Physique avancée I 11 novembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 13 - Force de gravitation
1. Satellite
Un satellite tourne autour de la terre sur une orbite circulaire `a une distance R du centre de la terre.
a) Quelles sont les forces et les acc´el´erations ? b) Calculer la norme de la vitesse en fonction de R.
c) V´erifier dans ce cas particulier la 3e loi de Kepler.
d) Ariane a lanc´e un satellite en orbite circulaire `a une distanceh= 200 km au-dessus du sol.
Quelles sont la vitesse et la p´eriode de r´evolution du satellite ?
Application num´erique :
• Constante de la gravitation : G= 6.67·10−11kg−1m3s−2,
• Masse de la terre : MT = 6·1024kg ,
• Rayon de la terre : RT = 6380 km. 2. Cavit´e sous terre
Par gravim´etrie, on peut d´eceler l’existence de cavit´es souterraines.
a) A la surface de la terre, calculer le champ de gravitation g0 de la terre sans cavit´e et le champ de gravitation g1 au-dessus d’une cavit´e sph´erique de rayonRC dont le centre est `a la profondeur d≥RC.
b) Supposons qu’on puisse mesurer le champ de gravitation avec une pr´ecision (g0− g1)/g0 = 10−6 et qu’on veuille d´etecter une cavit´e juste au-dessous du sol (RC = d). Quelle est la plus petite cavit´e qu’on puisse d´etecter ? (Rayon de la Terre RT = 6380 km)
Indication :on peut consid´erer que le champ gravitationnel `a la surface d’une sph`ere massive est identique `a celui que produirait toute la masse de la sph`ere concentr´ee en son centre.
3. La Terre sans dessus dessous
a) Calculer le champ de gravitation g(r) en fonction de la distance au centre de la Terrer, en supposant pour chaque couche int´erieure que sa masse est concentr´ee au centre de la Terre. On notera R le rayon de la Terre et ρ sa masse volumique, et on admettra de plus que seules les couches int´erieures contribuent au champ de gravitation.
b) Imaginons que l’on soit capable de forer un tunnel cylin- drique selon un diam`etre de la Terre, la perforant de part en part `a travers son centre. Un objet consid´er´e comme un point mat´eriel de masse m est lˆach´e dans ce trou depuis la surface de la Terre. D´eterminer son ´equation horaire en utilisant l’expression obtenue au point pr´ec´edent. On n´egligera les frottements.
Couche extérieure
Couche intérieure
R r
S´erie 13 - Force de gravitation 1/1
