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Probabilités
et échantillonnage
Les savoir-faire du chapitre
◮ 110. Dénombrer à l’aide d’un arbre ou d’un tableau.
◮ 111. Etablir et utiliser une loi de probabilité.
◮ 112. Calculer des probabilités dans des cas simples.
◮ 113. Exploiter la formuleP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
◮ 114. Utiliser un programme pour simuler.
Un peu d’activités mentales
1 Vrai ou Faux :
1)Soient A et B deux événements d’une même expé-
rience tels quep(A) = 0, 23 etp(B) = 0, 77. Alors AetBsont des événements contraires.
2)Dans une expérience aléatoire à deux issues, si l’une a pour probabilité 3,5 %, alors l’autre a pour proba- bilité 0,65.
3)Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. Le pro- fesseur interroge un élève au hasard. La probabilité que ce soit un garçon est 0,4.
4)On note p la probabilité de choisir une boule
blanche dans une urne. Si on double le nombre de boules blanches, alors la probabilité est 2p.
2 Compléter :
1)0, 25= ....
100 4)0, 3017= ....
100 2)0, 036= ....
100 5)...= 0, 4
100 3)0, 02= ....
100 6)0, 005= ....
100
3 Compléter :
1)0, 4×0, 3=...
2)0, 8×0, 2=...
3)0, 04×0, 5=...
4)0, 7×0, 4=...
4 Ecrire sous forme décimale, puis sous forme de
pourcentage : 1)1
4 =...=...% 4)2
3 ≃...≃...%
2)3
4 =...=...% 5)1
5 =...=...%
3) 9
10 =...=...% 6)3
5 =...=...%
5 Compléter :
1)1−0, 25=.... 5)1−0, 96=....
2)1−0, 02=.... 6)1−0, 28=....
3)1−0, 59=.... 7)1−0, 003=....
4)1−0, 025=.... 8)1−0, 88=....
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Savoir-faire - Méthodes
110 Dénombrer à l’aide d’un arbre ou d’un tableau.
1)L’expérience aléatoire consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés (un rouge et un vert). On s’intéresse au couple formé par les numéros sur les faces supérieures des deux dés.
Dans un tableau à double entrée, recenser toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire.
Combien a-t-elle d’issues ? Quel est l’univers de cette expérience aléatoire ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2)On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On note chaque résultat obtenu.
Représenter cette expérience aléatoire par un arbre.
Décrire l’universΩlié à cette expérience aléatoire. Décrire l’évènement A :« Obtenir exactement une fois pile ».
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3)On dispose d’une urne qui contient :
• 8 boules numérotées 7 dont 3 sont vertes, 4 sont noires et une est jaune.
• 12 boules numérotées 3 dont 6 sont vertes, 2 sont noires et les autres sont jaunes.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule dans l’urne et on s’intéresse à sa couleur et son numéro.
Dresser un tableau à a double entrée pour regrouper les données de l’énoncé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)Dans une entreprise de 360 employés, on a observé que 35 % des employés sont des cadres et 45 % sont des femmes. Parmi elles, seules 48 sont des cadres. On choisit au hasard une personne de cette entreprise et on note Fl’événement "la personne choisie est une femme" etCl’événement "la personne choisie est un cadre".
Réaliser un diagramme de Venn permettant de regrouper les données de l’énoncé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Etablir et utiliser une loi de probabilité.
1)Soit un dé truqué dont les probabilités d’apparitions des faces sont données par le tableau suivant :
Issueω 1 2 3 4 5 6
Probabilitép(ω) 0,05 0,05 0,1 0,1 0,2 inconnue
a)Calculer la probabilité de l’évènementA=« obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 ». . . . b)Calculer la probabilité d’obtenir 6 : . . . . c) Calculer la probabilité de l’évènementC=« obtenir un diviseur de 12 ». . . .
2)On fait tourner la roue ci-contre et on relève le numéro indiqué par la flèche. On poseΩ={1 ; 2 ; 3 ; 4}.
Les issues sont-elles équiprobables ? . . . . Compléter le tableau ci-dessous :
Issuexi Probabilitép(xi)
Calculer la probabilité de l’événement A : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 2 ». . . .
112 Calculer des probabilités dans des cas simples.
1)On considère un jeu de 32 cartes. On pioche au hasard une carte du jeu. Déterminer la probabilité des évènements suivants :
• A :« la carte tirée est un 10 » ; . . . .
• B :« la carte tirée est rouge » ; . . . .
• C : « la carte tirée est une figure » . . . .
2)Un sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d’être tirée. Ces 20 boules sont numérotées de 1 à 20. On tire une boule au hasard dans le sac.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
a)Quelle est la probabilité de tirer la boule numérotée 13 ? . . . . b)Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair ? . . . . c) A-t-on plus de chances d’obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 que d’obtenir une boule portant un numéro diviseur de 4 ? . . . . d)Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier ? . . . . 113 Exploiter la formuleP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
Compléter le tableau suivant :
p(A) p(B) p(A) p(B) p(A∪B) p(A∩B)
0,2 0,3 0,1
0,5 0,3 0,9
0,3 0,8 0,2
114 Utiliser un programme pour simuler.
1)Voici un programme d’une fonction :
a)A quoi sert l’instructionrandint(1,6) ?
b)Expliquer le rôle de cette fonction décrite dans cet algorithme ?
. . . . . . . . . . . . 2)On sait que 42 % des Français ont pour groupe sanguin O.
a)Compléter le programme de la fonctiongroupeafin que celle-ci simule le choix au hasard d’un français et qu’elle retourne s’il est ou non du groupe O :
b)Compléter le programme de la fonctionfreq afin que celle-ci simule le choix au hasard d’un échantillon den
français et qu’elle retourne la fréquence des personnes de groupe O dans cet échantillon :
1 Sur une droite graduée, une puce se déplace de manière aléatoire : à chaque saut, elle avance ou recule d’une unité avec la même probabilité 1
2. Elle part de la position initialex=0 et effectue trois sauts.
On cherche à conjecturer les positions finales de la puce et la probabilité de chacune de ses positions.
0 1 2 3 4
0 -1 -2 -3 -4 -5
x←−0
POURiallant de 1 à 3 : n←− −1 ou 1 au hasard x←−x+n
Fin POUR
Afficher « Après trois sauts, l’abscisse de la puce est : » x
1)Parmi les nombres suivants, quels sont ceux que l’on peut obtenir avec cet algorithme : 3 ; −1 ; 4
2)On fait tourner cet algorithme 50 fois ; on obtient les résultats suivants :
−1 1 −1 −1 −3 −1 3 1 1 −3
1 1 −1 −1 −1 3 −1 3 1 −1
1 −3 −1 1 −1 −3 −3 1 −1 −3
−1 1 1 −1 1 1 −3 3 −1 1
−3 1 1 3 −1 1 1 −1 1 3
Quelle conjecture peut-on faire concernant la position de la puce après 3 sauts ?
3)Compléter le tableau suivant :
Position −3 −1 1 3
Fréquence
4)A l’aide d’un arbre, déterminer les probabilités de chacune des positions.
