Correction Troisième
Fonctions
Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points
Exercice 1. 9 points
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
0
−1 1 2 3 4 5 6
bA
bB
bC
bD
1. Placer dans le repère ci-dessus les pointsA(−1 ; 5),B(2 ; −1)etI(0,5 ; 2.1). Tracer la droite(AB).
2. Cette droite(AB)représente graphiquement une fonction affinef. Déterminer l’expression def.
• fest affine donc de la forme
f : x7−→mx+p
D’après la proportionnalité des accroissements on a : (A(−1 ; 5)
B(2 ; −1) =⇒m= 5−(−1)
−1−2 =−2
Doncf(x) =−2x+p.
• Pour déterminerpon utilise un des deux points,B(2 ; −1)par exemple.
f(2) =−1 ⇐⇒ −2×2 +p=−1 ⇐⇒ p= 3
• Conclusion :
f : x7−→ −2x+ 3 Corrigé
3. On considère la fonctiongdéfinie par :g(x) = x 3 + 2.
3. a. Montrer quegest affine.
gest de la formex7−→mx+pavecm= 1
3 etp= 2donc elle est affine.
Corrigé
3. b. Calculer l’image de 0 parget l’image de 3 parg.
L’image de 0 pargest :
g(0) = 0
3 + 2 = 2 L’image de 3 pargest :
g(3) = 3
3 + 2 = 1 + 2 = 3 Corrigé
3. c. Déterminer un antécédent de 0 parg.
Les antécédents de 0 pargsont les (éventuelles) solutions de l’équationg(x) = 0.
Or on a :
g(x) = 0 ⇐⇒ x
3 + 2 = 0 ⇐⇒ x+ 6 = 0 ⇐⇒ x=−6 Corrigé
3. d. Construire sur le même graphique la courbe représentativeCg de la fonctiong.
4. Bouletos affirme que d’après son graphique, le point d’intersection des deux droitesCf etCgestI. Qu’en pensez-vous ?
On a :
g(0,5) = 0,5
3 + 2 = 1
6+ 2 = 13 6 6= 2,1 Donc le point I n’appartient pas àCg, l’affirmation est fausse.
Corrigé
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 300
320 340 360 380 400 420 440 460
Concentration de CO2atmosphérique
(Source : Centre Mondial de Données relatives aux Gaz à Effet de Serre sous l’égide de l’OMM)
450 ppm niveau moyen à ne pas dépasser à l’horizon 2100
parties par million - CO2
1 ppm de CO2 = 1 partie par million de CO2= 1 milligramme de CO2par kilogramme d’air.
1. Déterminer graphiquement la concentration de CO2en ppm en 1995 puis en 2005.
• en 1995 : 360 ppm ;
• en 2005 : 380 ppm.
Corrigé
2. Déterminer graphiquement à partir de quelle année la concentration de CO2 est supérieur à 370 ppm.
C’est à partir de 2002 (environ) que la concentration de CO2est supérieur à 370 ppm.
Corrigé
3. On veut modéliser l’évolution de la concentration de CO2en fonction du temps à l’aide d’une fonctiong oùg(x)est la concentration de CO2en ppm en fonction de l’annéex.
3. a. Expliquer pourquoi une fonction affine semble appropriée pour modéliser la concentration en CO2
en fonction du temps entre 1995 et 2005.
Les points de la courbe sont à peu près alignés : le modèle affine semble donc pertinent.
Corrigé
3. b. Arnold et Billy proposent chacun une expression pour la fonctiong: Arnold propose l’expressiong(x) = 2x−3 630;
Billy propose l’expressiong(x) = 2x−2 000.
Pour l’année 1995, l’expression de Arnold donne2×1 995−3 630 = 360, et celle de Billy2×1995−2 000 = 1 990: ce dernier résultat est complètement erroné.
Il vaut mieux prendre l’expression d’Arnold.
Corrigé
3. c. En utilisant la fonction que vous avez choisie à la question précédente, indiquer l’année pour la- quelle la valeur de450ppm est atteinte.
On utilisant la fonction d’Arnold on a :
g(x) = 2x−3 630 = 450 ⇐⇒ 2x= 4080 ⇐⇒ x= 2040 La valeur de 450 ppm sera atteinte en 2040.
Corrigé
Exercice 3. Le calcul littéral ... c’est ma passion ! 0 points
On considère la fonctionAdéfinie par :A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2. 1. Calculer l’image de(−1)parA.
A(−1) = (5×(−1) + 3)2−(−1 + 1)2
= (−2)2−(0)2 A(−1) = 4
Corrigé
2. DévelopperA(x).
A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2
A(x) = 25x2+ 30x+ 9−(x2+ 2x+ 1) A(x) = 24x2+ 28x+ 8
Corrigé
3. FactoriserA(x).
A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2 A(x) =
5x+ 3−x−1
5x+ 3 +x+ 1 A(x) =
4x+ 2
6x+ 4 Corrigé
On pouvait encore factoriser puisque(4x+ 2) = 2(2x+ 1) et(6x+ 4) = 2(3x+ 2)ce qui nous donnait :
A(x) = 4(2x+ 1)(3x+ 2) Remarque
4. Résoudre l’équation4(2x+ 1)(3x+ 2) = 0.
4(2x+ 1)(3x+ 2) = 0
C’est une équation produit nul donc par théorème, un produit de facteurs est nul, si et seule- ment si l’un au moins des facteurs est nul soit :
2x+ 1 = 0 ⇐⇒ x=−1
2 3x+ 2 = 0 ⇐⇒ x=−2
3
Les solutions sont donc :x=−1
2 et x=−2 3. Corrigé
" Fin du devoir #
