Devoir à la maison. 1 Problème du rendu de monnaie

(1)

Universit´e Paris Diderot – Paris 7 Algorithmique

L3 Informatique Ann´ee 2009-2010, 1^er semestre

Devoir ` a la maison

Ce devoir est composé de quatre parties indépendantes, numérotées de 1 à 4. Le barème indicatif attribue 4 points aux parties 1, 2 et 4, et 8 points à la partie 3.

Attention : Vous devez rendre les solutions de ces quatre parties sur des copies séparées ! Il est autorisé de vous documenter dans divers ouvrages pour résoudre les problèmes proposés. Il est aussi autorisé de réfléchir en groupe aux solutions. En revanche, la rédactiondoit êtrepersonnelle.

1 Probl` eme du rendu de monnaie

On souhaite construire un algorithme pour obtenir une sommeS(Sest un entier) à partir densortes de pièces de valeurs différentes (et entières) : v1, . . . , vn. On suppose que pour chaque valeurvi, le nombre de pièces disponibles est illimité. On suppose de plus que vn> vn−1> . . . > v1 et quev1= 1.

Exercice 1 [Algorithme glouton]

On considère l’algorithme suivant où lesv_i sont stockées dans un tableauVal. Le tableauSol est utilisé pour décrire une manière de composer une somme : Sol[i] donne le nombre de pièces de valeur v_i. La somme correspondante est donc : Σⁿ_i=1Sol[i]·Val[i].

Dans l’algorithme suivant, le symbole/ désigne la division entière et % le reste de la division entière.

Proc´edureSomme(S,Val) begin

Sol:=tableau d’entiers de tailleninitialis´e avec[0, . . . ,0];

j:=n;

tant queS >0faire Sol[j] :=S/Val[j] ; S:=S%Val[j] ; j:=j−1;

retournerSol end

Question 1. Donnez le r´esultat renvoy´e dans le casS= 236 etv1= 1,v2= 3, v3= 50 etv4= 70.

Question 2. Donnez le r´esultat renvoy´e dans le casS= 8 etv1= 1,v2= 4, etv3= 6.

Question 3. Décrivez l’idée sous-jacente à cet algorithme.

Question 4. Montrez que cet algorithme termine.

Question 5. Montrez qu’il fournit une solution au problème, c’est-à-dire une manière de composerS.

(2)

Exercice 2 [Programmation dynamique]

On veut maintenant trouver un algorithme qui calcule une solution utilisant un nombre minimal de pièces pour composer la sommeS (à partir des pièces de valeurv1, . . . , vn). Dans un premier temps, on va chercher à construire un algorithme ne calculant que le nombre minimal de pièces nécessaires.

Question 1. Montrez que compter le nombre de pièces de la solution renvoyée par l’algorithmeSomme n’est pas correct pour résoudre ce nouveau problème.

Remarque annexe De fait, il est possible de montrer que pour le système de monnaie européen l’algorithme glouton de l’exercice 1 calcule une solution utilisant le nombre minimal de pièces. La question précédente a montré que dans certains systèmes de monnaie très peu communs, cette propriété n’est pas vérifiée. À l’heure actuelle, on ne connait pas de critère permettant de distinguer automatiquement les systèmes de monnaie pour lesquelles l’algorithme glouton calculera une solution utilisant le nombre minimal de pièce.

Question 2. Proposez un algorithme qui calcule le nombre minimal de pièces nécessaires pour composer S.(Indication : Une possibilité est calculer successsivement, pour tout S⁰ ≤S, la valeurNS⁰ du nombre minimal de pièces nécessaires pour constituer la sommeS⁰, et de stocker ces valeurs intermédiaires dans un tableau.)

Question 3. Adaptez votre algorithme pour calculer non seulement le nombre minimal de pièces nécessaires, mais aussi une décomposition optimale deS, c’est-à-dire un ensemble de pièces de sommeS et de taille minimale.

Question 4. Comparez la complexité de l’algorithmeSommeavec celui établi à la question précédente.

Exercice 3 [Nombre limit´e de pi`eces]

On cherche maintenant à résoudre le problème lorsque le nombre de pièces de chaque sorte est limité.

Etant donn´´ es une sommeS, un ensemble E de pièces composé de N1 pièces de valeur v1,N2 pièces de valeurv2,etc., proposer un principe pour un algorithme calculant, lorsque une solution existe, le nombre minimal de pièces nécessaires pour réaliser la somme S et correspondant à une solution faisable avecE.

2 Vrai ou Faux sur les ABR

Pour chacun des exercices suivants sur les arbres binaires de recherche (ABR) sur des ensembles de clés distinctes, vous devez soit donner une démonstration de l’affirmation proposée, soit fournir un contre- exemple infirmant cette proposition. Dans cet exercice, nous faisons référence la fonction de suppression basée sur la fonctionextraire min.

Exercice 1 On considère un ABRA, et deux nouvelles clésaetb. On noteA1(resp.A2) l’ABR obtenu en insérantapuisb (resp.b puisa) dansA. A-t-on toujoursA1=A2?

Exercice 2 On consid`ere un ABRA, et deux cl´esaetb dansA. On note A1 (resp.A2) l’ABR obtenu en supprimantapuisb(resp.bpuisa) dansA. A-t-on toujoursA1=A2?

Exercice 3 On considère un ABRA, et une nouvelle cléa. On noteA1l’ABR obtenu en insérantapuis en supprimantadansA. A-t-on toujoursA₁=A?

Exercice 4 On considère un ABRA, et une cléadans A. On noteA₁ l’ABR obtenu en supprimanta puis en insérantadansA. A-t-on toujoursA₁=A?

Exercice 5 On consid`ere un ABRA, et une nouvelle cl´ea. On noteCle chemin d’insertion deadansA.

On note aussiG(resp.D) l’ensemble des clés à gauche (resp. droite) du cheminCdansA. Les affirmations suivantes sont-elles toujours vérifiées ?

a) pour toutg∈ G, d∈ D, g < a < d; b) pour toutg∈ G, c∈ C, d∈ D, g < c < d.

(3)

3 Analyse de la complexit´ e en moyenne du tri rapide

Le but de ce problème est de calculer le nombre moyen de comparaisons entre éléments du tableau à trier qui est effectuées dans l’algorithme de tri rapide, lorsque pour une taille donnée tous les tableaux sont

´

equiprobables. Pour cela, on considére que le tableau T à trier a une taillenet contient tous les entiers de 1 à n. Ainsi,T est une permutation de{1, . . . , n}dans lui-même.

Exercice 1 Pourquoi est-il possible de faire cette hypothèse sans perte de généralité ?

La distribution de probabilit´e sur les tableaux T est alors la distribution uniforme sur l’ensemble des permutations de{1, . . . , n}.

Exercice 2 Quel est le nombre de permutations de{1, . . . , n}? Selon la distribution uniforme, quelle est la probabilit´e d’une permutationT₀ donn´ee ?

Dans la suite, la notationT⁰=T1, p, T2 signifie queT⁰ est un tableau de taille |T1|+|T2|+ 1 v´erifiant :

T⁰[i] =







T₁[i] pour toutitel que 1≤i≤ |T1|

p pouri=|T₁|+ 1

T₂[i− |T₁| −1] pour touti tel que|T₁|+ 2≤i≤ |T₁|+|T₂|+ 1

Le tri rapide est un algorithme récursif. La première étape consiste en un ré-ordonnancement du tableau T à trier en un tableau T⁰ = T1, p, T2, où p = T[n] est appelé le pivot, et où le tableau T1 contient tous les éléments de T inférieurs à petT2 tous ceux supérieurs. Ici et pour toute cette étude, le dernier

´

elément du tableauT à trier est choisit comme pivot, mais bien-entendu d’autres choix auraient pu être possibles. Une fois le tableauT réorganisé enT1, p, T2 le pivotpest à la bonne place, et il suffit de trier récursivement T1 et T2. Le cas de base est atteint lorsque T n’a qu’un élément : dans ce cas le tableau est déjà trié.

La phase consistant à réordonner le tableau autour du pivot est appelée«pivotement». Sipest la valeur du pivot, l’algorithme de pivotement que nous allons utiliser fonctionne en échangeant successivement tous les couples (i, j)«inversés», c’est-à-dire tels quei < jet pourtantT[i]> p > T[j]. Pour cela, nous avons besoin d’une fonction intermédiaire, appelée Prochain couple(T, k, l, p), pour trouver le «prochain» couple inversé par rapport à un pivot p, en partant des extrémités du tableau T et en allant vers le centre. Les indices k et l permettent de restreindre la recherche au sous-tableau T[k..l] des cases de T dont les indices sont compris entreketl inclus.

Proc´edureProchain couple (T, k, l, p)

1

d´ebut

2

s:=k;

3

t:=l ;

4

tant ques≤l etT[s]< pfaire

5

s:=s+ 1 ;

6

tant quet≥s etT[t]> pfaire

7

t:=t−1 ;

8

renvoyer(s, t)

9

fin

10

La fonction effectuant le pivotement sur le tableau T[i..j], qui renvoie la nouvelle position du pivot, s’appellePivotement(T, i, j). Et l’algorithme du tri rapide se nommeQuicksort(T, i, j).

(4)

Proc´edurePivotement(T, i, j)

1

d´ebut

2

p:=T[j] ;

3

(s, t) :=Prochain couple(T, i, j−1, p) ;

4

tant ques≤tfaire

5

T[s]↔T[t] ; // abr´eviation pour´Echange(T, s, t) ;

6

(s, t) :=Prochain couple(T, s+ 1, t−1, p)

7

T[j]↔T[s] ;

8

renvoyers

9

fin

10

Proc´edureQuicksort(T, i, j)

1

d´ebut

2

sii < j alors

3

p:=Pivotement(T, i, j) ;

4

Quicksort(T, i, p−1) ;

5

Quicksort(T, p+ 1, j) ;

6

fin

7

Exercice 3 [Pivotement]

Question 1. Simulez `a la main l’ex´ecution dePivotement(T,1,10) sur le tableauT suivant :

7 5 8 6 9 2 3 10 1 4

en précisant pour chaque appel àProchain couple(T, k, l, p), lequel des 4 cas ci-dessous est vérifié : a) ∀i∈[k, l], T[i]< p;

b) ∀i∈[k, l], T[i]> p; c) ∃q∈[k, l−1] tel que :

– pour touti∈[k, q] :T[i]< p; – et pour touti∈[q+ 1, l] :T[i]> p;

d) ∃i,∃j,tels que k≤i < j≤l etT[j]< p < T[i].

Question 2. Etant donn´´ e un pivot pet un tableau T[k..l], montrez que s’il existe un couple d’indice (s, t), compris entrek etl, et v´erifiant :sest le plus petit indice tel queT[s]> p, ettest le plus grand indice tel queT[t]< p, alors soits=t+ 1, soits < t.

Montrez que lorsqu’un tel couple existe, l’algorithmeProchain couple(T, k, l, p) renvoie ce couple.

Pour quelles configurations du tableauT, un tel couple n’existe pas ? Dans ces cas, que renvoie l’algorithmeProchain couple(T, k, l, p) ?

Question 3. Prouvez la correction de l’algorithme de pivotement. Indication : il est possible de montrer que l’invariant suivant est satisfait « à la fin de chaque itération de la boucle dans l’exécution de Pivotement(T, i, j), tous les éléments deT[i..s−1]sont inférieurs àpet tous les éléments deT[t+1..j−1]

sont supérieurs àp». Il ne faut pas oublier de justifier précisément l’échange finalT[j]↔T[s].

Question 4. Montrez que le nombre de comparaisons entre valeurs du tableau T[i..j] effectuées par Pivotement(T, i, j) est soitnsoitn−1, oùn=j−i+ 1 est le nombre d’élements du tableauT[i..j].

(5)

Exercice 4 [Pr´eservation de la distribution uniforme]

Pour calculer le nombre moyen de comparaisons de l’algorithmeQuicksort(T,1, n), on va raisonner par récurrence. C’est-à-dire que l’on va chercher à décrire le coût moyen du tri d’un tableau de taille nen fonction du coût moyen des appels récursifs. Pour cela, il faut d’abord montrer que notre opération de pivotement préserve la distribution uniforme sur les permutations des éléments des tableaux passés en argument aux appels récursifs.

L’algorithme de pivotement transforme une permutation T en une nouvelle permutation T⁰ =T1, p, T2

o`u p=T[n],T1 est une permutation de{1, . . . , p−1} etT2est une permutation de{p+ 1, . . . , n}. Pour simplifier les notations, on appellera f la fonction qui envoie T sur T⁰. On suppose que pest fix´e dans tout cet exercice.

Question 1. Montrez quef est une surjection de l’ensemble des permutationsT telles queT[n] =psur l’ensemble des permutationsT⁰ de la formeT₁, p, T₂o`up=T[n],T₁est une permutation de{1, . . . , p−1}

etT₂est une permutation de{p+ 1, . . . , n}. En d’autres termes, montrez que toutes les permutations de la formeT1, p, T2sont atteintes parf.

Question 2. SoitT⁰ =T1, p, T2 une permutation fixée dans l’image def. Le but de cette question est de calculer le nombre d’antécédents deT⁰, c’est-à-dire le nombre de permutationsT distinctes telles que f(T) =T⁰.

a) Soient (p−1) indices, notési1, i2, . . . , i_p−1, tels que 1≤i1< i2<· · ·< i_p−1≤n−1. Montrez qu’il y a exactement une permutationT telle quef(T) =T⁰ et∀j, T[ij]< p. En d’autres termes, montrez que le choix des cases de valeur inférieure àpdétermine un unique antécédent deT⁰. On pourra raisonner sur les échanges effectués par l’algorithme de pivotement, notamment en justifiant que les casesT[ij] restent inchangées si ij < p, et en déterminant la case avec laquelle est échangée T[ij] pour ij ≥p.

(On ignorera dans cette question le dernier ´echange de la casepavec la case nconsistant `a placer le pivot.)

b) En d´eduire que chaque permutationT⁰ a exactement ⁿ⁻¹_p−1

ant´ec´edents parf.

Question 3. Après pivotement, quelle est donc la probabilité d’une permutation T⁰ =T₁, p, T₂? En déduire qu’il s’agit de la distribution uniforme sur les permutations T⁰, puis que les distributions surT1

etT2 sont ´egalement uniformes.

Exercice 5 [Complexit´e moyenne]

Cet exercice peut être traˆıté en admettant les résultats des exercices 3 et 4.

L’objet de ce dernier exercice est le calcul du nombre moyen de comparaisons effectu´ees par l’algorithme Quicksort(T,1, n). Ce nombre sera not´eC(n).

Question 1. Que valentC(0) etC(1) ? Montrez que pourn≥2,

C(n)≤n+1 n

n

X

i=1

(C(i−1) +C(n−i)).

D´eduisez-en :

C(n)≤n+2 n

n−1

X

i=1

C(i).

Question 2. Montrez par récurrence queC(n)≤4nlnnpour n≥1. (Indication : vouz pourrez utiliser une comparaison série-intégrale pour montrer que Pn−1

i=1 ilni≤(n²/2) lnn−n²/4 + 1/4) D´eduisez-en un que le nombre moyen de comparaisons pour le tri rapide est en O(nlnn).

Question 3. En utilisant la mˆeme m´ethode, montrez que le nombre moyen de comparaisons pour le tri rapide est en Θ(nlnn).

(6)

4 De l’art de la contradiction utile

Selon une enquˆete finlandaise, dont nous n’avons pas pu retrouver la source, lorsque trois amis sont invit´es

`

a la même table, il est inévitable que l’un des trois en viennent à contredire les deux autres, et qu’une dispute éclate. Mais il est bien connu que les disputes entre amis nourrissent l’amitié.

Selon une enquête norvégienne, dont nous n’avons pas plus retrouvé la source, lorsque trois personnes ne se connaissant pas sont invitées à la même table, il est inévitable que l’une des trois en viennent à contredire les deux autres, et qu’une dispute éclate. Mais il est bien connu que les disputes entre inconnus font naˆıtre de nouvelles amitiés.

En vous appuyant sur ces deux enquêtes, vous devez montrer que lorsque six convives se retrouvent à la même table, l’amitié en sort toujours grandie. Pour cela vous pourrez montrer qu’une dispute a eu lieu.

Vous pourrez aussi vous aider de la th´eorie des graphes non-orient´es, et des questions suivantes.

D´efinition Etant donn´´ e un grapheG= (S, A), et un sous-ensembleS⁰⊂S de ses sommets, on appelle sous-graphe induit parS⁰ deG, le grapheG⁰ = (S⁰, A⁰) o`uA⁰ ={{s1;s2} ∈A|s1∈S⁰, s2∈S⁰}.

Définition On appellestables¹ d’un grapheG, les sous-graphes induits deGne contenant pas d’arête ; on appellecliques d’un grapheG, les sous-graphes induits deGdont tous les sommets sont deux à deux reliés par une arête. Par exemple, dans le graphe (1) ci-dessous, les sous-graphes induits par{a; b; f} et {b; e} sont des stables, les sous-graphes induits par{a; d; e} et{c; e; f} sont des cliques. Dans le graphe (2), le sous-graphe induit par{b; d; f} est un stable.

(1)

e f d

b c a

(2)

e f d

b c a

Question 2. Parmi les graphes suivants, lesquels contiennent des cliques de taille 2 ? de taille 3 ? de taille 4 ? des stables de taille 2 ? de taille 3 ? de taille 4 ?

(3) d c

b a

(4) e

d c

b a

(5) f

e d

c b a

(6)

e f d

b c a

(7)

e f d

b c a

(8)

e f d

b c a

(9)

e f d

b c a

1parfois aussi appel´esensembles ind´ependants d’un graphe G

(7)

Question 3. Parmi l’ensemble des stables d’un graphe, on appellestables-maxceux ayant le plus grand nombre de sommets. Mettez en ´evidence dans les graphes (1) `a (9), un de leurs stables-max.

Question 4. Dessiner un graphe de taille 5 dont les stable-max sont de taille 1.

Question 5. Etant donn´´ e un graphe G= (S, A), et un de ses stables-maxG⁰ = (S⁰, A⁰), montrez que les sommets du compl´ementaire deS⁰ dansS, sont tous voisins dansGd’un des sommets de S⁰.

Proposition PUne tablée de 6 convives peut être abstraite par un graphe non orienté si l’on identifie les invités à des sommets, et les relations d’amitié aux arêtes. L’objet des questions suivantes est de montrer la proposition : «tout grapheG de taille 6 contient une clique de taille 3 ou un stable de taille de 3».

Les deux parties de la disjonction ne sont pas exclusive comme le montre le graphe suivant, o`u le graphe induit par{a, b, c} est un stable, et celui induit par{c, e, f}est une clique.

(10)

e f d

b c a

Question 6. Montrez que cette proposition n’est pas vraie pour les graphes de taille 5.

Dans le cas des graphes de taille 6, la preuve peut se faire par cas sur la taille des stables-max.

Question 7. Montrez que la proposition P est vraie lorsque les stables-max sont de taille 1, et lorsqu’ils sont de taille supérieure ou égale à 3.

Il ne reste plus que le cas où les stables-max sont de taille 2. Les 4 questions suivantes servent à prouver ce dernier cas. En particulier dans ces questionsGdésigne un graphe de taille 6, et aet bdésignent les deux sommets d’un de ses stables-max. La preuve va se faire par cas sur le cardinal du voisinageV(a) de adansG.

Question 8. Montrez que si|V(a)| ≥3, alors au moins 2 des voisins deasont reliés par une arête dans G. Déduisez-en que la proposition P est vraie dans ce cas.

Question 9. Montrez que si |V(a)| = 1, alors |V(b)| ≥3. D´eduisez-en que la proposition P est vraie dans ce cas.

Question 10. Par sym´etrie entre aet b, le seul cas restant est le cas |V(a)|=|V(b)|= 2. D´emontrez que dans ce casV(a) etV(b) sont disjoints.

Dans ce cas, le grapheGa donc la structure suivante :

(11) e f c d

b a

où les arêtes en pointillés sont les arêtes encore possibles.

Question 11. Montrez que la proposition P est vraie dans ce dernier cas.

Question 12. Proposez une conclusion par rapport au sc´enario initial.

Question 13. Sauriez-vous étendre ce résultat aux tablées de plus de six convives ?