L ’ ESPACE
1
D S
E F
A B
H C
L ES SOLIDES DE L ’ ESPACE
PYRAMIDE
Une pyramide est un polyèdre dont les faces latérales sont des
triangles ayant un sommet en commun : le sommet de la pyramide.
La base de la pyramide est un polygone quelconque.
Exemples :
La pyramide SABCDEF : sa base est le polygone ABCDEF, son sommet est le point S, sa hauteur est SH (la distance de S au «sol » ), H est le projeté orthogonal de S sur le plan contenant le polygone de base.
RETENIR : \f(aire de la base la hauteur;3
L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires des faces latérales.
LESPOLYÈDRES
Un polyèdre est un solide limité uniquement par des portions de plans, appelées « faces ». Les segments délimitant les faces sont appelés les arêtes. Les faces d’un polyèdre sont des polygones.
PYRAMIDERÉGULIÈRE :
Une pyramide régulière est une pyramide qui a pour base un polygone régulier (c’est à dire avec ses côtés de même longueur et des angles au centre égaux, ex : triangle équilatéral, carré), de plus, le pied de la hauteur est au centre du polygone de base.
Les faces latérales d’une pyramide régulière sont donc des triangles isocèles.
Vocabulaire : dans les faces latérales, la hauteur d’un triangle s’appelle l’apothème, exemple SK.
LESPRISMES
Un prisme est un polyèdre dont deux faces sont des polygones identiques et situés dans des plans parallèles.
Ces deux polygones s’appellent les bases du prisme.
Les autres faces, les faces latérales, sont toujours des parallélogrammes.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux polygones de base.
PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE
Un parallélépipède rectangle a toutes ses faces rectangles.
Si a,b,c sont les dimensions exprimées dans une même unité,
retenir : LE VOLUME = a b c
CUBE
Un cube a toutes ses faces carrées.
retenir : LE VOLUME = a3 PRISMEDROIT
Un prisme droit est un prisme dont les arêtes des faces latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales d’un prisme droit sont donc des rectangles.
RETENIR :
L’AIRELATÉRALED’UNPRISME = PÉRIMÈTREDELABASE LAHAUTEUR
L ES SOLIDES DE RÉVOLUTION
S
K H
SECTIONS D'UN PAVE DROIT PAR UN PLAN
3
h
r CYLINDREDERÉVOLUTION
Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un axe portant un côté du rectangle. La base du cylindre est un disque.
RETENIR : LEVOLUME = AIREDELABASE LAHAUTEUR
V = r2h r : rayon du disque de base
CÔNEDERÉVOLUTION
Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un axe portant un côté de l’angle droit du triangle.
RETENIR : \f(aire de la base hauteur;3
V = \f( r2h;3 r : rayon du disque de base
Vocabulaire : on appelle génératrice, l’hypoténuse du triangle rectangle qui engendre le cône, SK est une génératrice dans le cône ci – contre.
SPHÈRE
Une sphère est un solide engendré par la rotation d’un demi – cercle autour d’un axe portant le diamètre du demi – cercle.
Autre définition :
La sphère de centre A et de rayon r est l’ensemble de tous les points de l’espace situés à la distance r du point A.
\f(4;3 L’aire d’une sphère : 4 r2 Ne pas confondre sphère et boule.
L
'aire d
'une sphère
:4π r
2¿
volume d
'une boule
:4 3π r
3La section d'un pavé droit par un plan (P) parallèle à une face est
………...
………..
Le plan P est parallèle à la face ABCD. Le plan P est parallèle à l’arête [BC].
IJKL est ………. IJKL est ………..
SECTIONS D'UN CYLINDRE PAR UN PLAN
P
R
R P
A GRANDISSEMENT / R ÉDUCTION
1) DÉFINITION ET VOCABULAIRE :
La section d'un cylindre de rayon R par un plan (P) perpendiculaire à l'axe est un ………. dont le centre appartient à l'axe.
La section d'un cylindre par un plan (P) parallèle à l'axe est un ………
……….
P I
J
K L
A
B
C D
P I
J
K L
B
C P
I
J
K
⇒ On appelle agrandissement ou réduction d’une figure, la figure obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure initiale par un nombre strictement positif
k
.Le nombre k est appelé rapport d’agrandissement ou de réduction.
Si
k
>1 , il s’agit d’un agrandissement.Si 0<
k<
1 , il s’agit d’une réduction.⇒ REMARQUES :
Le rapport d’agrandissement ou de réduction s’appelle aussi coefficient d’agrandissement ou de réduction.
Lorsque l’on multiplie toutes les longueurs d’une figure par 1, c’est-à-dire lorsque k=1 , la figure obtenue est de la même grandeur que la figure initiale.
Pour agrandir ou réduire une figure, on multiplie par
k
toutes ses longueurs : celles des ses côtés, mais aussi celles de ses diagonales, son périmètre, …Le deuxième triangle est un agrandissement du premier. Les longueurs ont été multipliées par 1,5.
Le coefficient d’agrandissement est égal à 1,5.
Le deuxième triangle est une réduction du premier. Les longueurs ont été divisées par 2, mais on préfère dire
qu’elles sont multipliées par 1 2 .
5
Le coefficient de réduction est égal à 1
2 ou 0,5.
⇒ Pour calculer le coefficient k :
coefficient d
'agrandissement
=longueur agrandie
longueur initiale coefficient de réduction= longueur réduite
longueur initiale
• dans le premier exemple :
k
=4,53 =6 4=7,5
1,5=1,5
• dans le deuxième exemple :
k
=24=3 6=4
8=1 2
2) PROPRIÉTÉ (ADMISE) :
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont conservées.
REMARQUE :
• Les angles des deux premiers triangles dans l’exemple du paragraphe 1 sont égaux. Même chose pour les deux triangles suivants.
• Dans un agrandissement ou une réduction de rapport
k
, la figure obtenue est une figure à l’échellek
de la figure de départ.• Ainsi, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs correspondantes de la figure de départ. Le coefficient de proportionnalité est égal à k .
3) EFFETSURLESAIRES
⇒ Quand on agrandit une figure, l’aire augmente, mais pas de la même façon que les longueurs.
Dans l'exemple ci-dessous, il est évident que le deuxième rectangle est un agrandissement du premier de coefficient 3.
L’aire du premier rectangle est de 2 cm² et l’aire du deuxième est de 18 cm².
L’aire du rectangle agrandi a été multipliée par 9 !!!
⇒ En effet, chacune des deux dimensions du petit rectangle est multipliée par 3. Son aire, qui est le produit des deux dimensions, est donc multipliée par 3×3 c’est-à-dire 9.
PROPRIÉTÉ
4) EFFETSURLESVOLUMES
⇒ Quand on agrandit une figure, le volume augmente également, mais pas de la même façon que les longueurs. Dans l'exemple ci-dessous, il est évident que le deuxième cube est un agrandissement du premier de coefficient 3.
Le volume du premier cube est de 1
c m
3 et le volume du deuxième est de 27c m
3 . Le volume du cube agrandi a été multiplié par 27 !!!⇒ En effet, chacune des trois dimensions du petit cube est multipliée par 3. Son volume, qui est le produit des trois dimensions, est donc multipliée par 3
×
3×3
c’est-à-dire 27.PROPRIÉTÉ
5) RÉSUMÉ
Soit un agrandissement (ou une réduction) de coefficient k :
Les longueurs sont multipliées par
k
→ L’ =k
× LLes aires sont multipliées par
k
2 → A’ =k
2 A Les volumes sont multipliés par k3 → V’ = k3 V7
6) APPLICATIONS
a) La maquette d’une maison a une hauteur de 30 cm, une surface au sol d’aire 1,2 m² et un
volume de 0,3
m3. La maison réelle est un agrandissement de la maquette.
Le coefficient d’agrandissement est 10.
Calculer la hauteur réelle H, l’aire A de la surface réelle au sol et le volume réel V.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
b)
Un objet a une hauteur de 2 m et un volume V égal à 120 dm
3.
Un autre objet est une réduction du premier. Sa hauteur est égale à 1,60 m.
Déterminer le coefficient de réduction, ainsi que le volume V’ de cet autre objet.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
c)
Un rectangle a une aire A de 12 cm² et les diagonales de longueur 5 cm.
On réalise un agrandissement de ce rectangle de façon que les diagonales aient une longueur égale à 8 cm.
Calculer le coefficient d’agrandissement, ainsi que l’aire A’ du grand rectangle.
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
SECTION D'UNE PYRAMIDE ET D'UN CONE
1) LA PYRAMIDE
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une ……… du polygone de base.
2) LE CONE
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est ……… qui est une réduction du disque de base.
9 S
La pyramide SIJKL est une ………. de la pyramide SABCD.
De même, la grande pyramide est un
……… de la petite pyramide.
Le coefficient de réduction est
k
=¿ ………….………..
S
A ' A O '
O
T
P
S
A
OA' B'
B
THÉORÈMEÀUTILISERLORSQU’ONVEUTCALCULERUNVOLUMED’UNERÉDUCTION…
Si on coupe une pyramide, ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une réduction de la pyramide ou du cône, et la section obtenue est une réduction de la base.
EXEMPLE :
On a représenté un cône et une section parallèle à la base.
SO = 72 cm et SO’ = 36 cm. Le rayon [O’A’] de la section mesure 24 cm.
1. Calcule le rayon OA de la base du cône.
2. Calcule le volume V1 du grand cône, puis le volume V2 du petit cône.
………
………
………
………
………
………
………
Le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [A’B’]
est une ……….. du cône de sommet S et de base le disque de diamètre [AB].
De même, le grand cône est un ……… du petit cône.
Le coefficient de réduction est
k
=¿ ………………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
11
