Exercice 1:
soit f : x x1 x²4x
1/a/ étudier les variations de f
b/ construire sa courbe représentative
2/ a/ soit ’ la courbe représentative de g : x x+1- x²4xdémontrer que et ’ sont symétrique par rapport au point I(-2,-1)
b/ comment obtient-on a partir de la courbe
={M(x,y) ;y²-2(x+1)y-2x+1=0}
Exercice 2 :
soit f :xcos x sin x
cos x sin x
1/ déterminer l’ensemble de définition E de f.
2/ établir que pour tout xE, f(x)=f(x+) 3/ étudier les variations de f sur ]-/2,/2[
4/ montrer que A(/4,0) est un centre de symétrie de la courbe de f 5/ calculer f’(0) et f’(/4)
6/ construire (unité 3cm) Exercice 3:
I/ on considère la fonction f : x x+ 4x²1
1/ étudier la continuité et la dérivabilité de f aux points d’abscisses –1/2 et ½ et déterminer la dérivée f’ sur les intervalles ou elle est définie 2/ démontrer les équivalences suivantes :
a/ 4x 4x²1 0 x]-,-1/2]
b/ 4x 1 4x² 0 x 1, 1 2 2 5
c/ en déduire le tableau de variations de f
3/ étudier les branches infinies de f et construire f dans un repère orthonormé
4/ soit h la restriction de f a l’intervalle I=]-,-1/2]
a/ montrer que h admet une réciproque h-1 et construire sa courbe b/ déterminer h-1(0) et l’équation de la tangente à
II/ soit g la fonction définie sur [-,] par g(x)=
2 cos cos
1 x x
1/ étudier la continuité et la dérivabilité de g sur [-,] et montrer qu’on peut étudier g sur [0,]
2/ calculer g’(x) pour x]0,] ; résoudre dans ]0,] l’inéquation 0 1- x
cos 1
4/ montrer que l’équation g(x)=x admet une solution unique [0,/2]
Exercice 4:
Soit la fonction f définie par f(x)= ² 1
² 1
x x x
. 1/ dresser le tableau de variations de f.
2/ montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique et que ]2
3,1[.
3/ soit g la restriction de f à [-1,1].
a) montrer que g réalise une bijection de [-1,1] sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de g -1. c) Explicité g -1(x), xJ et (g -1)'(x).
d) Construire g et g-1
dans un repère orthonormé (O,i j, ) . 4/ soit U la suite réelle définie sur IN par 0
1
1
( ),
n n
U
U f U n IN
a) montrer que pour tout nIN, 2
3 Un 1.
b) Montrer que pour tout x[2
3,1], |f'(x)| 5
9. c) En déduire que |Un+1 - | 5
9|Un- |.
d) Montrer alors que |Un – | (5
9)n|1- |.
e) En déduire lim n
n U
. 5/ soit la fonction définie sur [-
2
,0] par
( ) ( )
2 ( ) 1
2
x f tgx si x
a) montrer que pour tout x[-
2
,0], (x)= 2
2 sin 2x .
b) Montrer que vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et déterminer x0]-
2
,0[ tel que '(x0)=0.
c) Etudier les variations de .
Exercice 5:
soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+
²1 x
x
A/ 1/ étudier les variations de f sur IR.
2/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i,j) ; préciser les asymptotes de .
3/a/ montrer que admet un point d’inflexion I que l’on précisera.
b/ écrire un équation de la tangente T à en I.
c/ préciser la position relative de T et .
4/ a/ tracer et T dans le même repère (O, i,j) . b/ que représente I pour ? justifier.
5/ a/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b/ calculer l’expression de f -1(x) pour xJ.
c/ tracer la courbe ’ de f –1 dans (O, i,j).
B/ 1/ a/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique
.
b/ vérifier que ]1,2[.
2/ soit la suite U définie sur IN par : 0
1
1
( )
n n
U
U f U n IN
a/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un.
b/ montrer que pour tout x [1,+[ ; on a 0 f’(x) 2 2
1 c/ en déduire que pour tout n IN ; |Un+1-|
2 2
1 |Un-|.
d/ montrer que pour nIN ; |Un+1-| ( 2 2
1 )n|U0-|.
e/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.
C/ soit g la fonction définie sur ]-
2
,
2
[ par g(x)=tgx; on pose h= fog et k= 1
fog .
1/ expliciter h et k pour tout x]-
2
,
2
[.
2/ montrer que k est dérivable sur ]-
2
,
2
[ et que k'(x)= cos
(1 sin )² x x
.
2 2
que l'on précisera.
4/ étudier la dérivabilité de k -1 sur J' et calculer (k -1)'(x).
Exercice 6 :
A/ soit f la fonction définie sur [-1,1[ par f(x)=
x
x
1
1 et sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1/ a/ montrer que f est dérivable sur ]-1,1[ et que f’(x)= 1
( 1 x )² f ( x ) . b/ étudier la dérivabilité à droite de f en –1 et interpréter
géométriquement le résultat obtenue c/ dresser le tableau de variation de f
2/ a/ donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point A d’abscisse 0
b/ vérifier que pour tout x[-1,1[; f(x)-(x+1)=
² 1 1
) (
² x x f x
; en déduire que la courbe est au dessus de T
c/ construire et T
3/ a/ montrer que f réalise un bijection de [-1,1[ sur R+ ; soit g la fonction réciproque de f
b/ donner l’expression de g(x) pour xIR+
c/ construire sa courbe ’ dans le même repère que B/ soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x)=1+ 1
x . 1/ a) dresser le tableau de variations de h.
b) montrer que l'équation h(x)=x admet dans ]0,+ [ une unique solution
et que ]1,2[.
2/ soit U la suite définie par 0
1
3
( ) ,
n n
U
U h U n IN
a) montrer que pour tout x 1; |h '(x)| 1
2 . b) Montrer que |Un+1 – | 1
2 |Un – |.
c) En déduire que U est convergente et calculer sa limite.
C/ soit g la fonction définie sur [0,
4
[ par
(0) 1
( ) [(1 )²] 0
g
g x h tgx si x
1/ montrer que pour tout x[0,
4
[; g(x)= 1
1tgx . 2/ montrer que g réalise une bijection de [0,
4
[ sur un intervalle I que l'on précisera.
3/ montrer que g -1 est dérivable sur I et que pour tout xI;
(g -1)'(x)= 1
2 ² 2x x 1
