Analyse 1
D
EVOIR DE CONTRÔLE CONTINU2
Durée : deux heures. Aucun document autorisé. Calculettes interdites.
Les exercices qui suivent sont indépendants les uns des autres. Le barême indiqué est juste indicatif et pourra être éventuellement modifié.
Exercice 1 (4,5 pts)
Soitf une application deRdansR. Ecrire à l’aide des symboles mathématiques usuels (∀,∃,⇒) les phrases suivantes :
1. (1,5 pt)f(x)tend vers0quandxtend vers+∞.
2. (1,5 pt)f(x)ne tend pas vers3quandxtend vers1.
3. (1,5 pt)f(x)tend vers+∞quandxtend vers+∞.
Exercice 2 (3 pts)
Soit la fonctionf(x) = (x−1)xx2−1 définie surR− {0,1}. La fonctionf admet-elle une limite quandxtend vers1(1 pt) ? Quandxtend vers0(1 pt) ? Est-elle prolongeable par continuité enx= 0(0,5 pt) ? Enx= 1(0,5 pt) ?
Exercice 3 (4,5 pts)
1. (1,5 pt) On notef(x) =√
x−3−√
x+ 5pourx>3. Quelle est la limite def en+∞? 2. (3 pts) On noteg(x) =√
x2+ 2x+ 7−(x+ 5)pourx∈R. Quelle est la limite degen+∞? Et en−∞?
Exercice 4 (2 pts)
Pour toutx∈Ron notef(x) =x6+ 2x5−3x4+x2+ 1etg(x) =x6−x5+ 3x4−x+ 3. Montrez qu’il existe x0∈Rtel quef(x0) =g(x0).
Exercice 5 (3 pts)
On considère une fonctionf : [0,+∞[→ Rcontinue telle quelim
+∞f = 0. Montrez qu’il existeAtel quef est bornée sur[A,+∞[(1 pt). En déduire quef est bornée sur[0,+∞[(1 pt). Est-il vrai qu’il existea∈[0,+∞[tel que sup
[0,+∞[
f =f(a)(1 pt) ?
Exercice 6 (2 pts)
Soientf : R→Rcontinue etx0un réel tel quef(x0)>0. Montrez qu’il existe un intervalle[a, b]deR(avec a < b) tel que
∀x∈[a, b] : f(x)> f(x0) 3 .
Exercice 7 (6 pts)
On considère une fonctionF :]0,1[→Rvérifiant pour une certaine constanteC >0la propriété suivante :
(∗) ∀(x, y)∈]0,1[×]0,1[, |F(x)−F(y)| ≤Cp
|x−y|.
1. Montrez queFest continue sur]0,1[. (2 pts) 2. Montrez queFest bornée sur]0,1[. (2 pts)
3. Donnez un exemple d’une fonction continue de]0,1[ dans Ret non bornée. Donnez un exemple d’une fonctionFnon constante vérifiant(∗). (2 pts)
