La méthode utilisée est décrite dans la Section 5.1 du polycopié https://www.math.univ-toulouse.fr/~cbesse/site/enseignement/fichiers/ef_m1meca.pdf

TP Décomposition de domaines 14 novembre 2018 Cinquièmes rencontres numériques lilloises

Exercice 0 : télécharger les données sur la page dédíée au cours.

http://www.math.univ-toulouse.fr/~cbesse/site/enseignement/

Exercice 1 : Méthode de Schwarz alternée en 2D.

On souhaite résoudre le problème suivant







−∆u^k₁ =f, x∈Ω₁,

∂_nu^k₁ +pu^k₁ =∂_nu^k−1₂ +pu^k−1₂ , x∈Γ,

u^k₁ = 0, x∈∂Ω₁\Γ,







−∆u^k₂ =f, x∈Ω₂,

∂_nu^k₂ −pu^k₂ =∂_nu^k−1₁ −pu^k−1₁ , x∈Γ,

u^k₂ = 0, x∈∂Ω₂\Γ.

(1) On note Ω = Ω₁∪Ω₂ et Γ l’interface commune à Ω₁ et Ω₂. La normale n est la normale unitaire sortante à Ω₁ sur Γ.

L’objet de cet exercice est de résoudre (1) par une méthode d’éléments finisP1. À titre d’exemple, le problème de Poisson sur un domaine complet Ω est donné par la fonction poisson.m fournie dans les données téléchargées. La méthode utilisée est décrite dans la Section 5.1 du polycopié https://www.math.univ-toulouse.fr/~cbesse/site/enseignement/fichiers/ef_m1meca.pdf.

1. Générer le maillage d’un carré ou d’un cercle avec gmsh. On pourra utiliser les géométries fournies dans les données téléchargées.

2. Mettre en œuvre l’algorithme.

3. Tester plusieurs valeurs dep.

Exercice 2 : Méthode SWR avec conditions de transmission de Dirichlet.

L’objet de cet exercice est de résoudre l’équation d’advection-diffusion

∂_tu+Lu:=∂_tu+a∂_xu−ν∂_x²u=f, x∈(a₀, b₀), (2) avec a >0,ν > 0 et a₀, b₀ ∈R.

Mettre en œuvre la méthode SWR suivante











∂_tu^k₁ +Lu^k₁ =f, x∈(a₁, b₁), t ∈(0, T), u^k₁ =g_l, x=a₁, t∈(0, T), u^k₁ =u^k−1₂ , x=b1, t∈(0, T), u^k₁ =u_I, x∈(a₁, b₁), t = 0,











∂_tu^k₂+Lu^k₂ =f, x ∈(a₂, b₂), t∈(0, T), u^k₂ =u^k−1₁ , x=a₂, t∈(0, T),

∂xu^k₂ =gr, x=b2, t∈(0, T), u^k₂ =u_I, x∈(a₂, b₂), t= 0,

(3)

1

avec un schéma de Crank-Nicolson en temps et une méthode de différences finies en espace. Ici, a₁ = a₀ et b₂ = b₀ de sorte que Ω = (a₀, b₀) = (a₁, b₁)∪(a₂, b₂). On supposera qu’un overlap est présent, c’est à dire que b₁ =a₂+` afin que la méthode converge.

On pourra consulter la fonction advection_diffusion.m afin d’avoir une base de départ.

Extension 1 Dresser l’historique de convergence (erreur en fonction du nombre d’itérations) en fonction de T.

Extension 2 Reproduire cet exercice avec plus de sous-domaines, et dresser l’historique de convergence en fonction de T.

Extension 3 Mettre en place une méthode SWR à fenêtre (on pourra tester des fenêtres de 10 à 20 pas de temps par exemple), et dresser l’historique de convergence en fonction de T.

Exercice 3 : Méthode SWR avec conditions de transmission optimisée d’ordre 0.

On souhaite toujours résoudre l’équation (2). Cette fois, on utilise les conditions de transmission d’ordre 0 vues en cours.











∂_tu^k₁+Lu^k₁ =f, x∈(a₁, b₁), t∈(0, T), u^k₁ =g_l, x=a₁, t∈(0, T),

∂xu^k₁ −λ1u^k₁ =∂xu^k−1₂ −λ1u^k−1₂ , x=b1, t∈(0, T), u^k₁ =u_I, x∈(a₁, b₁), t= 0,











∂_tu^k₂+Lu^k₂ =f, x∈(a₂, b₂), t∈(0, T),

∂_xu^k₂ −λ₂u^k₂ =∂_xu^k−1₁ −λ₂u^k−1₁ , x=a₂, t ∈(0, T),

∂_xu^k₂ =g_r, x=b₂, t∈(0, T), u^k₂ =uI, x∈(a₂, b₂), t= 0,

(4) avec

λ₁ = a−p

2ν , λ₂ = a+p 2ν . Ici, p > 0 et on supposera encore pour simplifier que l’overlap` >0.

1. Mettre en œuvre la méthode avec le même type d’approximation qu’à l’exercice précédent.

2. Tracer la courbe permettant l’optimisation dep.

3. Faire l’étude numérique de la convergence en fonction dep.

Extension 1 Mettre en œuvre la méthode SWR avec conditions de transmission optimisée d’ordre 1.

Extension 2 Reproduire cet exercice avec plus de sous-domaines, et dresser l’historique de convergence en fonction de T.

Extension 3 Mettre en place une méthode de DDM à fenêtre (on pourra tester des fenêtres de 10 à 20 pas de temps par exemple), et dresser l’historique de convergence en fonction de T.

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