2)

calcule la forme réduite :

où les ep sont des

_exposants

choisis essentiellement au hasard.

_Puisque

(a,

b,

c)

est

_réduite,

on a a

.¡¡DT73

et on

_peut

donc factoriser a en

_temps

Si tous les facteurs

_premiers

de a sont inférieurs ou

_égaux

à P et si

_{(a, D)}

= 1 _on

garde

la forme

(a,

b,

c),

et sinon _on la

rejette.

Si a = est facile de montrer que

où _ép = :1:1 est défini _par la _congruence

(le

facteur 2 n’est nécessaire _{que pour p} = 2. Noter

que b)

=

b2 -

D

(mod 4p)).

On en déduit donc la relation

p

premier},

et n = _{on a} donc _{un vecteur}

de relations entre les

_Fp.

En

_prenant

de nouveaux

_exposants

_ep, on obtient ainsi autant de relations

que l’on veut. Si l’on suppose

GRH,

on

_peut

_prouver

qu’il

existe une

constante absolue effectivement caculable c telle _{que pour}

_p

c log

D ~

les

Fp

engendrent

le groupe des classes. Comme P a été choisi

beaucoup plus

est un

morphisme surjectif

de _groupes. Son noyau A est un sous réseau de

Z~ et on a

Les relations trouvées ci-dessus sont _par définition des éléments de A. Elles ne _{sont pas} forcément linéairement

indépendantes,

mais en cas de

dépendance

il suffit de choisir de nouveaux

_exposants

_ep au

hasard, jusqu’à

ce

qu’on

obtienne ainsi un

système

de rang n.

Le déterminant du

_système

obtenu est alors un

multiple

de det A =

h(D).

Pour obtenir

_h(D)

il suffit

_d’ajouter

encore

_quelques

relations. On obtient

ainsi

_{plusieurs multiples}

de

_h(D),

dont on calcule le PGCD. Sous des

hy-pothèses raisonnables,

on

_peut

démontrer _que l’on obtiendra ainsi la valeur

de

_h(D)

et non l’un de ses

multiples

[5].

Ceci

_peut

d’ailleurs se tester

facile-ment : on

_peut

montrer

_qu’il

existe une constante absolue c effectivement

calculable telle _{que, si}

alors on a

On voit donc _que si h est le

_multiple

trouvé de

_h(D),

on _peut tester si h =

h(D)

_en testant

l’inégalité

En faisant des

_{hypothèses heuristiques raisonnables,}

il est clair _que

l’algo-rithme

_précédent

a un

_temps

d’exécution en

Dans Lenstra-Schnorr

_[6],

cet

_algorithme

est

_légèrement

modifié et ils

peuvent démontrer

_qu’en

_supposant

seulement GRH

_(et

_pas d’autres

hy-pothèses

_{heuristiques),}

l’algorithme

a un

_temps

_probabiliste

d’exécution

_qui

est

_{0(Z(jDj)"+’)}

_pour tout c &#x3E;

_0,

avec a = = 1.06... Comme il

a été dit dans

_{l’introduction,}

il est fort

_probable

_que l’on

_puisse

descendre

cette constante à 1 ou même à

1/V2.

Remarques

1. A ma

_{connaissance,}

aucun test

_{expérimental}

n’a été effectué _pour déterminer la valeur de D à

_partir

de

_laquelle

cet

_algorithme

devient

_plus

efficace _que la méthode du

_paragraphe

4.1. Si

_je

devais

_deviner,

_je

dirais

pour D &#x3E;

l030.

2. Les

_algorithmes

de

_McCurley

et Lenstra-Schnorr

_peuvent

a

_priori

s’appliquer

au calcul

rapide

de l’ordre d’un groupe abélien fini dès que l’on

sait : .

~ Calculer

explicitement

dans ce _groupe.

w

_Engendrer

"au hasard" des relations entre _{éléments du groupe.}

Ceci est

_expliqué

en détail dans

Lenstra-Schnorr[6].

6. Calcul du

_régulateur

_R(D).

Nous terminerons cet

_exposé

en

expliquant

_comment

on

_peut

calculer

rapidement

le

_régulateur

_R(D)

d’un _corps

_{quadratique réel,}

donc avec

D &#x3E; 0.

_{Indépendamment}

de son intérêt _propre,

rappelons

_que c’est

in-dispensable

pour calculer le nombre de classes. 6.1. La méthode traditionnelle.

Les

_cycles

dont nous avons

parlé

au début

correspondent

aux

périodes

des fractions continues associées aux nombres

quadratiques correspondants.

Nous nous intéressons ici au

_{cycle principal, correspondant}

à

l’unique

forme

quadratique

réduite

_{représentant}

_1,

à savoir

_{( 1, 2q}

+ r,

q2

+ qr +

(r -

D)/4),

oùl’onaposér=OsiD-0(mod4),r=

1 si D == 1

_{(mod 4), et où}

q =

r)/2J .

On a alors

Si on

_développe

ce nombre en fraction

continue,

la définition même d’une

forme réduite montre _que le

_{développement}

sera

_purement

_périodique,

soit

en

employant

une notation standard de fractions continues. Les _ai

peu-vent se calculer récursivement de

façon simple,

sans calculs

flottants,

et en

utilisant

_uniquement

des entiers de taille inférieure à

_y’Ï5,

en

représentant

toujours

les nombres comme des nombres

quadratiques.

Ceci

correspond

bien sûr exactement au calcul du

_{cycle principal}

de formes

_{quadratiques ;}

nous _y reviendrons.

Si l’on _pose

ln

est l’unité

_{fondamentale,}

donc

_R(D)

₌

_{log s}

est le

_régulateur

cherché. La

_longueur

de la

_période

étant

_O(DI/2+f.),

ceci fournit un

algorithme

en

_temps

O(DI/2+f.)

_pour calculer

R(D).

L’utilisation de la

symétrie

de

(al, ... , am)

permet

facilement de _gagner un facteur

2 ;

d’autre

part

comme e =

exp(R(D)),

il est en fait hors de

_question

de calculer - exactement sauf

quand

D est

_petit.

La

_première

idée nouvelle _pour améliorer cette situation

est la _remarque suivante : dans la formule

_analytique

de

_Dirichlet,

seule

une

approximation

du

régulateur

nous intéresse. Or celui-ci _peut se calculer

directement par la formule

où l’on a posé

(et

en

_particulier

_{p_1 -}

_1).

Or les

_quantités

_pk/pk-1

_peuvent

être calculées

très facilement _par récurrence en même

_temps

_que le

développement

en

fraction continue.

Cette idée

n’améliore

_pas le nombre

_{d’opérations}

effectuées _par

l’algo-rithme,

mais améliore considérablement son

_temps

d’exécution

_puisque

tous

les calculs

_peuvent

être faits en flottants avec une

précision raisonnable,

au

lieu d’une

_{précision parfois}

démentielle nécessaire _pour le calcul final de 6’

et de son

_log.

Noter _que contrairement aux _apparences, la formule _que nous

venons de donner _pour

R(D)

ne nécessite _pas le calcul de m

logarithmes

mais d’un seul. Nous laissons au lecteur le

_plaisir

de découvrir l’astuce très

simple

à utiliser.

6.2.

_Quelques

résultats sur les formes réduites.

Avant de voir comment la méthode ci-dessus

_peut

être

_améliorée,

il

est nécessaire d’énoncer

_quelques

résultats sur les formes réduites. Nous

utiliserons librement

_{l’expression "développement}

en fraction continue"

_(en

abrégé

dfc)

aussi bien _pour les nombres

_quadratiques

_{que pour} les formes réduites

_qui

leur

_{correspondent.}

. Si

_{(a, b, c)}

est une forme

quadratique réduite,

son dfc fournit le

_cycle

de toutes les formes

_quadratiques

réduites

_qui

lui sont

_{équivalentes.}

Le nombre de formes dans ces

cycles

est

_variable,

mais la valeur du nombre

calculée comme ci-dessus sur un

cycle quelconque,

est

_toujours

la

_même,

à savoir le

_régulateur

_R(D).

~ Si

(a, b, c)

est une forme

primitive,

c’est à dire telle _{que a,}

b,

c soient

premiers

entre eux dans leur

ensemble,

son dfc conduit très

_rapidement

à une forme

réduite,

en au

_plus

étapes

(donc

en

O(log D)).

Ceci

correspond

à une

majoration

de la

pré-période

du dfc d’un nombre

_quadratique.

6.3. L’infrastruct ure d’un

_cycle.

Nous en arrivons à une idée extrêmement

originale

et

_importante

de Shanks : ce

_{qu’il appelle}

"l’infrastructure" d’un

_cycle

de formes réduites.

Très

_{schématiquement,}

on a envie de dire _que l’ensemble de toutes les formes réduites de discriminant D forme un

"groupe",

_que le

cycle

principal

est un

_{"sous-groupe cyclique",}

les autres

_cycles

étant les classes

d’équiva-lence modulo ce _sous-groupe, et le _groupe des classes étant donc le

_"groupe

quotient"

du _groupe des formes réduites _{par le sous-groupe}

_cyclique

des formes

_principales.

Cette

_{intérpretation}

est d’ailleurs à la base des

heuris-tiques

faites avec

Lenstra[2]

et

_Martinet[3].

Plusieurs choses sont incorrectes dans ces

_énoncés,

mais le

_principal

défaut est _que le

_produit

de deux formes réduites n’est en

général

_pas une

forme réduite. La

_première

_remarque de Shanks _{est que} c’est

_quand

même presque vrai :

grâce

au résultat cité au

paragraphe

_6.2.,

on sait

qu’en

util-isant au

_plus

_{O(log D)}

_pas de

_réduction,

on

_peut

se ramener à une forme

réduite. Cela conduit à écrire

où

_{fl, f2, f3}

sont trois formes

_réduites,

et

_{où 0 représente}

le

_petit

nombre de réductions nécessaires _pour réduire le

_{produit fi . f2.}

Bien

_sûr,

étant donnés

_fi

et

_{f2, ~}

et

_f3

ne _{sont pas}

_uniques,

mais on _suppose le nombre de

réductions choisi en

O(log D).

La deuxième _remarque de Shanks est certainement la

_{plus importante.}

Considérons _par

_exemple

le

_{cycle principal.}

Soit

_{fo l’unique}

forme réduite

représentant

1

_(donnée

_{explicitement}

au

paragraphe

6.1).

On définit la

distance d’une forme

_fk

à

_fo

en

_posant

Si

_f3

=

~( fl ~ f2 ),

Shanks _remarque alors _que

donc _{que cette} notion de distance est

_{approximativement}

additive. En fait

on a

plus précisément

où

_{b( 4»}

se calcule de

façon

analogue

à

d( f )

en fonction du

(court)

dfc

donnant

_0.

G~‘râce à cette remarque, on

_peut

maintenant

parcourir

le

développement

en fraction continue en faisant des

grand

sauts

_("giant

steps"),

tout

_simplement

en

multipliant

_par une forme située loin de

fo .

On

_peut

alors

_appliquer

une variante de la méthode

"baby

_step

giant step"

et obtenir ainsi un

_algorithme

en

_opérations.

De même que

pour le calcul du nombre de

classes,

l’utilisation de GRH conduit même à

un

algorithme

en

O(Dl/5+e)

opérations,

mais

qui

n’est _pas très utilisable en

_pratique.

Les détails de

l’implémentation

de

cet algorithme

sont donnés dans

_[11].

Voir

_également

[6]-REFERENCES

1. J. _Buchmann, Zur _Komplexität der _Berechnung von Einheiten und Klassenzahlen

algebraischer Zahlkôrper, Habilitationsschrift, Düsseldorf, Oktober 1987.

2. H. Cohen and H. W. _Lenstra, Heuristics on _{class groups of} number _fields, Num-ber _{Theory (Noordwijkerhout 1983),} Lecture Notes in Math. 1068

_(1984),

33-62,

Springer-Verlag, Berlin and New York.

3. H. Cohen and J. _Martinet, Class _{groups of} number _fields: Numerical _heuristics, Math. Comp. 48 _(1987), 123-137.

4. E. _{Friedman, Analytic formulas for} the _{regulator of} a number _field, (to appear).

5. J. L. Hafner and K. S. McCurley, A _{rigorous subexponential algorithm for} compu-tation of class groups, (to appear).

6. A. K. Lenstra and C. P. Schnorr, On the computation of the order of finite abelian

7. H. W Lenstra Jr., On the _{computation of regulators} and class numbers _{of quadratic}

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8. D. _Shanks, Class _numbers, a theory of factorisation and _genera, Proc.

Symp.

Pure

Math. 20 _(1971), 415-440.

9. D. _Shanks, The _{infrastructure of} a real _{quadratic field} and its applications, Proc. Number _Theory Conference _(1972), 217-224.

10. D. _Shanks, On Gauss and _composition, in _"Proceedings of the 1987 conference on

Number _Theory, Banff" _{(to appear).}

11. A. J. _Stephens and H. C. _{Williams, Computation of} real _{quadratic fields} with class number _one, Math. _Comp. 51, 809-824.

Mo ts clefs: .

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de _{Bordeaux,Université} Bordeaux I C.N.R.S. U.A. 226

U.F.R. de _{Mathématiques}

351, cours de la Libération 33405 Talence _Cedex, FRANCE.