() () QUEL MAGASIN ?

QUEL MAGASIN ?

Dans une commune comportant un seul hypermarché A, on annonce l’ouverture d’un hard-discount B au mois de mars 2013.

Au mois de février 2013, on s’intéresse aux familles faisant leurs achats une fois par mois et clientes de l’hypermarché A. Par la suite, ces familles feront leurs achats une fois par mois, soit à l’hypermarché A, soit au hard-discount B.

Les mois sont comptés à partir du mois de février 2013, que l’on appellera mois 0 (le mois de mars 2013 est donc le mois 1, etc.). Pour tout entier naturel n, on désigne par :

• a

la probabilité qu’une famille ait choisi l’hypermarché A pour faire ses achats le mois n

• b

la probabilité qu’une famille ait choisi le hard-discount B pour faire ses achats le mois n

• P

la matrice ( ^a

^b

) traduisant l’état probabiliste le mois n. C est la répartition de probabilité à l étape n.

On estime que :

• lorsqu une famille fait ses achats dans le magasin A un mois donné, la probabilité qu elle les fasse au magasin B le mois suivant est 0,3.

• lorsqu une famille fait ses achats dans le magasin B un mois donné, la probabilité qu elle les fasse au magasin B le mois suivant est 0,75.

1. Déterminer P

.

2. A l aide d un arbre, déterminer P

et P

.

3. On représente la situation de passage d un mois au suivant par un graphe probabiliste.

4. A l aide d un arbre de probabilité, déterminer la matrice M telle que P

PnM . M s appelle la matrice de transition du graphe.

Les coefficients de M sont compris entre 0 et 1.

Pour chaque ligne, la somme des coefficients vaut 1.

5. Démontrer par récurrence sur n, que pour tout n de : P

P

M

. 6. Montrer que pour tout entier n, a

0,45 a

0,25.

7.

a. Déterminer le réel c tel que c = 0,45c + 0,25.

b. Pour tout n de , on pose u

= a

c. Montrer que la suite ( ) ^u

est géométrique et exprimer u

en fonction de n.

c. Exprimer a

en fonction de n puis b

en fonction de n.

8. Quelle sera la répartition des clients entre les deux magasins à long terme ?