BAC BLANC MATHEMATIQUES
28 – 02 – 2019 Term ES (non spécialiste math) Term L (spécialiste math)
CALCULATRICE AUTORISEE
EXERCICE 1 : (4 pts)
Un magasin vend des salons de jardin et des lots de chaises.
Pour chaque personne entrant dans le magasin la vente est limitée à une table et un lot de chaises.
Une enquête a montré que :
10 % des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table.
Parmi les personnes qui achètent une table, 80 % achètent aussi un lot de chaises.
Parmi les personnes qui n'achètent pas de table, 10 % achètent un lot de chaises.
Une personne entre dans le magasin.
On note T l'événement « La personne achète une table » et C l'événement « La personne achète un lot de chaises ».
On arrondira si besoin les résultats à 10−3 près.
1) Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
2) a) Déterminer la probabilité que la personne achète une table et un lot de chaises.
b) Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de chaises est de 0,17.
c) Si elle achète un lot de chaises, quelle est la probabilité qu'elle n'achète pas de table ?
3) Le commerçant fait un bénéfice de 50 € sur chaque table et un bénéfice de 40 € sur chaque lot de chaises.
a) Citer les quatre bénéfices par client possibles puis recopier et compléter (sans justifier) le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client.
Bénéfice par client en €
Probabilité d'atteindre ce bénéfice
b) Pour cent clients entrant dans le magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer ?
EXERCICE 2: (6 pts)
Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x centaines d'objets (pour x compris entre 0 et 6) est donné par :
f(x)=(200 x−300)e−x−1+10
Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de f sur [0;6].
Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »
L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal. Il décide donc d'étudier la fonction f sur [0;6].
On admet que f est dérivable sur [0;6].
1) Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0;6], f '(x)=(500−200 x)e−x−1. 2) Dresser le tableau de variation de f sur [0;6].
3) En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal . Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro.)
4) Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction f sur [0;6].
Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »
1) Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ? 2) Démontrer que sur [0;6] l'équation f(x) = 0 admet une unique solution notée .
3) Déterminer un intervalle d'amplitude 10−2 contenant .
4) Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.
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EXERCICE 3 : (5 pts)
À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.
1) Calculer en m² la surface engazonnée à l'automne 2011.
2) Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface en m² de terrain engazonné au bout de n années, c’est-à-dire à l’automne 2010 + n. On a donc u0 = 1500.
a) Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,8 un+50 . b) Calculer u2 et u3.
c) On admet que la suite (un) est décroissante. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine le premier entier naturel n pour lequel un < 500.
u ← 1500 n ← 0
Tant que …...
u ← …...
n ← …...
Fin Tant que Afficher n
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn=un−250 .
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un=250+1250×0,8n. 4) Démontrer que la suite (un) est décroissante.
5) Claude est certain que la mousse ne peut pas envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
EXERCICE 4 : (5 pts )
Les questions sont indépendantes.
1) A une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité de gagner lors d'une partie est égale à 0,12.
Une personne joue 8 fois de suite à cette loterie.
Quelle est la probabilité qu'elle gagne exactement 3 fois ? (arrondir le résultat à 10−3prés)
2) Soit f une fonction dérivable sur [ 1 ; 15 ]. On donne le tableau de variation de sa dérivée.
x 1 3 4 12 15
f '(x) 3
0
–2
–1
–3
Déterminer les variations de f.
3) Soit la fonction f définie pour x > 0 par f(x)=7 ln(x)+2
x .
Calculer la dérivée de f.
4) Résoudre les équations suivantes : a) e−2 x+1−5=0
b) 2x2−3 x+6=16 .
5) Résoudre l'inéquation : 3 ln(x) -7 < 0.
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