Contrôle de Mathématiques 2 : Intégration Groupe B - Correction
La rédaction et la justication des calculs constituent un point essentiel de l'évaluation des copies.
Exercice 1. 6 points. Après avoir donné le degré et identié tous les pôles, décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR:
a.
F(x) = 6x2−23x+ 25 (x−2)3(x−1)(x+ 1)
La fractionF(x)dont le degré estdeg(F(x)) = 2−5 =−3<0 n'admet pas de partie entière. Ses pôles sont2,1 et−1de multiplicité respective3,1et 1. Après décomposition, on s'attend à
F(x) = λ1
x−2+ λ2
x−2+ λ1
(x−2)2 + λ3
(x−2)3 + λ4
x−1+ λ5 x+ 1. On sait calculer directementλ4et λ5 :
λ4= (x−1)F(x)|x=1= 6x2−23x+ 25
(x−2)3(x+ 1)|x=1= 8
(−1)(2) =−4 et
λ5= (x+ 1)F(x)|x=−1= 6x2−23x+ 25
(x−2)3(x−1)|x=−1= 54
(−27)(−2) = 1
Pour calculer les autresλ, il faut faire un Dl2(2)de la fractionF1(x) = 6x(x−1)(x+1)2−23x+25. Pour cela on posey=x−2 c'est-à-direx=y+ 2et alors
F1(x) = 6(y+ 2)2−23(y+ 2) + 25
((y+ 2)−1)((y+ 2) + 1) =6y2+y+ 3 y2+ 4y+ 3.
Il s'agit d'eectuer une division suivant les puissances croissantes de6y2+y+ 3pary2+ 4y+ 3. Et cela donne
6y2+y+ 3
y2+ 4y+ 3 = 1−y+ 3y2+R(y) ou encore
F1(x) = 1−(x−2) + 3(x−2)2+R(x).
Attention à ne pas développer les(x−2)! Il ne reste plus qu'à se ramener à F(x), c'est-à-dire en divisant la dernière fraction par(x−2)3 :
F(x) = 1
(x−2)3 − 1
(x−2)2 + 3
(x−2)+R(x)
maisR(x)n'est rien d'autre que les deux termes manquants à la décomposition, ainsi : F(x) = 1
(x−2)3 − 1
(x−2)2 + 3
x−2+ −4 x−1+ 1
x+ 1. b.
G(x) = 4x2 (x−1)(x2+ 1)
Aide : pourG(x)on eectuera déjà la décomposition complexe pour se ramener à la décomposition réelle.
On adeg(G(x)) = 2−3 =−1 doncG(x)n'admet pas de partie entière. Son seul pôle réel est 1et il est simple. Par contreG(x)admet aussi deux pôles simples complexes car on peut écrire
G(x) = 4x2
(x−1)(x−i)(x+i). Pour la décomposition complexe on s'attend alors à la forme
G(x) = λ1
x−1 + λ2
x−i+ λ3
x+i.
On trouve facilement que
λ1= (x−1)G(x)|x=1= 4x2 x2+ 1|x=1
=4 2 = 2, λ2= (x−i)G(x)|x=i= 4x2
(x−1)(x+i)|x=i= −4
(i−1)(2i)= −4
−2i−2 = 2 1 +i, λ2= 2
1−i. Ainsi :
G(x) = 2 x−1 +
2 1+i
x−i+
2 1−i
x+i.
Pour revenir à la décomposition réelle on simplie les deux fractions complexes en mettant au même dénominateur :
2 1+i
x−i+
2 1−i
x+i =
2
1+i(x+i) +1−i2 (x−i) x2+ 1
= 2
1+i +1−i2 x+
2
1+i−1−i2 i x2+ 1
= 2x+ 2 x2+ 1 Cela donne surR,
G(x) = 2
x−1+2x+ 2 x2+ 1. Exercice 2. 4 points.
a. Sachant quetan0(x) = 1 + tan2(x), démontrer quetan0(x) = cos12(x). Sachant quetan(x) = sin(x)cos(x), on met au même dénominateur pour obtenir :
tan0(x) = 1 + tan2(x) = 1 + sin2(x)
cos2(x) =cos2(x) + sin2(x) cos2(x) = 1
cos2(x). b. CalculerRπ
3π/4 sin(x) cos(x)dx.
On remarque que la fraction est de la forme uu0 (à un signe près) avecu= cos(x). On a donc aaire à duln. Plus rigoureusement :
Z π
3π/4
sin(x)
cos(x)dx = − Z π
3π/4
−sin(x) cos(x) dx
= −[ln|cos(x)|]π3π/4
= −ln|cos(π)|+ ln|cos(3π/4)|
= ln|
√2 2 |
Remarquons que la valeur absolue dans la formule de la primitive de uu0 est très importante ici.
c. Utilisera.etb.pour en déduire la valeur de Z π
3π/4
x cos2(x)dx Aide : on eectuera d'abord une I.P.P.
Il s'agit d'une intégrale d'un produit de fonctions : la fonctionxd'une part par la fonction cos12(x)
d'autre part. D'après la question a.on sait intégrer cos12(x) dont la primitive est tan(x). On pose donc
u0= 1
cos2(x) v=x
u= tan(x) v0= 1
2
La formule d'IPP donne alors Z π
3π/4
x
cos2(x)dx = [tan(x)x]π3π/4− Z π
3π/4
tan(x)dx
= [tan(x)x]π3π/4− Z π
3π/4
sin(x) cos(x)dx
= [tan(x)x]π3π/4−ln|
√2 2 | où le dernier calcul est déjà fait dans la questionb.
Exercice 3. 5 points.
a. Soit t=x1/6. Calculert2, t3, t4.
Les règles sur les fonctions puissance disent que(xα)β =xαβ. Ainsi t2=x1/3, t3=x1/2, t4=x2/3. b. Décomposer en éléments simples la fraction t+1t3 .
La fractionF(t) = t+1t3 est de degré2 donc elle admet une partie entière. On eectue une division euclidienne pour la trouver et cela donne :
F(t) =t2−t+ 1− 1 t+ 1.
Remarquons que cela donne directement la décomposition en éléments simples.
c. En eectuant le changement de variables donné entre parenthèses, calculer l'intégrale suivante : Z 0
−1
1
(1 +x)1/2+ (1 +x)1/3dx (t= (1 +x)1/6)
On adt= 16(1 +x)−5/6dxou encoredx= 6(1 +x)5/6dt= 6t5dt. Pour les bornes : six=−1alors t= 0et six= 0alorst= 1. Finalement :
Z 0
−1
1
(1 +x)1/2+ (1 +x)1/3dx = Z 1
0
1
t3+t26t5dt
= 6 Z 1
0
t3 t+ 1dt
= 6 Z 1
0
t2−t+ 1− 1 t+ 1dt
= 6 Z 1
0
t2−t+ 1dt− Z 1
0
1 t+ 1dt
= 6 1
3t3−1 2t2+t
1
0
−[ln|t+ 1|]10
!
= 6 1
3 −1
2+ 1−ln(2)
Pour calculer l'intégrale on a utilité la décomposition en éléments simples précédente.
Exercice 4. 5 points. Calculer les intégrales suivantes en décomposant si nécessaire la fraction en éléments simples.
a.
Z π/3
π/4
sin(x) (cos(x))2dx Il s'agit d'une forme uun0 avecn= 2. Ainsi
Z π/3
π/4
sin(x)
(cos(x))2dx = − Z π/3
π/4
−sin(x) (cos(x))2dx
= −
−1 cos(x)
π/3
π/4
= 1
1/2 − 1
√ 2/2 3
b. Z 1 0
3x (x2+ 1)3dx Il s'agit d'une forme uun0 avecn= 3(à une constante près). Ainsi
Z 1
0
3x
(x2+ 1)3dx = 3 2
Z 1
0
2x (x2+ 1)3dx
= 3 2
−1 2(x2+ 1)2
1
0
= 3 2
−1 8 +1
2
c.
Z 1/2
0
x4−2x+ 1 x2+x−2 dx
Il s'agit d'une fraction rationnelle de degré2. On eectue donc une division euclidienne : x4−2x+ 1
x2+x−2 =x2−x+ 3 + 7−7x x2+x−2. Cette dernière fraction x27−7x+x−2 se simplie (elle est réductible !) car :
7−7x
x2+x−2 = 7(1−x)
(1−x)(−2−x) = −7 2 +x. Finalement
Z 1/2
0
x4−2x+ 1 x2+x−2 dx =
Z 1/2
0
x2−x+ 3dx− Z 1/2
0
7 2 +xdx
= 1
3x3−1
2x2+ 3x 1/2
0
−7 [ln|2 +x|]1/20
= 1
3 1 23
1 2
1 22 + 31
2 −7 (ln(2 + 1/2)−ln(2))
d. Z 2
1
x2+ 1 x4 dx
Il s'agit de décomposer en éléments simples la fraction en divisant successivement par x. On re- marque que l'on peut aller plus vite en séparer la fraction de la sorte :
x2+ 1 x4 = x2
x4 + 1 x4 = 1
x2 + 1 x4 et donc
Z 2
1
x2+ 1 x4 dx =
Z 2
1
1 x2dx+
Z 2
1
1 x4dx
= −1
x 2
1
+ −1
3x3 2
1
= −1
2 + 1− 1 3×23 +1
3
4
